2019-2020年高中數(shù)學(xué) 直線與圓錐曲線 板塊三 直線與拋物線完整講義（學(xué)生版）.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 直線與圓錐曲線 板塊三 直線與拋物線完整講義（學(xué)生版）1橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡（或集合）叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，焦點(diǎn)是，且，焦點(diǎn)是，且3橢圓的幾何性質(zhì)（用標(biāo)準(zhǔn)方程研究）：范圍：，；對(duì)稱性：以軸、軸為對(duì)稱軸，以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心又叫做橢圓的中心；橢圓的頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，如圖中的；長軸與短軸：焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸上，兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段稱為橢圓的長軸，如圖中線段的；另一對(duì)頂點(diǎn)間的線段叫做橢圓的短軸，如圖中的線段橢圓的離心率：，焦距與長軸長之比，越趨近于，橢圓越扁；反之，越趨近于，橢圓越趨近于圓4直線：與圓錐曲線：的位置關(guān)系：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離對(duì)于拋物線來說，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為：設(shè)直線：，圓錐曲線：，由消去（或消去）得：若，相交；相離；相切若，得到一個(gè)一次方程：為雙曲線，則與雙曲線的漸近線平行；為拋物線，則與拋物線的對(duì)稱軸平行因此直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件5連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦求弦長的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求；另外一種求法是如果直線的斜率為，被圓錐曲線截得弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則弦長公式為兩根差公式：如果滿足一元二次方程：，則（）6直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有：從方程的觀點(diǎn)出發(fā)，利用根與系數(shù)的關(guān)系來進(jìn)行討論，這是用代數(shù)方法來解決幾何問題的基礎(chǔ)要重視通過設(shè)而不求與弦長公式簡化計(jì)算，并同時(shí)注意在適當(dāng)時(shí)利用圖形的平面幾何性質(zhì)以向量為工具，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決與中點(diǎn)、弦長、角度相關(guān)的問題典例分析【例1】 已知拋物線的方程為，過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與拋物線沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A BC D【例2】 點(diǎn)在直線上，若存在過的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且，則稱點(diǎn)為“點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）A直線上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)”B直線上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)”C直線上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)”D直線上有無窮多個(gè)點(diǎn)（但不是所有的點(diǎn)）是“點(diǎn)”【例3】 如圖拋物線：和圓：，其中，直線經(jīng)過的焦點(diǎn)，依次交，于四點(diǎn)，則的值為 （ ）A B C D【例4】 斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)，若弦長，則 _【例5】 拋物線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是_【例6】 若直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則_【例7】 已知拋物線的一條弦，所在的直線與軸交于點(diǎn)，則 【例8】 過點(diǎn)作直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有_條【例9】 對(duì)于拋物線：，我們稱滿足的點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，若點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，則直線：與拋物線的位置關(guān)系是_【例10】 設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與拋物線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是_【例11】 若曲線與直線沒有公共點(diǎn)，則、分別應(yīng)滿足的條件是 【例12】 過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的長為，則_【例13】 已知拋物線（為常數(shù)，）上不同兩點(diǎn)、的橫坐標(biāo)恰好是關(guān)于的方程（為常數(shù)）的兩個(gè)根，則直線的方程為_【例14】 拋物線截直線所得弦長的中點(diǎn)坐標(biāo)為_，弦長為_【例15】 已知拋物線，過定點(diǎn)作一弦，則_【例16】 已知拋物線過點(diǎn)，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程；直線：與拋物線交于兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)及的值【例17】 設(shè)拋物線被直線截得的弦長為，求值以中的弦為底邊，以軸上的點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，當(dāng)三角形的面積為時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)【例18】 已知點(diǎn)到定點(diǎn)（）與它到定直線的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；設(shè)過點(diǎn)的直線與的軌跡交于、兩點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)直線與的斜率都存在時(shí)，求證直線、的斜率之和為【例19】 在平面直角坐標(biāo)系中，過拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線相交于兩點(diǎn)若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值【例20】 過拋物線的對(duì)稱軸上的定點(diǎn)作直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)為定直線：上的任意一點(diǎn)，試證明：三條直線、的斜率成等差數(shù)列【例21】 已知拋物線過動(dòng)點(diǎn)且斜率為的直線與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)、若，求的取值范圍【例22】 已知曲線為頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以軸為對(duì)稱軸，開口向右的拋物線，又點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，求拋物線的方程；證明：過點(diǎn)的任意一條直線與拋物線恒有公共點(diǎn)；若中的直線分別與拋物線交于上下兩點(diǎn)，又點(diǎn)，的縱坐標(biāo)依次成公差不為的等差數(shù)列，試分析與的大小關(guān)系【例23】 已知拋物線和圓，過點(diǎn)作直線交拋物線于、，交圓于（自下而上依次為），且，求實(shí)數(shù)的取值范圍【例24】 已知一條曲線在軸右邊，上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差是1求曲線的方程；是否存在正數(shù)，對(duì)于過點(diǎn)且與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，的任一直線，都有?若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由【例25】 已知，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，且滿足，當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡；過點(diǎn)作直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，若在軸上存在一點(diǎn)，使得是等邊三角形，求的值【例26】 已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為焦點(diǎn)的拋物線，自點(diǎn)引直線交曲線于、兩個(gè)不同的交點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)記為設(shè)求曲線的方程；證明：；若，求的取值范圍【例27】 已知拋物線，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線過點(diǎn)交拋物線于兩點(diǎn)證明：直線的斜率互為相反數(shù)；求面積的最小值；當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且根據(jù)推測并回答下列問題（不必說明理由）：直線的斜率是否互為相反數(shù)？面積的最小值是多少？【例28】 過拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，自、向直線作垂線，垂足分別為、當(dāng)時(shí)，求證：；記、的面積分別為、，是否存在，使得對(duì)任意的，都有成立若存在，求出的值；若不存在，說明理由【例29】 已知曲線是到點(diǎn)和到直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)的直線，是上（不在上）的動(dòng)點(diǎn)；、在上，軸（如圖）求曲線的方程；求出直線的方程，使得為常數(shù)【例30】 已知拋物線：，點(diǎn)在軸的正半軸上，過的直線與相交、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)若，的斜率為1，求以為直徑的圓的方程；若存在直線使得，成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍【例31】 已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為證明：點(diǎn)在直線上；設(shè)，求的內(nèi)切圓的方程 【例32】 已知拋物線及定點(diǎn)，是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線與拋物線的另一交點(diǎn)分別為求證：當(dāng)點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)（只要存在且與是不同兩點(diǎn)），直線恒過一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)【例33】 在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)如果直線過拋物線的焦點(diǎn)，求的值；如果證明直線必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)【例34】 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，直線，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，是線段與軸的交點(diǎn)， ，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；記的軌跡的方程為，過點(diǎn)作兩條互相垂直的曲線的弦、，設(shè)、的中點(diǎn)分別為，求證：直線必過定點(diǎn)【例35】 已知：為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、滿足，當(dāng)變化時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；若是軌跡上不同與的另一點(diǎn)，且存在非零實(shí)數(shù)，使得，求證：