2019-2020年高中數(shù)學 1．2.2 函數(shù)的表示法 第二課時教案精講 新人教A版必修1.doc

2019-2020年高中數(shù)學 12.2 函數(shù)的表示法 第二課時教案精講 新人教A版必修11分段函數(shù)如果函數(shù)yf(x)，xA，根據(jù)自變量x在A中不同的取值范圍，有著不同的對應關系，則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)2映射設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射小問題大思維1分段函數(shù)中，分幾段就是幾個函數(shù)，對嗎？提示：不對分段函數(shù)是一個函數(shù)，只不過它的解析式是(對應關系)是分段表示的，其圖象是由幾段圖象構成2函數(shù)y的定義域是什么？提示：定義域為(，0)1，)3函數(shù)與映射有哪些聯(lián)系與區(qū)別？提示：(1)聯(lián)系：映射的概念是在函數(shù)的現(xiàn)代定義(集合語言定義)基礎上引申、拓展的；函數(shù)是一個特殊的映射，反過來，要善于用映射的語言來敘述函數(shù)的問題(2)區(qū)別：函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射；而對于映射而言，A和B不一定是數(shù)集分段函數(shù)求值問題例1已知函數(shù)f(x)求f(5)，f()，f(f()的值自主解答由5(，2，(2,2)，(，2，知f(5)514，f()()22()32.f()1，2<<2，f(f()f()()22()3.在本例中，若f(a)3，則a為何值？解：當a2時，f(a)a1，a13.a2>2不合題意，舍去當2<a<2時，a22a3，即a22a30.(a1)(a3)0，a1或a3.1(2,2)，3(2,2)，a1符合題意當a2時，2a13，a2符合題意綜合知，當f(a)3時，a1或a2. 解決分段函數(shù)問題，應注意以下兩點：(1)給定自變量求函數(shù)值時，應根據(jù)自變量所在的范圍，利用相應的解析式直接求值；(2)若給函數(shù)值求自變量，應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但應注意要檢驗求得的值是否在相應的自變量取值范圍內(nèi)1已知f(x)求f(f(1)的值解：f(1)313，f(f(1)f(3)324363.分段函數(shù)的應用例2某汽車以52 km/h的速度從A地運行到260 km處的B地，在B地停留1.5 h后，再以65 km/h的速度返回A地，試將汽車離開A地后行駛的路程s表示為時間t的函數(shù)自主解答因為260525(h)，260654(h)，所以，當0t5時，s52t；當5<t6.5時，s260；當6.5<t10.5時，s26065(t6.5)所以s(1)從實際問題中抽象出函數(shù)模型，除了考慮函數(shù)解析式自身的限制條件，還要注意實際問題對自變量取值范圍的限制.(2)求分段函數(shù)的解析式，應注意“先分后合”，根據(jù)不同的定義域寫出相應的函數(shù)解析式，最后合并.(3)最后應把數(shù)學問題轉化到實際問題中.2如圖所示，已知底角為45的等腰梯形ABCD，底邊BC長為7 cm，腰長為2 cm，當垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(與梯形ABCD有公共點)時，直線l把梯形分成兩部分，令BFx，試寫出左邊部分的面積y關于x的函數(shù)解析式，并畫出大致圖象解：過點A，D分別作AGBC，DHBC，垂足分別是G，H.因為ABCD是等腰梯形，底角為45，AB2 cm，所以BGAGDHHC2 cm.又BC7 cm，所以ADGH3 cm.(1)當點F在BG上時，即x0,2時，yx2；(2)當點F在GH上時，即x(2,5時，y22x2；(3)當點F在HC上時，即x(5,7時，yS五邊形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF(73)2(7x)2(x7)210.綜合(1)(2)(3)得函數(shù)解析式為y函數(shù)圖象如圖所示映射概念及應用例3下列對應是A到B的映射的有()AR，BR，f：xy；Axx年倫敦奧運會的火炬手，Bxx年倫敦奧運會的火炬手的體重，f：每個火炬手對應自己的體重；A非負實數(shù)，BR，f：xy.A0個B1個C2個 D3個自主解答中，對于A中元素1，在B中沒有與之對應的元素，則不是映射；中，由于每個火炬手都有唯一的體重，則是映射；中，對于A中元素4，在B中有兩個元素2和2與之對應，則不是映射答案B判斷一個對應是否為映射，依據(jù)是映射的定義.判斷方法為：先看集合A中每一個元素在集合B中是否均有對應元素.若有，看對應元素是否唯一；集合B中有剩余元素不影響映射的成立.說明一個對應不是映射，只需尋找一個反例即可.3下列集合A到集合B的對應中為映射的是()AABN*，對應法則f：xy|x3|BAR，B0,1，對應法則f：xyCABR，對應法則f：xyDAZ，BQ，對應法則f：xy解析：判斷兩個集合之間的對應是否為映射，只要按照對應法則f判斷，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中是否有唯一的元素與它對應即可在A中，當x3時，|x3|0，于是A中有一個元素在B中沒有元素和它對應，故不是映射；在C中，集合A中的負數(shù)是在B中沒有元素和它對應，故不是映射(或者x>0時，B中對應元素不唯一)；在D中，集合A中元素為0時，其倒數(shù)不存在，因而0在B中無對應元素，故同樣不是映射；B符合定義答案：B解題高手易錯題審題要嚴，做題要細，一招不慎，滿盤皆輸，試試能否走出迷宮！某農(nóng)戶計劃建一矩形羊圈，現(xiàn)有可作為圍墻的材料總長度為100米，求羊圈的面積S與長x的函數(shù)關系錯解設羊圈的長為x米，則寬為(50x)米，由題意，得Sx(50x)故函數(shù)關系式為Sx(50x)錯因錯解中函數(shù)關系式不完整，缺少自變量x的取值范圍正解設羊圈的長為x米，則寬為(50x)米，由題意，得Sx(50x)因為當自變量x取非正數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是0或負數(shù)，即羊圈的面積為0或負數(shù)，這不符合實際情況，所以自變量x的取值范圍為0<x<50.故函數(shù)關系式為Sx(50x)(0<x<50)1以下幾個論斷：從映射角度看，函數(shù)是其定義域到值域的映射；函數(shù)yx1，xZ且x(3,3的圖象是一條線段；分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集；若D1，D2分別是分段函數(shù)的兩個不同對應關系的值域，則D1D2.其中正確的論斷有()A0個B1個C2個 D3個解析：函數(shù)是特殊的映射，所以正確；中的定義域為2，1,0,1,2,3，它的圖象是直線yx1上的六個孤立的點；因此不正確；由分段函數(shù)的概念可知正確，不正確答案：C2設函數(shù)f(x)，則f(f(3)()A. B3C. D.解析：f(3)，f(f(3)()21.答案：D3下列圖形是函數(shù)yx|x|的圖象的是()解析：gx|x|其圖象為D.答案：D4某客運公司確定車票價格的方法是：如果行程不超過100千米，票價是每千米0.5元；如果超過100千米，超過部分按每千米0.4元定價，則客運票價y(元)與行程x(千米)之間的函數(shù)關系式是_解析：根據(jù)行程是否大于100千米來求出解析式，由題意得，當0x100時，y0.5x；當x>100時y1000.5(x100)0.4100.4x.答案：y5已知從集合A到集合B的映射是f1：x2x1，從B到C的映射是f2：y，則從AC的映射為_解析：由已知可得，AC的映射為x.答案：x6在交通擁擠及事故多發(fā)地段，為了確保交通安全，規(guī)定在此地段內(nèi)，車距d是車速v(公里/小時)的平方與車身長S(米)的積的正比例函數(shù)，且最小車距不得小于車身長的一半現(xiàn)假定車速為50公里/小時，車距恰好等于車身長，試寫出d關于v的函數(shù)關系式(其中S為常數(shù))解：根據(jù)題意可得dkv2S.v50時，dS，代入dkv2S中，解得k.dv2S.當d時，可解得v25.d一、選擇題1下列集合A到集合B的對應關系f是映射的是()AA1,0,1，B1,0,1，f：A中的數(shù)平方BA0,1，B1,0,1，f：A中的數(shù)開方CAZ，BQ，f：A中的數(shù)取倒數(shù)DAR，B正實數(shù)，f：A中的數(shù)取絕對值解析：B中元素1在f下有兩個元素1與之對應，不是映射；C中元素0無倒數(shù)，不是映射；D中元素0在B中無元素與之對應，不是映射答案：A2已知f(x)則f(f(7)的值為()A100B10C10 D100解析：f(7)10，f(f(7)f(10)1010100.答案：A3給出下列四個對應，其中是映射的是()解析：B項中M中元素2、4在N中沒有元素與之對應；C項，M中元素1、2在N中對應不唯一；D項，M、N中元素重復，而且，M中元素3在N中對應不唯一答案：A4若定義運算ab，則函數(shù)f(x)x(2x)的值域是()A(，1 B(，1)C(，) D(1，)解析：f(x)x(2x)f(x)的值域為(，1答案：A二、填空題5已知函數(shù)f(x)若f(a)3，則a等于_解析：由f(a)3，當a1時，a23，a1>1(舍去)當1<a<2時，2a3，a(1,2)當a2時，3，a2或a<2(舍)答案：或6設集合AB(x，y)|xR，yR，點(x，y)在映射f：AB的作用下對應的點是(xy，xy)，則B中點(3,2)對應的A中點的坐標為_解析：設A中點的坐標為(x，y)，則B中為(xy，xy)且有得答案：(，)7.已知yf(x)的圖象如圖所示：則f(x)的定義域為_，值域為_解析：由圖象易知f(x)的定義域為：(，1(1，)，值域為(，1(1,3)答案：(，1(1，)(，1(1,3)8規(guī)定：區(qū)間m，n的長度為nm(n>m)設集合A0，t(t>0)，集合Ba，b(b>a)，從集合A到集合B的映射f：xy2xt，若集合B的長度比集合A的長度大5，則實數(shù)t_.解析：由于集合A和集合B均是數(shù)集，則該映射f：xy是函數(shù)，且f(x)2xt.當xA時，f(x)的值域為f(0)，f(t)，即t,3t，所以集合B的長度為3tt2t，又集合A的長度為t0t，則2tt5，解得t5.答案：5三、解答題9已知在函數(shù)f(x)1(2<x2)(1)用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)；(2)畫出該函數(shù)的圖象；(3)寫出該函數(shù)的值域解：當0x2時，f(x)11；當2<x<0時，f(x)11x，f(x)(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示(3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域為1,3)10根據(jù)如圖所示的函數(shù)yf(x)的圖象，寫出函數(shù)的解析式解：當3x1時，函數(shù)yf(x)的圖象是一條線段，設f(x)axb(a0)將點(3,1)，(1，2)代入，可得a，b，即f(x)x.當1x1時，同理可設f(x)cxd(c0)將點(1，2)，(1,1)代入，可得c，d，即f(x)x；當1x2時， f(x)1.所以f(x)