2019-2020年高中數(shù)學(xué) 全冊(cè)教案 新人教A版選修4-5.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 全冊(cè)教案 新人教A版選修4-5選修4-5 不等式選講一、課程目標(biāo)解讀選修系列4-5專(zhuān)題不等式選講，內(nèi)容包括：不等式的基本性質(zhì)、含有絕對(duì)值的不等式、不等式的證明、幾個(gè)著名的不等式、利用不等式求最大（?。┲?、數(shù)學(xué)歸納法與不等式。通過(guò)本專(zhuān)題的教學(xué)，使學(xué)生理解在自然界中存在著大量的不等量關(guān)系和等量關(guān)系，不等關(guān)系和相等關(guān)系都是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，它們?cè)跀?shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要的作用；使學(xué)生了解不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深對(duì)這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。二、教材內(nèi)容分析作為一個(gè)選修專(zhuān)題，雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了高中必修課程的5個(gè)模塊和三個(gè)選修模塊，教材內(nèi)容仍以初中知識(shí)為起點(diǎn)，在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對(duì)的完整性整個(gè)專(zhuān)題內(nèi)容分為四講，結(jié)構(gòu)如下圖所示：第一講是“不等式和絕對(duì)值不等式”，為了保持專(zhuān)題內(nèi)容的完整性，教材回顧了已學(xué)過(guò)的不等式6個(gè)基本性質(zhì)，從“數(shù)與運(yùn)算”的思想出發(fā)，強(qiáng)調(diào)了比較大小的基本方法?；仡櫫硕静坏仁?，突出幾何背景和實(shí)際應(yīng)用，同時(shí)推廣到n個(gè)正數(shù)的情形，但教學(xué)中只要求理解掌握并會(huì)應(yīng)用二個(gè)和三個(gè)正數(shù)的均值不等式。對(duì)于絕對(duì)值不等式，借助幾何意義，從“運(yùn)算”角度，探究歸納了絕對(duì)值三角不等式，并用代數(shù)方法給出證明。通過(guò)討論兩種特殊類(lèi)型不等式的解法，學(xué)習(xí)解含有絕對(duì)值不等式的一般思想和方法，而不是系統(tǒng)研究。第二講是“證明不等式的基本方法”，教材通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題，回顧介紹了證明不等式的比較法、綜合法、分析法，反證法、放縮法。其中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標(biāo)準(zhǔn)才引入到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的內(nèi)容。這些方法大多在選修2-2“推理與證明”已經(jīng)學(xué)過(guò)，此處再現(xiàn)也是為了專(zhuān)題的完整性，對(duì)于新增的放縮法，應(yīng)通過(guò)實(shí)際實(shí)際例子，使學(xué)生明確不等式放縮的幾個(gè)簡(jiǎn)單途徑和方法，比如舍掉或加進(jìn)一些項(xiàng)，在分式中放大或縮小分子或分母，應(yīng)用基本不等式進(jìn)行放縮等（見(jiàn)分節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)）。本講內(nèi)容也是本專(zhuān)題的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容。第三講是“柯西不等式和排序不等式”。這兩個(gè)不等式也是本專(zhuān)題實(shí)質(zhì)上的新增內(nèi)容，教材主要介紹柯西不等式的幾種形式、幾何背景和實(shí)際應(yīng)用。其中柯西不等式及其在證明不等式和求某些特殊類(lèi)型函數(shù)極值中的應(yīng)用是教材編寫(xiě)和我們教學(xué)的重點(diǎn)。事實(shí)上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的簡(jiǎn)單應(yīng)用，二者同樣重要，在某些問(wèn)題中，異曲同工。比如課本P41頁(yè)，習(xí)題3.2第四題。排序不等式只作了解，建議在老師指導(dǎo)下由學(xué)生閱讀自學(xué)，了解教材中展示的“探究猜想證明應(yīng)用”的研究過(guò)程，初步認(rèn)識(shí)排序不等式的有關(guān)知識(shí)。第四講是“數(shù)學(xué)歸納法證明不等式”數(shù)學(xué)歸納法在選修2-2中也學(xué)過(guò)，建議放在第二講，結(jié)合放縮法的教學(xué)，進(jìn)一步理解“歸納遞推”的證明。同時(shí)了解貝努利不等式及其在數(shù)學(xué)估算方面的初步運(yùn)用。三、教學(xué)目標(biāo)要求1不等式的基本性質(zhì)掌握不等式的基本性質(zhì)，會(huì)應(yīng)用基本性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的不等式變形。2含有絕對(duì)值的不等式理解絕對(duì)值的幾何意義，理解絕對(duì)值三角不等式，會(huì)解絕對(duì)值不等式。3不等式的證明通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法4幾個(gè)著名的不等式(1)認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，會(huì)用二維三維柯西不等式進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明與求最值。(2)理解掌握兩個(gè)或三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式并應(yīng)用。(3)了解n個(gè)正數(shù)的均值不等式，n維柯西不等式，排序不等式，貝努利不等式5利用不等式求最大（?。┲禃?huì)用兩個(gè)或三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值。6數(shù)學(xué)歸納法與不等式了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍；會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡(jiǎn)單的不等式。會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式。四、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)1、本專(zhuān)題的教學(xué)重點(diǎn)：不等式基本性質(zhì)、均值不等式及其應(yīng)用、絕對(duì)值不等式的解法及其應(yīng)用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式及其應(yīng)用、排序不等式；2、本專(zhuān)題的教學(xué)難點(diǎn)：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式及其應(yīng)用、絕對(duì)值不等式解法；用反證法，放縮法證明不等式；運(yùn)用柯西不等式和排序不等式證明不等式以及求最值等。五、教學(xué)總體建議1、回顧并重視學(xué)生已學(xué)知識(shí) 學(xué)習(xí)本專(zhuān)題，學(xué)生已掌握的知識(shí)有： 第一、初中課標(biāo)要求的不等式與不等式組 (1)根據(jù)具體問(wèn)題中的大小關(guān)系了解不等式的意義，并探索不等式的基本性質(zhì)。 (2)解簡(jiǎn)單的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集。解由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組，并會(huì)用數(shù)軸確定解集。 (3)根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式和一元一次不等式組，解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題 第二、高中必修5不等式內(nèi)容： (1)不等關(guān)系。通過(guò)具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景。 (2)一元二次不等式。 (3)二元一次不等式組與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題。 (4)基本不等式及其應(yīng)用（求最值）。 第三、高中選修2-2推理與證明中的比較法、綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等內(nèi)容。 回顧并重視學(xué)生在學(xué)習(xí)本課程時(shí)已掌握的相關(guān)知識(shí)，可適當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生閱讀自學(xué)，設(shè)置梯度恰當(dāng)?shù)牧?xí)題，采用題組教學(xué)的形式，達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固系統(tǒng)化的效果，類(lèi)似于高考第二輪的專(zhuān)題復(fù)習(xí)，構(gòu)建知識(shí)體系。2、控制難度不拓展 在解絕對(duì)值不等式的教學(xué)中，要控制難度：含未知數(shù)的絕對(duì)值不超過(guò)兩個(gè)；絕對(duì)值內(nèi)的關(guān)于未知數(shù)的函數(shù)主要限于一次函數(shù)。解含有絕對(duì)值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來(lái)加以討論，把含有絕對(duì)值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式；不等式證明的教學(xué)，主要使學(xué)生掌握比較法、綜合法、分析法，其它方法如反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法，應(yīng)用柯西不等式和排序不等式的證明，只要求了解。 代數(shù)恒等變換以及放縮法常常使用一些技巧。這些技巧是極為重要的，但對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，往往很難掌握這些技巧，教學(xué)中要盡力使學(xué)生理解這些不等式以及證明的數(shù)學(xué)思想，對(duì)一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教學(xué)陷在過(guò)于形式化的和復(fù)雜的技巧之中。3、重視不等式的應(yīng)用 不等式應(yīng)用的教學(xué)，主要是引導(dǎo)學(xué)生解決涉及大小比較、解不等式和最值問(wèn)題，其中最值問(wèn)題主要是用二個(gè)或三個(gè)正數(shù)平均不等式、二維或三維柯西不等式求解。對(duì)于超過(guò)3個(gè)正數(shù)的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；貝努里不等式的應(yīng)用不作要求。4、重視展現(xiàn)著名不等式的背景 幾個(gè)重要不等式大都有明確的幾何背景。教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生了解重要不等式的數(shù)學(xué)意義和幾何背景，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中把握這些幾何背景，力求直觀理解這些不等式的實(shí)質(zhì)。特別是對(duì)于n元柯西不等式、排序不等式、貝努利不等式等內(nèi)容，可指導(dǎo)學(xué)生閱讀了解相關(guān)背景知識(shí)。第一講 不等式和絕對(duì)值不等式課 題：第01課時(shí) 不等式的基本性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：1 理解用兩個(gè)實(shí)數(shù)差的符號(hào)來(lái)規(guī)定兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的意義，建立不等式研究的基礎(chǔ)。2 掌握不等式的基本性質(zhì)，并能加以證明；會(huì)用不等式的基本性質(zhì)判斷不等關(guān)系和用比較法，反證法證明簡(jiǎn)單的不等式。教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)推理判斷命題的真假；代數(shù)證明，特別是反證法。教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)。教學(xué)過(guò)程： 一、引入：不等關(guān)系是自然界中存在著的基本數(shù)學(xué)關(guān)系。列子湯問(wèn)中膾炙人口的“兩小兒辯日”：“遠(yuǎn)者小而近者大”、“近者熱而遠(yuǎn)者涼”，就從側(cè)面表明了現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的廣泛存在；日常生活中息息相關(guān)的問(wèn)題，如“自來(lái)水管的直截面為什么做成圓的，而不做成方的呢?”、“電燈掛在寫(xiě)字臺(tái)上方怎樣的高度最亮？”、“用一塊正方形白鐵皮，在它的四個(gè)角各剪去一個(gè)小正方形，制成一個(gè)無(wú)蓋的盒子。要使制成的盒子的容積最大，應(yīng)當(dāng)剪去多大的小正方形？”等，都屬于不等關(guān)系的問(wèn)題，需要借助不等式的相關(guān)知識(shí)才能得到解決。而且，不等式在數(shù)學(xué)研究中也起著相當(dāng)重要的作用。本專(zhuān)題將介紹一些重要的不等式（含有絕對(duì)值的不等式、柯西不等式、貝努利不等式、排序不等式等）和它們的證明，數(shù)學(xué)歸納法和它的簡(jiǎn)單應(yīng)用等。人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實(shí)世界中的量，不等是普遍的、絕對(duì)的，而相等則是局部的、相對(duì)的。還可從引言中實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，說(shuō)明本章知識(shí)的地位和作用。生活中為什么糖水加糖甜更甜呢?轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，則糖水更甜了，為什么?分析：起初的糖水濃度為，加入m克糖 后的糖水濃度為，只要證>即可。怎么證呢? 二、不等式的基本性質(zhì)：1、實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)，從實(shí)數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知：得出結(jié)論：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)即可。2、不等式的基本性質(zhì)：、如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b。(對(duì)稱(chēng)性)、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。推論：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d即a>b， c>d a+c>b+d、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac<bc、如果a>b >0，那么 (nN，且n>1)、如果a>b >0，那么 (nN，且n>1)。三、典型例題：例1、比較和的大小。分析：通過(guò)考察它們的差與0的大小關(guān)系，得出這兩個(gè)多項(xiàng)式的大小關(guān)系。例2、已知，求證：例3、已知a>b>0，c>d>0，求證：。四、課堂練習(xí)：1：已知，比較與的大小。2：已知a>b>0，c<d<0,求證：。五、課后作業(yè)：課本第1、2、3、4題六、教學(xué)后記：課 題：第02課時(shí) 基本不等式教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握均值不等式定理；2.能夠簡(jiǎn)單應(yīng)用定理證明不等式并解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)：均值不等式定理的證明及應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：等號(hào)成立的條件及解題中的轉(zhuǎn)化技巧。教學(xué)過(guò)程： 一、知識(shí)學(xué)習(xí)：定理1：如果a、bR，那么a 2b 2 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”號(hào)）證明：a 2b 22ab（ab）2 當(dāng)ab時(shí)，（ab）20，當(dāng)ab時(shí)，（ab）20所以，（ab）20 即a 2b 2 2ab由上面的結(jié)論，我們又可得到定理2（基本不等式）：如果a，b是正數(shù)，那么 （當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”號(hào)）證明：（）2（）22a b2 ，即 顯然，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，說(shuō)明：1）我們稱(chēng)為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)為a，b的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2）a 2b 22ab和成立的條件是不同的：前者只要求a，b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a，b都是正數(shù).3）“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件.4）幾何意義.二、例題講解：例1 已知x，y都是正數(shù)，求證：（1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)xy時(shí)，和xy有最小值2； （2）如果和xy是定值S，那么當(dāng)xy時(shí)，積xy有最大值S2證明：因?yàn)閤，y都是正數(shù)，所以 （1）積xy為定值P時(shí)，有 xy2上式當(dāng)xy時(shí)，取“”號(hào)，因此，當(dāng)xy時(shí)，和xy有最小值2.（2）和xy為定值S時(shí)，有 xy S 2上式當(dāng)x=y時(shí)取“”號(hào)，因此，當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值S 2.說(shuō)明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個(gè)條件：）函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù);)函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)；）等號(hào)成立條件必須存在。例2 ：已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：（abcd）（acbd）4abcd分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運(yùn)用，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)均值不等式定理的條件的認(rèn)識(shí).證明：由a、b、c、d都是正數(shù)，得0，0，abcd即（abcd）（acbd）4abcd例3 某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？分析：此題首先需要由實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理.解：設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為xm，水池的總造價(jià)為l元，根據(jù)題意，得l240000720（x）2400007202240000720240297600當(dāng)x，即x40時(shí)，l有最小值297600因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元.評(píng)述：此題既是不等式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件.三、課堂練習(xí)：課本P91練習(xí)1，2，3，4.四、課堂小結(jié)：通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，但是在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)注意定理的適用條件。五、課后作業(yè)課本P10習(xí)題1.1第5，6，7題六、教學(xué)后記：課 題：第03課時(shí) 三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式教學(xué)目標(biāo)：1能利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡(jiǎn)單的不等式，解決最值問(wèn)題；2了解基本不等式的推廣形式。教學(xué)重點(diǎn)：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式教學(xué)難點(diǎn)：利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡(jiǎn)單的不等式，解決最值問(wèn)題教學(xué)過(guò)程：一、知識(shí)學(xué)習(xí)：定理3：如果，那么。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。推廣： 。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。語(yǔ)言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。思考：類(lèi)比基本不等式，是否存在：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）呢？試證明。二、例題分析：例1：求函數(shù)的最小值。解一： 解二：當(dāng)即時(shí) 上述兩種做法哪種是錯(cuò)的？錯(cuò)誤的原因是什么？變式訓(xùn)練1 的最小值。由此題，你覺(jué)得在利用不等式解決這類(lèi)題目時(shí)關(guān)鍵是要_例2 ：如下圖，把一塊邊長(zhǎng)是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿名著虛線折轉(zhuǎn)成一個(gè)無(wú)蓋方底的盒子，問(wèn)切去的正方形邊長(zhǎng)是多少時(shí)，才能使盒子的容積最大？變式訓(xùn)練2 已知：長(zhǎng)方體的全面積為定值，試問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各是多少時(shí)，它的體積最大，求出這個(gè)最大值由例題，我們應(yīng)該更牢記 一 _ 二 _ 三 _，三者缺一不可。另外，由不等號(hào)的方向也可以知道：積定_，和定_.三、鞏固練習(xí)1.函數(shù)的最小值是 ( )A.6 B. C.9 D.122.函數(shù)的最小值是_3函數(shù)的最大值是（ ）A.0 B.1 C. D. 4.(xx浙江自選)已知正數(shù)滿(mǎn)足，求的最小值。5（xx，江蘇，21）設(shè)為正實(shí)數(shù)，求證：四、課堂小結(jié)：通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，但是在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)注意定理的適用條件。五、課后作業(yè)P10習(xí)題1.1第11，12，13題六、教學(xué)后記：課 題：第04課時(shí) 絕對(duì)值三角不等式教學(xué)目標(biāo)：1：了解絕對(duì)值三角不等式的含義，理解絕對(duì)值三角不等式公式及推導(dǎo)方法， 會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。2：充分運(yùn)用觀察、類(lèi)比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會(huì)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用絕對(duì)值三角不等式公式進(jìn)行推理和證明。教學(xué)重點(diǎn)：絕對(duì)值三角不等式的含義，絕對(duì)值三角不等式的理解和運(yùn)用。教學(xué)難點(diǎn)：絕對(duì)值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)、取等條件。教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入： 關(guān)于含有絕對(duì)值的不等式的問(wèn)題，主要包括兩類(lèi)：一類(lèi)是解不等式，另一類(lèi)是證明不等式。本節(jié)課探討不等式證明這類(lèi)問(wèn)題。1請(qǐng)同學(xué)們回憶一下絕對(duì)值的意義。 。 幾何意義：在數(shù)軸上，一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離稱(chēng)為這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的絕對(duì)值。2證明一個(gè)含有絕對(duì)值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外，經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對(duì)值的和、差、積、商的性質(zhì)：（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。（2）， （3）， （4）那么二、講解新課：結(jié)論：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.）已知是實(shí)數(shù)，試證明：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.）方法一：證明:10 .當(dāng)ab0時(shí), 20. 當(dāng)ab<0時(shí), 綜合10, 20知定理成立.方法二：分析法，兩邊平方（略）定理1 如果是實(shí)數(shù)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.）（1）若把換為向量情形又怎樣呢？ 根據(jù)定理1，有，就是，。 所以，。定理（絕對(duì)值三角形不等式）如果是實(shí)數(shù)，則注：當(dāng)為復(fù)數(shù)或向量時(shí)結(jié)論也成立.推論1：推論2：如果是實(shí)數(shù),那么,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.思考：如何利用數(shù)軸給出推論2的幾何解釋?zhuān)浚ㄔO(shè)A，B，C為數(shù)軸上的3個(gè)點(diǎn)，分別表示數(shù)a，b，c，則線段當(dāng)且僅當(dāng)C在A，B之間時(shí)，等號(hào)成立。這就是上面的例3。特別的，取c0（即C為原點(diǎn)），就得到例2的后半部分。）三、典型例題：例1、已知 ，求證 證明 （1）， （2）由（1），（2）得：例2、已知 求證：。證明 ，由例1及上式，。注意： 在推理比較簡(jiǎn)單時(shí)，我們常常將幾個(gè)不等式連在一起寫(xiě)。但這種寫(xiě)法，只能用于不等號(hào)方向相同的不等式。例3 兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個(gè)地點(diǎn)施工,這兩個(gè)地點(diǎn)分別位于公路路碑的第10公里和第20公里處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個(gè)施工隊(duì)的共同臨時(shí)生活區(qū),每個(gè)施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間往返一次,要使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應(yīng)該建于何處?解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第 x km處，兩施工隊(duì)每天往返的路程之和為S(x)km那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)四、課堂練習(xí)：1.(課本習(xí)題1.2第1題)求證:;2. (課本P19習(xí)題1.2第3題)求證:;3（1）、已知求證：。（2）、已知求證：。五、課堂小結(jié)：1實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的意義:;（定義）的幾何意義:2定理（絕對(duì)值三角形不等式）如果是實(shí)數(shù)，則注意取等的條件。六、課后作業(yè)：課本P19第2，4，5題七教學(xué)后記：課 題：第05課時(shí) 絕對(duì)值不等式的解法教學(xué)目標(biāo)：1：理解并掌握和型不等式的解法。2：充分運(yùn)用觀察、類(lèi)比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會(huì)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用絕對(duì)值三角不等式公式進(jìn)行推理和證明。教學(xué)重點(diǎn)：絕對(duì)值三角不等式的含義，絕對(duì)值三角不等式的理解和運(yùn)用。教學(xué)難點(diǎn)：絕對(duì)值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)、取等條件。教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：在初中課程的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)對(duì)不等式和絕對(duì)值的一些基本知識(shí)有了一定的了解。請(qǐng)同學(xué)們回憶一下絕對(duì)值的意義。 在數(shù)軸上，一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離稱(chēng)為這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的絕對(duì)值。即 。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)討論含有絕對(duì)值的不等式。二、新課學(xué)習(xí)：關(guān)于含有絕對(duì)值的不等式的問(wèn)題，主要包括兩類(lèi)：一類(lèi)是解不等式，另一類(lèi)是證明不等式。下面分別就這兩類(lèi)問(wèn)題展開(kāi)探討。1、解在絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的不等式（也稱(chēng)絕對(duì)值不等式），關(guān)鍵在于去掉絕對(duì)值符號(hào)，化成普通的不等式。主要的依據(jù)是絕對(duì)值的幾何意義.2、含有絕對(duì)值的不等式有兩種基本的類(lèi)型。第一種類(lèi)型：設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對(duì)值的意義，不等式的解集是 ，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于a的點(diǎn)的集合是開(kāi)區(qū)間（a，a），如圖所示。 圖1-1 如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結(jié)果來(lái)解。第二種類(lèi)型：設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對(duì)值的意義，不等式的解集是或，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離大于a的點(diǎn)的集合是兩個(gè)開(kāi)區(qū)間的并集。如圖1-2所示。 圖1-2同樣，如果給定的不等式符合這種類(lèi)型，就可以直接利用它的結(jié)果來(lái)解。3、和型不等式的解法。4、和型不等式的解法。（三種思路）三、典型例題：例1、解不等式。例2、解不等式。方法1：分類(lèi)討論。方法2：依題意，原不等式等價(jià)于或，然后去解。例3、解不等式。例4、解不等式。解：本題可以按照例3的方法解，但更簡(jiǎn)單的解法是利用幾何意義。原不等式即數(shù)軸上的點(diǎn)x到1，2的距離的和大于等于5。因?yàn)?，2的距離為1，所以x在2的右邊，與2的距離大于等于2（51）；或者x在1的左邊，與1的距離大于等于2。這就是說(shuō)，或例5、不等式 >，對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。四、課堂練習(xí)：解下列不等式：1、 2、 3、 . 4、 . 5、 6、 .7、 8、 9、 10、 五、課后作業(yè)：課本20第6、7、8、9題。六、教學(xué)后記：第二講 證明不等式的基本方法課 題：第01課時(shí) 不等式的證明方法之一：比較法教學(xué)目標(biāo)：能熟練地運(yùn)用作差、作商比較法證明不等式。教學(xué)重、難點(diǎn)：能熟練地運(yùn)用作差、作商比較法證明不等式。教學(xué)過(guò)程：一、新課學(xué)習(xí)：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)即可，即利用不等式的性質(zhì)：二、典型例題：例1、設(shè)都是正數(shù)，且，求證：。例2、若實(shí)數(shù)，求證：證明：采用差值比較法： = = = = 討論：若題設(shè)中去掉這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？例3、已知求證本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。 證明：1) 差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)，從而原不等式得證。2）商值比較法：設(shè) 故原不等式得證。例4、甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)。甲有一半時(shí)間以速度行走，另一半時(shí)間以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，問(wèn)甲、乙兩人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)。分析：設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是，甲、乙兩人走完這段路程所用的時(shí)間分別為。要回答題目中的問(wèn)題，只要比較的大小就可以了。解：設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是，甲、乙兩人走完這段路程所用的時(shí)間分別為，根據(jù)題意有，可得，從而，其中都是正數(shù)，且。于是，即。從而知甲比乙首先到達(dá)指定地點(diǎn)。討論：如果，甲、乙兩人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)？三、課堂練習(xí)：1比較下面各題中兩個(gè)代數(shù)式值的大小：（1）與；（2）與.2已知 求證：（1） （2）3若，求證四、課時(shí)小結(jié)：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)?！白冃巍笔墙忸}的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。五、課后作業(yè)：課本23頁(yè)第1、2、3、4題。六、教學(xué)后記：課 題：第02課時(shí) 不等式的證明方法之二：綜合法與分析法教學(xué)目標(biāo)：1、 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法。2、 了解分析法和綜合法的思考過(guò)程。教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用綜合法證明問(wèn)題；了解綜合法的思考過(guò)程。教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法。教學(xué)過(guò)程：一、引入：綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。由于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性，這里將其放在一起加以認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)，以便于對(duì)比研究?jī)煞N思路方法的特點(diǎn)。所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式，逐步推導(dǎo)出要證的不等式。而分析法，則是由結(jié)果開(kāi)始，倒過(guò)來(lái)尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已知中。前一種是“由因及果”，后一種是“執(zhí)果索因”。打一個(gè)比方：張三在山里迷了路，救援人員從駐地出發(fā)，逐步尋找，直至找到他，這是“綜合法”；而張三自己找路，直至回到駐地，這是“分析法”。二、典型例題：例1、已知，且不全相等。求證： 分析：用綜合法。例2、設(shè)，求證證法一 分析法要證成立.只需證成立，又因，只需證成立，又需證成立，即需證成立.而顯然成立. 由此命題得證。證法二 綜合法 注意到，即，由上式即得，從而成立。議一議：根據(jù)上面的例證，你能指出綜合法和分析法的主要特點(diǎn)嗎？例3、已知a，b，m都是正數(shù)，并且求證： （1）證法一 要證（1），只需證 （2）要證（2），只需證 （3）要證（3），只需證 （4）已知（4）成立，所以（1）成立。上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。證法二 因?yàn)?是正數(shù)，所以 兩邊同時(shí)加上得兩邊同時(shí)除以正數(shù)得（1）。例4、證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管橫截面的周長(zhǎng)相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。分析：當(dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管橫截面面積的大小。設(shè)截面的周長(zhǎng)為，則周長(zhǎng)為的圓的半徑為，截面積為；周長(zhǎng)為的正方形為，截面積為。所以本題只需證明。證明：設(shè)截面的周長(zhǎng)為，則截面是圓的水管的截面面積為，截面是正方形的水管的截面面積為。只需證明：。為了證明上式成立，只需證明。兩邊同乘以正數(shù)，得：。因此，只需證明。上式顯然成立，所以 。這就證明了：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管橫截面的周長(zhǎng)相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。例5、證明：。證法一： 因?yàn)?（2） （3） （4）所以三式相加得 （5）兩邊同時(shí)除以2即得（1）。 證法二：所以（1）成立。例6、證明： （1）證明 （1） （2）（3） （4） （5）（5）顯然成立。因此（1）成立。例7、已知都是正數(shù)，求證并指出等號(hào)在什么時(shí)候成立？分析：本題可以考慮利用因式分解公式 著手。證明： = = 由于都是正數(shù)，所以而，可知 即（等號(hào)在時(shí)成立）探究：如果將不等式中的分別用來(lái)代替，并在兩邊同除以3，會(huì)得到怎樣的不等式？并利用得到的結(jié)果證明不等式： ，其中是互不相等的正數(shù)，且.三、課堂小結(jié)：解不等式時(shí)，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，移項(xiàng)，在不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)正數(shù)或一個(gè)正的代數(shù)式，得到的不等式都和原來(lái)的不等式等價(jià)。這些方法，也是利用綜合法和分析法證明不等式時(shí)常常用到的技巧。四、課堂練習(xí)：1、已知求證：2、已知求證3、已知求證4、已知求證：（1）（2） 5、已知都是正數(shù)。求證：（1） （2）6、已知都是互不相等的正數(shù)，求證五、課后作業(yè)： 課本25頁(yè)第1、2、3、4題。六、教學(xué)后記：課 題：第03課時(shí) 不等式的證明方法之三：反證法教學(xué)目標(biāo)：通過(guò)實(shí)例，體會(huì)反證法的含義、過(guò)程與方法，了解反證法的基本步驟，會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的命題。教學(xué)重點(diǎn)：體會(huì)反證法證明命題的思路方法，會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的命題。教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的命題。教學(xué)過(guò)程:一、引入：前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說(shuō)，直接從題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對(duì)于一些較復(fù)雜的不等式，有時(shí)很難直接入手求證，這時(shí)可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實(shí)性，而是證明它的反論題為假，或轉(zhuǎn)而證明它的等價(jià)命題為真，以間接地達(dá)到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方法。反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾。具體地說(shuō)，反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先肯定命題的條件p，并否定命題的結(jié)論q，然后通過(guò)合理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來(lái)的結(jié)論是正確的。利用反證法證明不等式，一般有下面幾個(gè)步驟：第一步 分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；第二步 作出與所證不等式相反的假定；第三步 從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開(kāi)始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。二、典型例題：例1、已知，求證：（且）例1、設(shè)，求證證明：假設(shè)，則有，從而 因?yàn)椋?，這與題設(shè)條件矛盾，所以，原不等式成立。例2、設(shè)二次函數(shù)，求證：中至少有一個(gè)不小于.證明：假設(shè)都小于，則 （1） 另一方面，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，有 （2） （1）、（2）兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來(lái)的結(jié)論正確。注意：諸如本例中的問(wèn)題，當(dāng)要證明幾個(gè)代數(shù)式中，至少有一個(gè)滿(mǎn)足某個(gè)不等式時(shí)，通常采用反證法進(jìn)行。議一議：一般來(lái)說(shuō)，利用反證法證明不等式的第三步所稱(chēng)的矛盾結(jié)果，通常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時(shí)假定矛盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點(diǎn)？例3、設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同時(shí)大于 證：設(shè)(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >,則三式相乘：ab < (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a < 又0 < a, b, c < 1 同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c 與矛盾原式成立例4、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0 證：設(shè)a < 0, abc > 0, bc < 0 又由a + b + c > 0, 則b + c = -a > 0ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 與題設(shè)矛盾 又：若a = 0，則與abc > 0矛盾， 必有a > 0 同理可證：b > 0, c > 0三、課堂練習(xí)：1、利用反證法證明：若已知a，b，m都是正數(shù)，并且，則 2、設(shè)0 < a, b, c < 2，求證：(2 - a)c, (2 - b)a, (2 - c)b,不可能同時(shí)大于13、若x, y > 0，且x + y >2，則和中至少有一個(gè)小于2。提示：反設(shè)2，2 x, y > 0，可得x + y 2 與x + y >2矛盾。四、課時(shí)小結(jié)：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個(gè)步驟：第一步 分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；第二步 作出與所證不等式相反的假定；第三步 從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開(kāi)始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。五、課后作業(yè)：課本29頁(yè)第1、4題。六、教學(xué)后記：課 題： 第04課時(shí) 不等式的證明方法之四：放縮法教學(xué)目標(biāo)：1感受在什么情況下，需要用放縮法證明不等式。2探索用放縮法證明不等式的理論依據(jù)和技巧。教學(xué)重、難點(diǎn)：1掌握證明不等式的兩種放縮技巧。2體會(huì)用放縮法證明不等式時(shí)放大或縮小的“度”。教學(xué)過(guò)程：一、引入：所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。怪贸雒黠@的不等量關(guān)系后，再應(yīng)用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)用處更為廣泛。下面我們通過(guò)一些簡(jiǎn)單例證體會(huì)這種方法的基本思想。二、典型例題：例1、若是自然數(shù)，求證證明： = =注意：實(shí)際上，我們?cè)谧C明的過(guò)程中，已經(jīng)得到一個(gè)更強(qiáng)的結(jié)論，這恰恰在一定程度上體現(xiàn)了放縮法的基本思想。例2、求證：證明：由（是大于2的自然數(shù)） 得 例3、若a, b, c, dR+，求證：證：記m = a, b, c, dR+ 1 < m < 2 即原式成立。例4、當(dāng) n > 2 時(shí)，求證：證：n > 2 n > 2時(shí), 三、課堂練習(xí)：1、設(shè)為大于1的自然數(shù)，求證2、設(shè)為自然數(shù)，求證四、課時(shí)小結(jié)：常用的兩種放縮技巧：對(duì)于分子分母均取正值的分式，（）如果分子不變，分母縮小（分母仍為正數(shù)），則分式的值放大；（）如果分子不變，分母放大，則分式的值縮小。五、課后作業(yè)：課本29頁(yè)第2、3題。第三講 柯西不等式與排序不等式課 題： 第01課時(shí) 二維形式的柯西不等式（一）教學(xué)目標(biāo)：認(rèn)識(shí)二維柯西不等式的幾種形式，理解它們的幾何意義， 并會(huì)證明二維柯西不等式及向量形式. 教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)證明二維柯西不等式及三角不等式.教學(xué)難點(diǎn)：理解幾何意義.教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1. 提問(wèn)： 二元均值不等式有哪幾種形式？答案：及幾種變式.2. 練習(xí)：已知a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證 證法：（比較法）=.=二、講授新課：1. 柯西不等式： 提出定理1：若a、b、c、d為實(shí)數(shù)，則. 即二維形式的柯西不等式 什么時(shí)候取等號(hào)？ 討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？ 證法二：（綜合法） . （要點(diǎn)：展開(kāi)配方） 證法三：（向量法）設(shè)向量，則，. ，且，則. . 證法四：（函數(shù)法）設(shè)，則0恒成立. 0，即. 討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？ 變式： 或 或. 提出定理2：設(shè)是兩個(gè)向量，則. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） 討論：上面時(shí)候等號(hào)成立？（是零向量，或者共線） 練習(xí)：已知a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證. 證法：（分析法）平方 應(yīng)用柯西不等式 討論：其幾何意義？（構(gòu)造三角形）2. 教學(xué)三角不等式： 出示定理3：設(shè)，則.分析其幾何意義 如何利用柯西不等式證明 變式：若，則結(jié)合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？ 三、應(yīng)用舉例：例1：已知a,b為實(shí)數(shù)，求證說(shuō)明：在證明不等式時(shí)，聯(lián)系經(jīng)典不等式，既可以啟發(fā)證明思路，又可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。所以，經(jīng)典不等式是數(shù)學(xué)研究的有力工具。例題2：求函數(shù)的最大值。分析：利用不等式解決最值問(wèn)題，通常設(shè)法在不等式的一邊得到一個(gè)常數(shù)，并尋找不等式取等號(hào)的條件。這個(gè)函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化為ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。（）解：函數(shù)的定義域?yàn)椤?，5】，且y>0 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即時(shí)，函數(shù)取最大值課堂練習(xí)：1. 證明: (x2+y4)(a4+b2)(a2x+by2)22.求函數(shù)的最大值.例3.設(shè)a,b是正實(shí)數(shù)，a+b=1，求證分析：注意到，有了就可以用柯西不等式了。四、鞏固練習(xí)：1. 練習(xí)：試寫(xiě)出三維形式的柯西不等式和三角不等式 2. 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值. 五、課堂小結(jié)：二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式；三角不等式的兩種形式（兩點(diǎn)、三點(diǎn)）六、布置作業(yè)：P37頁(yè)，4，5， 7，8，9七、教學(xué)后記：課 題： 第02課時(shí) 二維形式的柯西不等式（二）教學(xué)目標(biāo)：會(huì)利用二維柯西不等式及三角不等式解決問(wèn)題，體會(huì)運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般方法發(fā)現(xiàn)具體問(wèn)題與經(jīng)典不等式之間的關(guān)系，經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形，依據(jù)經(jīng)典不等式得到不等關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)：利用二維柯西不等式解決問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn)：如何變形，套用已知不等式的形式.教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：1. 提問(wèn)：二維形式的柯西不等式、三角不等式？ 幾何意義？ 答案：；2. 討論：如何將二維形式的柯西不等式、三角不等式，拓廣到三維、四維？3. 如何利用二維柯西不等式求函數(shù)的最大值? 要點(diǎn)：利用變式.二、講授新課：1. 最大（?。┲担?出示例1：求函數(shù)的最大值？ 分析：如何變形？ 構(gòu)造柯西不等式的形式 板演 變式： 推廣： 練習(xí)：已知，求的最小值. 解答要點(diǎn)：（湊配法）. 討論：其它方法 （數(shù)形結(jié)合法）2. 不等式的證明： 出示例2：若，求證：.分析：如何變形后利用柯西不等式？ （注意對(duì)比 構(gòu)造） 要點(diǎn)： 討論：其它證法（利用基本不等式） 練習(xí)：已知、，求證：.三、應(yīng)用舉例：例1已知a1,a2,an都是實(shí)數(shù)，求證：分析：用n乘要證的式子兩邊，能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。例2已知a，b，c，d是不全相等的實(shí)數(shù)，證明：a2 + b2 + c2 + d2 > ab + bc + cd + da 分析：上式兩邊都是由a,b,c,d這四個(gè)數(shù)組成的式子，特別是右邊式子的字母排列順序啟發(fā)我們，可以用柯西不等式進(jìn)行證明。分析：由形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過(guò)構(gòu)造（12+22+32）作為一個(gè)因式而解決問(wèn)題。四、鞏固練習(xí)：1. 練習(xí)：教材P37 8、9題 練習(xí)：1設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，且x+y+z=1，求的最小值。 2已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。 3已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a+2b+3c=9，求的最大值。選做：4已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08廣一模） 5已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a+2b+c=1，求的最小值。（08東莞二模） 6已知x+y+z=，則m=x2+2y2+z2的最小值是_.(08惠州調(diào)研)五、布置作業(yè)：教材P37 1、6、7題 已知，且，則的最小值. 要點(diǎn)：. 其它證法 若，且，求的最小值. （要點(diǎn)：利用三維柯西不等式）變式：若，且，求的最大值.六、課堂小結(jié)：比較柯西不等式的形式，將目標(biāo)式進(jìn)行變形，注意湊配、構(gòu)造等技巧.七、教學(xué)后記：課 題： 第03課時(shí) 一般形式的柯西不等式教學(xué)目標(biāo)：1.認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義； 2.通過(guò)運(yùn)用這種不等式分析解決一些問(wèn)題，體會(huì)運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般方法教學(xué)重點(diǎn)：一般形式柯西不等式的證明思路，運(yùn)用這個(gè)不等式證明不等式。教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用一般形式柯西不等式證明不等式。教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：定理1：（柯西不等式的代數(shù)形式）設(shè)均為實(shí)數(shù)，則，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。定理2：（柯西不等式的向量形式）設(shè)，為平面上的兩個(gè)向量，則，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量方向相同或相反（即兩個(gè)向量共線）時(shí)成立。定理3：（三角形不等式）設(shè)為任意實(shí)數(shù)，則： 二、講授新課：類(lèi)似的，從空間向量的幾何背景業(yè)能得到|.| | .將空間向量的坐標(biāo)代入，可得到這就是三維形式的柯西不等式.對(duì)比二維形式和三維形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式嗎？定理4：（一般形式的柯西不等式）：設(shè)為大于1的自然數(shù)，（1，2，）為任意實(shí)數(shù)，則：即，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立（當(dāng)時(shí)，約定，1，2，）。證明：構(gòu)造二次函數(shù)： 即構(gòu)造了一個(gè)二次函數(shù)：由于對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則其，即：，即：，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立（當(dāng)時(shí)，約定，1，2，）。如果（）全為0，結(jié)論顯然成立。三、應(yīng)用舉例：例3 已知a1,a2,an都是實(shí)數(shù)，求證：分析：用n乘要證的式子兩邊，能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。例4已知a，b，c，d是不全相等的實(shí)數(shù)，證明：a2 + b2 + c2 + d2 > ab + bc + cd + da 分析：上式兩邊都是由a,b,c,d這四個(gè)數(shù)組成的式子，特別是右邊式子的字母排列順序啟發(fā)我們，可以用柯西不等式進(jìn)行證明。 分析：由形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過(guò)構(gòu)造（12+22+32）作為一個(gè)因式而解決問(wèn)題。四、鞏固練習(xí)：練習(xí)：1設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，且x+y+z=1，求的最小值。 2已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。 3已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a+2b+3c=9，求的最大值。選做：4已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08廣一模） 5已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a+2b+c=1，求的最小值。（08東莞二模） 6已知x+y+z=，則m=x2+2y2+z2的最小值是_.(08惠州調(diào)研)五、課堂小結(jié)：重點(diǎn)掌握三維柯西不等式的運(yùn)用。六、布置作業(yè)：P41習(xí)題3.2 2，3，4，5七、教學(xué)后記：課 題： 第04課時(shí) 排序不等式教學(xué)目標(biāo)：1. 了解排序不等式的基本形式，會(huì)運(yùn)用排序不等式分析解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題; 2. 體會(huì)運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般思想方法教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用排序不等式證明不等式教學(xué)難點(diǎn)：排序不等式的證明思路教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1. 提問(wèn)： 前面所學(xué)習(xí)的一些經(jīng)典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）2. 舉例：說(shuō)說(shuō)兩類(lèi)經(jīng)典不等式的應(yīng)用實(shí)例.二、講授新課：1. 教學(xué)排序不等式： 看書(shū)：P41P44. 如 如圖， 設(shè)，自點(diǎn)沿邊依次取個(gè)點(diǎn)， 邊依次取取個(gè)點(diǎn)，在邊取某個(gè)點(diǎn)與邊 某個(gè)點(diǎn)連接，得到，這樣一一搭配，一共可得到 個(gè)三角形。顯然，不同的搭配方法，得到的 不同，問(wèn)：邊上的點(diǎn)與邊上的點(diǎn)如何搭配，才能使個(gè)三角形的面積和最大（或最?。?設(shè)，由已知條件，得 因?yàn)榈拿娣e是 ，而 是常數(shù)，于是，上面的幾何問(wèn)題就可以歸結(jié)為 代數(shù)問(wèn)題： 則 何時(shí)取最大（或最小）值？ 我們把叫做數(shù)組與的亂序和. 其中, 稱(chēng)為 序和. 稱(chēng)為 序和.這樣的三個(gè)和大小關(guān)系如何? 設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組:;，是，的任一排列,則有+ (同序和)+ (亂序和)+ (反序和) 當(dāng)且僅當(dāng)=或=時(shí)，反序和等于同序和. （要點(diǎn)：理解其思想，記住其形式）三、應(yīng)用舉例：例1：設(shè)是n個(gè)互不相同的正整數(shù)，求證：. 分析：如何構(gòu)造有序排列？ 如何運(yùn)用套用排序不等式？ 證明過(guò)程： 設(shè)是的一個(gè)排列，且，則. 又，由排序不等式，得 小結(jié)：分析目標(biāo)，構(gòu)造有序排列.四、鞏固練習(xí)：1. 練習(xí)：教材P45 1題2.已知為正數(shù)，求證：. 解答要點(diǎn)：由對(duì)稱(chēng)性，假設(shè)，則，于是 ， 兩式相加即得.五、課堂小結(jié)：排序不等式的基本形式.六、布置作業(yè)：教材P45 3、4題七、教學(xué)后記：第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課 題： 第01課時(shí) 數(shù)學(xué)歸納法（一）教學(xué)目標(biāo)：1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題；2. 進(jìn)一步發(fā)展猜想歸納能力和創(chuàng)新能力，經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程, 體會(huì)類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的分析和對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟的掌握。教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解。教學(xué)過(guò)程：一、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題（1）不完全歸納法：今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生嗎？因?yàn)榍宄课以趯W(xué)校門(mén)口看到第一個(gè)進(jìn)校園的是男同學(xué)，第二個(gè)進(jìn)校園的也是男同學(xué)，第三個(gè)進(jìn)校園的還是男同學(xué)。于是得出結(jié)論：學(xué)校里全部都是男同學(xué)，同學(xué)們說(shuō)我的結(jié)論對(duì)嗎？（這顯然是一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論，說(shuō)明不完全歸納的結(jié)論是不可靠的，進(jìn)而引出第二個(gè)問(wèn)題）（2）完全歸納法：一個(gè)火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是紅色的，抽