2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 理 新人教A版 .DOC

2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 理 新人教A版xx高考會這樣考1.考查三角函數(shù)的圖象：五點法作簡圖、圖象變換、圖象的解析式；2.考查三角函數(shù)的性質(zhì)：值域或最值，單調(diào)區(qū)間、對稱性等；3.考查數(shù)形結(jié)合思想復(fù)習(xí)備考要這樣做1.會作三角函數(shù)的圖象，通過圖象研究三角函數(shù)性質(zhì)；2.對三角函數(shù)進行恒等變形，然后討論圖象、性質(zhì)；3.注重函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用1 “五點法”作圖原理在確定正弦函數(shù)ysin x在0,2上的圖象形狀時，起關(guān)鍵作用的五個點是(0,0)、(，0)、(2，0)余弦函數(shù)呢？2 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 函數(shù) 性質(zhì)ysin xycos xytan x定義域RRx|xk，kZ圖象值域1,11,1R對稱性對稱軸：xk(kZ)；對稱中心：(k，0)(kZ)對稱軸：xk(kZ)；對稱中心：(k，0) (kZ)對稱中心：(kZ)周期22單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間2k，2k(kZ)；單調(diào)減區(qū)間2k，2k (kZ)單調(diào)增區(qū)間2k，2k (kZ)；單調(diào)減區(qū)間2k，2k(kZ)單調(diào)增區(qū)間(k，k)(kZ)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)難點正本疑點清源1 函數(shù)的周期性若f(xT)f(x) (>0)，常數(shù)T不能說是函數(shù)f(x)的周期因為f(xT)f，即自變量由x增加到x，是函數(shù)的周期2 求三角函數(shù)值域(最值)的方法(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為yAsin(x)k的形式逐步分析x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性寫出函數(shù)的值域；(3)換元法：把sin x或cos x看作一個整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問題1 設(shè)點P是函數(shù)f(x)sin x (0)的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸的距離的最小值是，則f(x)的最小正周期是_答案解析由正弦函數(shù)的圖象知對稱中心與對稱軸的距離的最小值為最小正周期的，故f(x)的最小正周期為T4.2 函數(shù)y23cos的最大值為_，此時x_.答案52k，kZ解析當(dāng)cos1時，函數(shù)y23cos取得最大值5，此時x2k (kZ)，從而x2k，kZ.3 (xx福建)函數(shù)f(x)sin的圖象的一條對稱軸是()Ax Bx Cx Dx答案C解析方法一正弦函數(shù)圖象的對稱軸過圖象的最高點或最低點，故令xk，kZ，xk，kZ.取k1，則x.方法二用驗證法x時，ysin0，不合題意，排除A；x時，ysin，不合題意，排除B；x時，ysin1，符合題意，C項正確；x時，ysin，不合題意，故D項也不正確4函數(shù)ytan的定義域為()Ax|xk，kZ Bx|x2k，kZCx|xk，kZ Dx|x2k，kZ答案A解析令xk，kZ，xk，kZ.5 給出下列四個命題，其中不正確的命題為()若cos cos ，則2k，kZ；函數(shù)y2cos的圖象關(guān)于x對稱；函數(shù)ycos(sin x)(xR)為偶函數(shù)；函數(shù)ysin|x|是周期函數(shù)，且周期為2.A BC D答案D解析命題：若，則cos cos ，假命題；命題：x，coscos 0，故x不是y2cos的對稱軸；命題：函數(shù)ysin|x|不是周期函數(shù)題型一三角函數(shù)的定義域、值域問題例1(1)求函數(shù)ylg sin 2x的定義域；(2)求函數(shù)ycos2xsin x 的最大值與最小值思維啟迪：求函數(shù)的定義域可利用三角函數(shù)的圖象或數(shù)軸；求函數(shù)值域時要利用正弦函數(shù)的值域或化為二次函數(shù)解(1)由，得3x<或0<x<.函數(shù)ylg sin 2x的定義域為x|3x<或0<x<(2)令tsin x，|x|，t.yt2t12，當(dāng)t時，ymax，t時，ymin.函數(shù)ycos2xsin x(|x|)的最大值為，最小值為.探究提高(1)求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解(2)求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型的題目：形如yasin xbcos xc的三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)，可先設(shè)sin xt，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函數(shù)，可先設(shè)tsin xcos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值) (1)求函數(shù)y的定義域；(2)已知函數(shù)f(x)cos2sinsin，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值與最小值解(1)要使函數(shù)有意義，必須使sin xcos x0.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫出0,2內(nèi)ysin x和ycos x的圖象，如圖所示在0,2內(nèi)，滿足sin xcos x的x為，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2，所以定義域為x|2kx2k，kZ(2)由題意得：f(x)cos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.又x，2x，sin.故當(dāng)x時，f(x)取最大值1；當(dāng)x時，f(x)取最小值.題型二三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性例2寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及周期：(1)ysin；(2)y|tan x|.思維啟迪：(1)化為ysin，再求單調(diào)區(qū)間及周期(2)由ytan x的圖象y|tan x|的圖象求單調(diào)性及周期解(1)ysin，它的增區(qū)間是ysin的減區(qū)間，它的減區(qū)間是ysin的增區(qū)間由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所給函數(shù)的減區(qū)間為，kZ；增區(qū)間為，kZ.最小正周期T.(2)觀察圖象可知，y|tan x|的增區(qū)間是，kZ，減區(qū)間是，kZ.最小正周期T.探究提高(1)求形如yAsin(x)或yAcos(x) (其中A0，>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答列不等式的原則：把“x (>0)”視為一個“整體”；A>0 (A<0)時，所列不等式的方向與ysin x(xR)，ycos x(xR)的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等式方向相同(反)(2)對于yAtan(x) (A、為常數(shù))，其周期T，單調(diào)區(qū)間利用x，解出x的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間對于復(fù)合函數(shù)yf(v)，v(x)，其單調(diào)性的判定方法：若yf(v)和v(x)同為增(減)函數(shù)時，yf(x)為增函數(shù)；若yf(v)和v(x)一增一減時，yf(x)為減函數(shù)(3)求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定 求函數(shù)ysincos的周期、單調(diào)區(qū)間及最大、最小值解，coscoscossin.y2sin，周期T.當(dāng)2k4x2k (kZ)時，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)的遞增區(qū)間為 (kZ)當(dāng)2k4x2k (kZ)時，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)的遞減區(qū)間為(kZ)當(dāng)x (kZ)時，ymax2；當(dāng)x (kZ)時，ymin2.題型三三角函數(shù)的對稱性與奇偶性例3(1)已知f(x)sin xcos x(xR)，函數(shù)yf(x) 的圖象關(guān)于直線x0對稱，則的值為_(2)如果函數(shù)y3cos(2x)的圖象關(guān)于點中心對稱，那么|的最小值為()A. B. C. D.答案(1)(2)A解析(1)f(x)2sin，yf(x)2sin圖象關(guān)于x0對稱，即f(x)為偶函數(shù)k，kZ，k，kZ，又|，.(2)由題意得3cos3cos3cos0，k，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值為.故選A.探究提高若f(x)Asin(x)為偶函數(shù)，則當(dāng)x0時，f(x)取得最大值或最小值若f(x)Asin(x)為奇函數(shù)，則當(dāng)x0時，f(x)0.如果求f(x)的對稱軸，只需令xk (kZ)，求x.如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令xk (kZ)即可(1)定義運算adbc，則函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸方程是 ()Ax BxCx Dx(2)若函數(shù)f(x)asin xbcos x (0<<5，ab0)的圖象的一條對稱軸方程是x，函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心是，則f(x)的最小正周期是_答案(1)A(2)解析(1)f(x)3cos xsin x2cos.所以當(dāng)x時，f(x)2cos2.(2)由題設(shè)，有f，即(ab)，由此得到ab.又f0，a0，從而tan 1，k，kZ，即8k2，kZ，而0<<5，2，于是f(x)a(sin 2xcos 2x)asin，故f(x)的最小正周期是.方程思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用典例：(12分)已知函數(shù)f(x)2asinb的定義域為，函數(shù)的最大值為1，最小值為5，求a和b的值審題視角(1)求出2x的范圍，求出sin的值域(2)系數(shù)a的正、負(fù)影響著f(x)的值，因而要分a>0，a<0兩種情況討論(3)根據(jù)a>0或a<0求f(x)的最值，列方程組求解規(guī)范解答解0x，2x，sin1，3分若a>0，則，解得；7分若a<0，則，解得.11分綜上可知，a126，b2312或a126，b1912.12分溫馨提醒(1)對此類問題的解決，首先利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求出yAasin(x)或yAacos(x)的最值，但要注意對a的正負(fù)進行討論，以便確定是最大值還是最小值(2)再由已知列方程求解(3)本題的易錯點是忽視對參數(shù)a>0或a<0的分類討論，導(dǎo)致漏解.方法與技巧1利用函數(shù)的有界性(1sin x1，1cos x1)，求三角函數(shù)的值域(最值)2利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域或最值3利用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(要注意x系數(shù)的正負(fù)號)失誤與防范1閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對最值的影響2求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)先把函數(shù)式化成形如yAsin(x) (>0)的形式，再根據(jù)基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出x所在的區(qū)間應(yīng)特別注意，考慮問題應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)考慮注意區(qū)分下列兩題的單調(diào)增區(qū)間的不同：(1)ysin；(2)ysin.3利用換元法求三角函數(shù)最值時注意三角函數(shù)的有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin x(|t|1)，則y(t2)211，解法錯誤A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 函數(shù)y的定義域為()A.B.，kZC.，kZDR答案C解析由題意得cos x，即2kx2k，kZ，故函數(shù)定義域為，kZ.2 ysin的圖象的一個對稱中心是()A(，0) B.C. D.答案B解析ysin x的對稱中心為(k，0) (kZ)，令xk (kZ)，xk (kZ)，由k1，x得ysin的一個對稱中心是.3 (xx山東)若函數(shù)f(x)sin x (>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則等于()A. B. C2 D3答案B解析f(x)sin x(>0)過原點，當(dāng)0x，即0x時，ysin x是增函數(shù)；當(dāng)x，即x時，ysin x是減函數(shù)由f(x)sin x (>0)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減知，.4 函數(shù)f(x)cos 2xsin是 ()A非奇非偶函數(shù)B僅有最小值的奇函數(shù)C僅有最大值的偶函數(shù)D有最大值又有最小值的偶函數(shù)答案D解析f(x)cos 2xsin2cos2x1cos x22.顯然有最大值又有最小值，而且在R上有f(x)f(x)，所以正確答案為D.二、填空題(每小題5分，共15分)5 函數(shù)ylg(sin x)的定義域為_答案 (kZ)解析要使函數(shù)有意義必須有，即，解得(kZ)，2k<x2k，kZ，函數(shù)的定義域為.6 已知函數(shù)f(x)3sin(x)(>0)和g(x)2cos(2x)1的圖象的對稱軸完全相同若x0，則f(x)的取值范圍是_答案，3解析由對稱軸完全相同知兩函數(shù)周期相同，2，f(x)3sin(2x)由x0，得2x，f(x)3.7 函數(shù)f(x)2sin x(>0)在上單調(diào)遞增，且在這個區(qū)間上的最大值是，那么_.答案解析因為f(x)2sin x (>0)在上單調(diào)遞增，且在這個區(qū)間上的最大值是，所以2sin ，且0<<，因此.三、解答題(共22分)8 (10分)設(shè)函數(shù)f(x)sin (<<0)，yf(x)圖象的一條對稱軸是直線x.(1)求；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間解(1)令2k，kZ，k，kZ，又<<0，則<k<，kZ.k1，則.(2)由(1)得：f(x)sin，令2k2x2k，kZ，可解得kxk，kZ，因此yf(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ.9 (12分)(1)求函數(shù)y2sin (<x<)的值域；(2)求函數(shù)y2cos2x5sin x4的值域解(1)<x<，0<2x<，0<sin1，y2sin的值域為(0,2(2)y2cos2x5sin x42(1sin2x)5sin x42sin2x5sin x222.當(dāng)sin x1時，ymax1，當(dāng)sin x1時，ymin9，y2cos2x5sin x4的值域為9,1B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 (xx天津)將函數(shù)f(x)sin x(其中>0)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象經(jīng)過點，則的最小值是()A. B1 C. D2答案D解析根據(jù)題意平移后函數(shù)的解析式為ysin ，將代入得sin 0，則2k，kZ，且>0，故的最小值為2.2 (xx上海)若Snsin sin sin (nN*)，則在S1，S2，S100中，正數(shù)的個數(shù)是 ()A16 B72 C86 D100答案C解析易知S1>0，S2>0，S3>0，S4>0，S5>0，S6>0，S7>0.S8sin sin sin sin sin sin sin >0，S9sin sin sin >0，S10sin sin >0，S11sin sin sin >0，S12sin sin >0，S13sin 0，S14sin sin 0，S1，S2，S100中，S130，S140，S270，S280，S410，S420，S550，S560，S690，S700，S830，S840，S970，S980，共14個在S1，S2，S100中，正數(shù)的個數(shù)是1001486(個)3 已知函數(shù)f(x)2sin x(>0)在區(qū)間上的最小值是2，則的最小值等于()A. B. C2 D3答案B解析f(x)2sin x (>0)的最小值是2，x，kZ，kZ，6k且8k2，kZ，min，故選B.二、填空題(每小題5分，共15分)4 函數(shù)y2sin(3x) (|<)的一條對稱軸為x，則_.答案解析由題意得3k，kZ，k，kZ，又|<，.5 函數(shù)y (0<x<)的最小值為_答案2解析令sin xt(0,1，則函數(shù)y1，t(0,1又y1在t(0,1上是減函數(shù)，所以當(dāng)t1時，y取得最小值2.6 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)sin xcos x時，f(x)cos x，當(dāng)sin x>cos x時，f(x)sin x.給出以下結(jié)論：f(x)是周期函數(shù)；f(x)的最小值為1；當(dāng)且僅當(dāng)x2k (kZ)時，f(x)取得最小值；當(dāng)且僅當(dāng)2k<x<(2k1)(kZ)時，f(x)>0；f(x)的圖象上相鄰兩個最低點的距離是2.其中正確的結(jié)論序號是_答案解析易知函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)函數(shù)f(x)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示由圖象可得，f(x)的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)x2k (kZ)時，f(x)取得最小值；當(dāng)且僅當(dāng)2k<x<(2k1) (kZ)時，f(x)>0；f(x)的圖象上相鄰兩個最低點的距離是2.所以正確的結(jié)論的序號是.三、解答題7 (13分)已知a>0，函數(shù)f(x)2asin2ab，當(dāng)x時，5f(x)1.(1)求常數(shù)a，b的值；(2)設(shè)g(x)f且lg g(x)>0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)x，2x.sin，2asin2a，af(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)>0，得g(x)>1，4sin1>1，sin>，2k<2x<2k，kZ，其中當(dāng)2k<2x2k，kZ時，g(x)單調(diào)遞增，即k<xk，kZ，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ.又當(dāng)2k<2x<2k，kZ時，g(x)單調(diào)遞減，即k<x<k，kZ.g(x)的單調(diào)減區(qū)間為，kZ.