2019-2020年高中數學 1.2.1 任意角的三角函數教案 新人教A版必修4.doc

2019-2020年高中數學 1.2.1 任意角的三角函數教案 新人教A版必修4教學分析 學生已經學過銳角三角函數,它是用直角三角形邊長的比來刻畫的.銳角三角函數的引入與“解三角形”有直接關系.任意角的三角函數是刻畫周期變化現象的數學模型,它與“解三角形”已經沒有什么關系了.因此,與學習其他基本初等函數一樣,學習任意角的三角函數,關鍵是要使學生理解三角函數的概念、圖象和性質,并能用三角函數描述一些簡單的周期變化規(guī)律,解決簡單的實際問題. 本節(jié)以銳角三角函數為引子,利用單位圓上點的坐標定義三角函數.由于三角函數與單位圓之間的這種緊密的內部聯系,使得我們在討論三角函數的問題時,對于研究哪些問題以及用什么方法研究這些問題等,都可以從圓的性質(特別是對稱性)中得到啟發(fā).三角函數的研究中,數形結合思想起著非常重要的作用. 利用信息技術,可以很容易地建立角的終邊和單位圓的交點坐標、單位圓中的三角函數線之間的聯系,并在角的變化過程中,將這種聯系直觀地體現出來.所以,信息技術可以幫助學生更好地理解三角函數的本質.激發(fā)學生對數學研究的熱情,培養(yǎng)學生勇于發(fā)現、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神;通過學生之間、師生之間的交流合作,實現共同探究、教學相長的教學情境.三維目標 1.通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數定義,理解三角函數是以實數為自變量的函數,并從任意角的三角函數定義認識正弦、余弦、正切函數的定義域,理解并掌握正弦、余弦、正切函數在各象限內的符號. 2.通過對任意角的三角函數定義的理解,掌握終邊相同角的同一三角函數值相等. 3.正確利用與單位圓有關的有向線段,將任意角的正弦、余弦、正切函數值表示出來,即用正弦線、余弦線、正切線表示出來. 4.能初步應用定義分析和解決與三角函數值有關的一些簡單問題.重點難點教學重點:任意角的正弦、余弦、正切的定義,終邊相同的角的同一三角函數值相等.教學難點:用角的終邊上的點的坐標來刻畫三角函數;三角函數符號;利用與單位圓有關的有向線段,將任意角的正弦、余弦、正切函數值用幾何形式表示.課時安排2課時教學過程第1課時導入新課 思路1.我們把角的范圍推廣了,銳角三角函數的定義還能適用嗎?譬如三角形內角和為180,那么sin200的值還是三角形中200的對邊與斜邊的比值嗎?類比角的概念的推廣,怎樣修正三角函數定義?由此展開新課.另外用“單位圓定義法”單刀直入給出定義,然后再在適當時機聯系銳角三角函數,這也是一種不錯的選擇. 思路2.教師先讓學生看教科書上的“思考”,通過這個“思考”提出用直角坐標系中角的終邊上點的坐標表示銳角三角函數的問題,以引導學生回憶銳角三角函數概念,體會引進象限角概念后,用角的終邊上點的坐標比表示銳角三角函數的意義,從而為定義任意角的三角函數奠定基礎.教科書在定義任意角的三角函數之前,作了如下鋪墊:直角三角形為載體的銳角三角函數象限角為載體的銳角三角函數單位圓上點的坐標表示的銳角三角函數.推進新課新知探究提出問題 問題:在初中時我們學了銳角三角函數,你能回憶一下銳角三角函數的定義嗎? 問題:你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數嗎? 活動:教師提出問題,學生口頭回答,突出它是以銳角為自變量,邊的比值為函數值的三角函數,教師并對回答正確的學生進行表揚,對回答不出來的同學給予提示和鼓勵.然后教師在黑板上畫出直角三角形. 教師提示:前面我們對角的概念已經進行了擴充,并且學習了弧度制,知道了角的集合與實數集是一一對應的,在此基礎上,我們來研究任意角的三角函數.教師在直角三角形所在的平面上建立適當的坐標系,畫出角的終邊;學生給出相應點的坐標,并用坐標表示銳角三角函數.圖1 如圖1,設銳角的頂點與原點O重合,始邊與x軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點P(a,b),它與原點的距離>0.過P作x軸的垂線,垂足為M,則線段OM的長度為a,線段MP的長度為b.根據初中學過的三角函數定義,我們有sin=,cos=,tan=.討論結果:銳角三角函數是以銳角為自變量,邊的比值為函數值的三角函數.sin=,cos=,tan=.提出問題 問題:如果改變終邊上的點的位置,這三個比值會改變嗎?為什么? 問題:你利用已學知識能否通過取適當點而將上述三角函數的表達式簡化? 活動:教師先讓學生們相互討論,并讓他們動手畫畫圖形,看看從圖形中是否能找出某種關系來.然后提問學生,由學生回答教師的問題,教師再引導學生選幾個點,計算一下對應的比值,獲得具體認識,并由相似三角形的性質來證明.最后可以發(fā)現,由相似三角形的知識,對于確定的角,這三個比值不會隨點P在的終邊上的位置的改變而改變. 過圖形教師引導學生進行對比,學生通過對比發(fā)現取到原點的距離為1的點可以使表達式簡化. 此時sin=b,cos=a,tan=. 在引進弧度制時我們看到,在半徑為單位長度的圓中,角的弧度數的絕對值等于圓心角所對的弧長(符號由角的終邊的旋轉方向決定).在直角坐標系中,我們稱以原點O為圓心,以單位長度為半徑的圓為單位圓.這樣,上述P點就是的終邊與單位圓的交點.銳角三角函數可以用單位圓上點的坐標表示. 同樣地,我們可以利用單位圓定義任意角的三角函數.圖2 如圖2所示,設是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么: (1)y叫做的正弦,記作sin,即sin=y; (2)x叫做的余弦,記作cos,即cos=x; (3)叫做的正切,記作tan,即tan=(x0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數,我們將它們統(tǒng)稱為三角函數. 教師出示定義后,可讓學生解釋一下定義中的對應關系.教師應指出任意角的正弦、余弦、正切的定義是本節(jié)教學的重點.用單位圓上點的坐標表示任意角的三角函數,與學生在銳角三角函數學習中建立的已有經驗有一定的距離,與學生在數學必修一的學習中建立起來的經驗也有一定的距離.學生熟悉的函數y=f(x)是實數到實數的一一對應,而這里給出的三角函數首先是實數(弧度數)到點的坐標的對應,然后才是實數(弧度數)到實數(橫坐標或縱坐標)的對應,這就給學生的理解造成一定的困難.教師在教學中可以在學生對銳角三角函數已有的幾何直觀認識的基礎上,先建立直角三角形的銳角與第一象限角的聯系,在直角坐標系中考查銳角三角函數,得出用角的終邊上點的坐標(比值)表示銳角三角函數的結論,然后再“特殊化”引出用單位圓上點的坐標表示銳角三角函數的結論.在此基礎上,再定義任意角的三角函數. 在導學過程中教師應點撥學生注意,盡管我們從銳角三角函數出發(fā)來引導學生學習任意角的三角函數,但任意角的三角函數與銳角三角函數之間并沒有一般與特殊的關系.教師在教學中應當使學生體會到,用單位圓上點的坐標表示銳角三角函數,不僅簡單、方便,而且反映本質. 教師可以引導學生通過分析三角函數定義中的自變量是什么,對應關系有什么特點,函數值是什么.特別注意既表示一個角,又是一個實數(弧度數).“它的終邊與單位圓交于點P(x,y)”包含兩個對應關系.從而可以把三角函數看成是自變量為實數的函數.值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角為自變量,以比值為函數值的函數.(2)sin不是sin與的乘積,而是一個比值;三角函數的記號是一個整體,離開自變量的“sin”“tan”等是沒有意義的.討論結果:這三個比值與終邊上的點的位置無關,根據初中學過的三角函數定義,有sin=,cos=,tan=. 由相似三角形的知識,對于確定的角,這三個比值不會隨點P在的終邊上的位置的改變而改變.能.提出問題 問題:學習了任意角,并利用單位圓表示了任意角的三角函數,引入一個新的函數,我們可以對哪些問題進行討論? 問題:根據三角函數的定義,正弦、余弦、正切的定義域、值域是怎樣的? 活動:教師引導學生結合在數學必修一中的有關函數的問題,讓學生回顧所學知識,并總結回答老師的問題,教師對學生總結的東西進行提問,并對回答正確的學生進行表揚,回答不正確或者不全面的學生給予提示和補充.教師讓學生完成教科書上的“探究”,教師提問或讓學生上黑板板書. 按照這樣的思路,我們一起來探究如下問題:請根據任意角的三角函數定義,先將正弦、余弦、正切函數在弧度制下的定義域填入下表,再將這三種函數的值在各象限的符號填入圖3中的括號內.三角函數定義域sincostan圖3 教師要注意引導學生從定義出發(fā),利用坐標平面內點的坐標的特征得定義域、函數值的符號等結論.對于正弦函數sin=y,因為y恒有意義,即取任意實數,y恒有意義,也就是說sin恒有意義,所以正弦函數的定義域是R;類似地可寫出余弦函數的定義域;對于正切函數tan=,因為x=0時,無意義,即tan無意義,又當且僅當角的終邊落在縱軸上時,才有x=0,所以當的終邊不在縱軸上時,恒有意義,即tan恒有意義,所以正切函數的定義域是 +k(kZ).(由學生填寫下表)三角函數定義域sinRcosRtan|+k,kZ 三角函數的定義告訴我們,各三角函數在各象限內的符號,取決于x,y的符號,當點P在第一、二象限時,縱坐標y>0,點P在第三、四象限時,縱坐標y<0,所以正弦函數值對于第一、二象限角是正的,對于第三、四象限角是負的(可制作課件展示);同樣地,余弦函數在第一、四象限是正的,在第二、三象限是負的;正切函數在第一、三象限是正的,在第二、四象限是負的.從而完成上面探究問題.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.討論結果:定義域、值域、單調性等.y=sin與y=cos的定義域都是全體實數R,值域都是-1,1.y=tan的定義域是 +k(kZ),值域是R.應用示例思路1 例1 已知角的終邊經過點P0(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值. 活動:教師留給學生一定的時間,學生獨立思考并回答.明確可以用角終邊上任意一點的坐標來定義任意角的三角函數,但用單位圓上點的坐標來定義,既不失一般性,又簡單,更容易看清對應關系.教師要點撥引導學生習慣畫圖,充分利用數形結合,但要提醒學生注意角的任意性.如圖4,設是一個任意角,P(x,y)是終邊上任意一點,點P與原點的距離r=>0,那么:圖4 叫做的正弦,即sin=; 叫做的余弦,即cos=; 叫做的正切,即tan=(x0). 這樣定義三角函數,突出了點P的任意性,說明任意角的三角函數值只與有關,而與點P在角的終邊上的位置無關,教師要讓學生充分思考討論后深刻理解這一點.解:由已知,可得OP0=5.圖5如圖5,設角的終邊與單位圓交于點P(x,y).分別過點P、P0作x軸的垂線MP、M0P0,則|M0P 0|=4,|MP|=-y,|OM0|=3，|OM|=-x,OMPOM0P0,于是sin=y=;cos=x=;tan=. 點評:本例是已知角終邊上一點的坐標,求角的三角函數值問題.可以先根據三角形相似將這一問題化歸到單位圓上,再由定義得解.變式訓練 求的正弦、余弦和正切值.圖6解:在平面直角坐標系中,作AOB=,如圖6.易知AOB的終邊與單位圓的交點坐標為(,),所以sin=,cos=,tan=.例2 求證:當且僅當下列不等式組成立時,角為第三象限角. 活動:教師引導學生討論驗證在不同的象限內各個三角函數值的符號有什么樣的關系,提示學生從三角函數的定義出發(fā)來探究其內在的關系.可以知道:三角函數的定義告訴我們,各三角函數在各象限內的符號,取決于x,y的符號,當點P在第一、二象限時,縱坐標y>0,點P在第三、四象限時,縱坐標y<0,所以正弦函數值對于第一、二象限角是正的,對于第三、四象限角是負的;同樣地,余弦函數在第一、四象限是正的,在第二、三象限是負的;正切函數在第一、三象限是正的,在第二、四象限是負的. 證明:我們證明如果式都成立,那么為第三象限角. 因為sin<0成立,所以角的終邊可能位于第三或第四象限,也可能位于y軸的非正半軸上; 又因為式tan>0成立,所以角的終邊可能位于第一或第三象限. 因為式都成立,所以角的終邊只能位于第三象限. 于是角為第三象限角. 反過來請同學們自己證明. 點評:本例的目的是認識不同位置的角對應的三角函數值的符號,其條件以一個不等式出現,在教學時要讓學生把問題的條件、結論弄清楚,然后再給出證明.這一問題的解決可以訓練學生的數學語言表達能力.變式訓練 (xx北京高考)已知costan<0,那么角是( )A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角答案:C例3 求下列三角函數值:(1)sin390;(2)cos;(3)tan(-330). 活動:引導學生總結終邊相同角的表示法有什么特點,終邊相同的角相差2的整數倍,那么這些角的同一三角函數值有何關系?為什么? 引導學生從角的終邊的關系到角之間的關系再到函數值之間的關系進行討論,然后再用三角函數的定義證明. 由三角函數的定義,可以知道:終邊相同的角的同一三角函數的值相等.由此得到一組公式(公式一): sin(+k2)=sin, cos(+k2)=cos, tan(+k2)=tan, 其中kZ. 利用公式一,可以把求任意角的三角函數值,轉化為求0到2(或0到360)角的三角函數值.這個公式稱為三角函數的“誘導公式一”.解:(1)sin390=sin(360+30)=sin30=;(2)cos=cos(2+)=cos=;(3)tan(-330)=tan(-360+30)=tan30=.點評:本題主要是對誘導公式一的考查,利用公式一將任意角都轉化到02范圍內求三角函數的值.思路2例1 已知角的終邊在直線y=-3x上,則10sin+3sec=. 活動:要讓學生獨立思考這一題目,本題雖然是個填空題,看似簡單但內含分類討論思想,可以找兩個學生來板演這個例題.對解答思路正確的學生給以鼓勵,對思路受阻的學生要引導其思路的正確性.并適時地點撥學生:假如是個大的計算題應該怎樣組織步驟.解:設角終邊上任一點為P(k,-3k)(k0),則x=k,y=-3k,r=k.(1)當k>0時,r=,是第四象限角,sin=,sec=,10sin+3sec=10+3=-3+3=0.(2)當k<0時,r=,為第二象限角,sin=,sec=,10sin+3sec=10+3()=3-3=0. 綜合以上兩種情況均有10sin+3sec=0. 點評:本題的解題關鍵是要清楚當k>0時,P(k,-3k)是第四象限內的點,角的終邊在第四象限;當k<0時,P(k,-3k)是第二象限內的點,角的終邊在第二象限內,這與角的終邊在y=-3x上是一致的.變式訓練設f(x)=sinx,求f(1)+f(2)+f(3)+f(72)的值.解:f(1)=sin=,f(2)=sin=,f(3)=sin=0,f(4)=sin=,f(5)=sin=,f(6)=sin2=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0.而f(7)=sin=sin,f(8)=sin=sin,f(12)=sin=sin2,f(7)+f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)=0.同理f(13)+f(14)+f(15)+f(16)+f(17)+f(18)=0,f(67)+f(68)+f(72)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(72)=0. 求函數y=+tan的定義域. 活動:讓學生先回顧求函數的定義域需要注意哪些特點,并讓學生歸納出一些常見函數有意義的要求,根據函數有意義的特征來求自變量的范圍.對于三角函數這種特殊的函數在解三角不等式時要結合三角函數的定義進行.求含正切函數的組合型三角函數的定義域時,正切函數本身的定義域往往被忽略,教師提醒學生應引起注意這種情況.同時,函數的定義域是一個集合,所以結論要用集合形式表示. 解:要使函數y=+tan有意義,則sin0且k+(kZ). 由正弦函數的定義知道,sin0就是角的終邊與單位圓的交點的縱坐標非負. 角的終邊在第一、二象限或在x軸上或在y軸非負半軸上,即2k+2k(kZ). 函數的定義域是2k<+2k或+2k<(2k+1),kZ. 點評:本題的關鍵是弄清楚要使函數式有意義,必須sin0,且tan有意義,由此推導出的取值范圍就是函數的定義域.變式訓練求下列函數的定義域:(1)y=sinx+cosx;(2)y=sinx+tanx;(3)y=;(4)y=+tanx.解:(1)使sinx,cosx有意義的xR,y=sinx+cosx的定義域為R.(2)要使函數有意義,必須使sinx與tanx有意義.有函數y=sinx+tanx的定義域為xxk+,kZ.(3)要使函數有意義,必須使tanx有意義,且tanx0.有(kZ),函數y=的定義域為xx,kZ.(4)當sinx0且tanx有意義時,函數有意義,有(kZ).函數y=+tanx的定義域為2k,2k+)(2k+,(2k+1)(kZ).知能訓練課本本節(jié)練習.解答:1.sin=;cos=;tan=點評:根據定義求某個特殊角的三角函數值.2.sin=;cos=;tan=.點評:已知角終邊上一點的坐標,由定義求角的三角函數值.3.角090180270360角的弧度數02sin010-10cos10-101tan0不存在0不存在0點評:熟悉特殊角的三角函數值,并進一步地理解公式一.4.當為鈍角時,cos和tan取負值.點評:認識與三角形內角有關的三角函數值的符號.5.(1)正;(2)負;(3)零;(4)負;(5)正;(6)正.點評:認識不同位置的角對應的三角函數值的符號.6.(1)或或;(2)或或;(3)或或;(4)或或.點評:認識不同象限的角對應的三角函數值的符號.7.(1)0.874 6;(2);(3)0.5;(4)1.點評:求三角函數值,并進一步地認識三角函數的定義及公式一.課堂小結 本節(jié)課我們給出了任意角三角函數的定義,并且討論了正弦、余弦、正切函數的定義域,任意角的三角函數實質上是銳角三角函數的擴展,是將銳角三角函數中邊的比變?yōu)樽鴺伺c距離、坐標與坐標的比,記憶方法可用銳角三角函數類比記憶,至于三角函數的定義域可由三角函數的定義分析得到.本節(jié)課我們重點討論了兩個內容,一是三角函數在各象限內的符號,二是一組公式,兩者的作用分別是:前者確定函數值的符號,后者將任意角的三角函數化為0到360角的三角函數,這兩個內容是我們日后學習的基礎,經常要用,請同學們熟記.作業(yè)課本習題1.2A組題19.設計感想 關于三角函數定義法,總的說來就兩種:“單位圓定義法”與“終邊定義法”.這兩種方法本質上是一致的.正因為此,各種數學出版物中,兩種定義方法都有采用.在學習本節(jié)的過程中可以與初中學習的三角函數定義進行類比、學習.理解任意角三角函數的定義不但是學好本節(jié)內容的關鍵,也是學好本章內容的關鍵.在教學中,教師應該充分調動學生獨立思考和總結的能力,以鞏固對知識的理解和掌握. 教師在教學中,始終引導學生緊扣三角函數的定義,善于利用數形結合.在利用三角函數定義進行求值時,應特別強調要注意橫向聯系,即不僅僅能求出該值,還要善于觀察該值與其他三角函數值之間的聯系,找出規(guī)律來求解.(設計者：房增鳳)第2課時導入新課 思路1.(情境導入)同學們都在一些旅游景地或者在公園中見過大觀覽車,大家是否想過大觀覽車在轉動過程中,座椅離地面的高度隨著轉動角度的變化而變化,二者之間有怎樣的相依關系呢? 思路2.(復習導入)我們研究了三角函數在各象限內的符號,學習了將任意角的三角函數化成0360角的三角函數的一組公式,前面還分析討論了三角函數的定義域,這些內容的研究,都是建立在任意角的三角函數定義之上的,這些知識在以后我們繼續(xù)學習“三角”內容時,是經常、反復運用的,請同學們務必在理解的基礎上要加強記憶.由三角函數的定義我們知道,對于角的各種三角函數我們都是用比值來表示的,或者說是用數來表示的,今天我們再來學習正弦、余弦、正切函數的另一種表示方法幾何表示法.我們知道,直角坐標系內點的坐標與坐標軸的方向有關.因此自然產生一個想法是以坐標軸的方向來規(guī)定有向線段的方向,以使它們的取值與點的坐標聯系起來.推進新課 新知探究 提出問題 問題:回憶上節(jié)課學習的三角函數定義并思考:三角函數的定義能否用幾何中的方法來表示,應怎樣表示呢? 問題:回憶初中學過的線段,若加上方向會怎樣呢?什么是有向線段? 活動:指導學生在平面直角坐標系內作出單位圓,設任意角的頂點在原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊與單位圓相交于點P(x,y),x軸的正半軸與單位圓相交于A(1,0),過P作x軸的垂線,垂足為M;過A作單位圓的切線,這條切線必平行于y軸(垂直于同一條直線的兩直線平行),設它與角的終邊或其反向延長線交于點T.教師點撥學生觀察線段的方向與點P的坐標.顯然,線段OM的長度為|x|,線段MP的長度為|y|,它們都只能取非負值. 當角的終邊不在坐標軸上時,我們可以把OM、MP都看作帶有方向的線段:如果x>0,OM與x軸同向,規(guī)定此時OM具有正值x;如果x<0,OM與x軸正向相反(即反向),規(guī)定此時OM具有負值x,所以不論哪一種情況,都有OM=x. 如果y>0,把MP看作與y軸同向,規(guī)定此時MP具有正值y;如果y<0,把MP看作與y軸反向,規(guī)定此時MP具有負值y,所以不論哪一種情況,都有MP=y. 引導學生觀察OM、MP都是帶有方向的線段,這種被看作帶有方向的線段叫做有向線段. 于是,根據正弦、余弦函數的定義,就有sin=y=MP,cos=x=OM. 這兩條與單位圓有關的有向線段MP、OM分別叫做角的正弦線、余弦線. 類似地,我們把OA、AT也看作有向線段,那么根據正切函數的定義和相似三角形的知識,就有tan=AT. 這條與單位圓有關的有向線段AT,叫做角的正切線. 討論結果:能. 被看作帶有方向的線段叫做有向線段.提出問題 問題:怎樣把三角函數線與有向線段聯系在一起? 問題:正弦線、余弦線、正切線在平面直角坐標系中是怎樣規(guī)定的?當角的終邊變化時,它們有什么變化? 活動:師生共同討論,最后一致得出以下幾點: (1)當角的終邊在y軸上時,余弦線變成一個點,正切線不存在. (2)當角的終邊在x軸上時,正弦線、正切線都變成點. (3)正弦線、余弦線、正切線都是與單位圓有關的有向線段,所以作某角的三角函數線時,一定要先作單位圓. (4)線段有兩個端點,在用字母表示正弦線、余弦線、正切線時,要先寫起點字母,再寫終點字母,不能顛倒;或者說,含原點的線段,以原點為起點,不含原點的線段,以此線段與x軸的公共點為起點. (5)三種有向線段的正負與坐標軸正反方向一致,三種有向線段的數量與三種三角函數值相同. 正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數線. 討論結果:略. 略. 示例應用思路1例1 如圖7,的終邊分別與單位圓交于點P,Q,過A(1,0)作切線AT,交圖7射線OP于點T,交射線OQ的反向延長線于T,點P、Q在x軸上的射影分別為點M、N,則sin=_,cos=_,tan=_,sin=_,cos=_,tan=_. 活動:根據三角函數線的定義可知,sin=MP,cos=OM,tan=AT,sin=NQ,cos=ON,tan=AT. 答案:MP OM AT NQ ON AT 點評:掌握三角函數線的作法,注意用有向線段表示三角函數線時,字母的書寫順序不能隨意顛倒.變式訓練 利用三角函數線證明sin+cos1.解:當的終邊落在坐標軸上時,正弦(或余弦)線變成一個點,而余弦(或正弦)線的長等于r,所以sin+cos=1. 當角終邊落在四個象限時,利用三角形兩邊之和大于第三邊有sin+cos=OM+MP>1,sin+cos1.例2 在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊或終邊所在的范圍,并由此寫出角的集合:(1)sin=;(2)sin. 活動:引導學生畫出單位圓,對于(1),可設角的終邊與單位圓交于A(x,y),則sin=y,所以要作出滿足sin=的終邊,只要在單位圓上找出縱坐標為的點A,則OA即為角的終邊;對于(2),可先作出滿足sin=的角的終邊,然后根據已知條件確定角的范圍.圖8 解:(1)作直線y=交單位圓于A與B兩點,連結OA,OB,則OA與OB為角的終邊,如圖8所示. 故滿足條件的角的集合為|=2k+或=2k+,kZ. (2)作直線y=交單位圓于A與B兩點,連結OA,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(如圖中的陰影部分)即為角的終邊所在的范圍. 故滿足條件的角的集合為|2k+2k+,kZ. 點評:在解簡單的特殊值(如,等)的等式或不等式時,應首先在單位圓內找到對應的終邊(作縱坐標為特殊值的直線與單位圓相交,連結交點與坐標原點作射線),一般情況下,用(0,2)內的角表示它,然后畫出滿足原等式或不等式的區(qū)域,用集合表示出來.變式訓練 已知sin,求角的集合. 解:作直線y=交單位圓于點P,P,則sinPOx=sinPOx=,在0,2)內POx=,PPx=. 滿足條件的集合為2k+2k+,kZ.思路2例1 求下列函數的定義域:(1)y=logsinx (2cosx+1);(2)y=lg(3-4sin2x). 活動:先引導學生求出x所滿足的條件,這點要提醒學生注意,研究函數必須在自變量允許的范圍內研究,否則無意義.再利用三角函數線畫出滿足條件的角x的終邊范圍.求解時,可根據各種約束條件,利用三角函數線畫出角x滿足條件的終邊范圍,寫出適合條件的x的取值集合. 解:(1)由題意,得則(kZ).函數的定義域為x|2k<x<2k+或2k+<x<2k+,kZ.(所求x的終邊所在的區(qū)域如圖9中的陰影部分所示)(2)3-4sin2x>0,sin2x<.<sinx<.x(2k,2k+)(2k+,2k+)(kZ),即x(k-,k+)(kZ).(所求x的終邊所在的區(qū)域如圖10中的陰影部分所示) 圖9 圖10變式訓練 求函數y=的定義域.解:要使函數有意義,需滿足2cosx-10,所以cosx.故由余弦函數線可知函數的定義域為2k-,2k+,kZ.例2 證明恒等式+=2. 活動:引導學生總結證明恒等式的方法與步驟,特別地,在證明三角恒等式時,一般地是從較繁的一邊推向較簡的一邊.從方向上來推證三角恒等式主要有三種推證方法,即:從左邊推向右邊;從右邊推向左邊;左、右兩邊同推向第三個式子.解:證法一:設M(x,y)為角終邊上異于原點的一點,OM=r,由三角函數定義有sin=,cos=,sec=,csc=.原式左邊=2=右邊.原等式成立.證法二:左邊=左邊=右邊.原等式成立.點評:根據本題的特點,被證式的左邊比較復雜,故可由左邊證向右邊.變式訓練 求證:證明:設M(x,y)為終邊上異于原點的一點,OM=r,由三角函數定義有左邊=右邊=左邊=右邊,故原等式成立.知能訓練課本本節(jié)練習.解答:1.終邊在不同位置的角對應的三角函數值的情況,包括三角函數值的符號情況,終邊相同的角的同一三角函數的值相等.點評:利用單位圓中的三角函數線認識三角函數的性質,對未學性質的認識不作統(tǒng)一要求.2.(1)如圖11所示,圖11(2)(3)(4)略.點評:作已知角的三角函數線.3.225角的正弦、余弦、正切線的長分別為3.5 cm、3.5 cm、5 cm;330角的正弦、余弦、正切線的長分別為2.5 cm、4.3 cm、2.9 cm,其中5,2.5是準確數,其余都是近似數(圖略).sin225=-0.7,cos225=-0.7,tan225=-1;sin330=-0.5,cos330=0.86,tan330=-0.58.點評:進一步認識單位圓中的三角函數線.4.三角函數線是三角函數的幾何表示,它直觀地刻畫了三角函數的概念,與三角函數的定義結合起來,可以從數和形兩方面認識三角函數的定義,并使得對三角函數的定義域、函數值符號的變化規(guī)律、公式一等的理解容易了.點評:反思單位圓中的三角函數線對認識三角函數概念的作用.課堂小結 本節(jié)課我們學習了有向線段的定義,正弦線、余弦線、正切線的定義,這三種三角函數線都是一些特殊的有向線段,其之所以特殊,一是其與坐標軸平行(或重合),二是其與單位圓有關,這些線段分別都可以表示相應三角函數的值,所以說它們是三角函數的一種幾何表示. 三角函數線是利用數形結合的思想解決有關問題的重要工具,利用三角函數線可以解或證明三角不等式,求函數的定義域以及比較大小,三角函數線也是后面將要學習的三角函數的圖象的作圖工具.作業(yè)1.利用單位圓和三角函數線證明:若為銳角,則(1)sin+cos>1;(2)sin2+cos2=1.圖12證明:如圖12,記角與單位圓的交點為P,過P作PMx軸于M,則sin=MP,cos=OM.(1)在RtOMP中,MP+OM>OP,即sin+cos>1.(2)在RtOMP中,MP2+OM2=OP2,即sin2+cos2=1.2.求下列函數的定義域:(1)y=;(2)y=.答案:(1)xk-,k+,kZ.(2)x+2k,+2k)(+2k,+2k)(+2k,+2k)(+2k, +2k,kZ.設計感想 對于三角函數線,開始時學生可能不是很理解,教師應該充分發(fā)揮好圖象的直觀作用,讓學生通過圖形來感知、了解三角函數線的定義.在學生理解了正弦線、余弦線、正切線的定義后,教師應引導學生會利用三角函數線來發(fā)現、總結、歸納正弦函數、余弦函數、正切函數的性質.以便為以后更好地學習三角函數的圖象和性質打下良好的基礎.教師要讓學生對三角函數線了解即可,要讓學生利用任意角的三角函數線來感知對應的三角函數圖象的變化趨勢,不要再向深處挖掘,因為三角函數線能解決的問題都可以用三角函數的圖象來解決.教師在教學中要搞好師生互動,讓學生自己動腦、動手,多啟發(fā)學生善于發(fā)現問題、提出問題、解決問題的能力,讓學生學會獨立思考和歸納總結知識的能力.