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2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本 數(shù)列教案 舊人教版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本 數(shù)列教案 舊人教版.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本 數(shù)列教案 舊人教版一、基礎(chǔ)知識定義1 數(shù)列,按順序給出的一列數(shù),例如1,2,3,n,. 數(shù)列分有窮數(shù)列和無窮數(shù)列兩種,數(shù)列an的一般形式通常記作a1, a2, a3,,an或a1, a2, a3,,an。其中a1叫做數(shù)列的首項,an是關(guān)于n的具體表達(dá)式,稱為數(shù)列的通項。定理1 若Sn表示an的前n項和,則S1=a1, 當(dāng)n>1時,an=Sn-Sn-1.定義2 等差數(shù)列,如果對任意的正整數(shù)n,都有an+1-an=d(常數(shù)),則an稱為等差數(shù)列,d叫做公差。若三個數(shù)a, b, c成等差數(shù)列,即2b=a+c,則稱b為a和c的等差中項,若公差為d, 則a=b-d, c=b+d.定理2 等差數(shù)列的性質(zhì):1)通項公式an=a1+(n-1)d;2)前n項和公式:Sn=;3)an-am=(n-m)d,其中n, m為正整數(shù);4)若n+m=p+q,則an+am=ap+aq;5)對任意正整數(shù)p, q,恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1);6)若A,B至少有一個不為零,則an是等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2+Bn.定義3 等比數(shù)列,若對任意的正整數(shù)n,都有,則an稱為等比數(shù)列,q叫做公比。定理3 等比數(shù)列的性質(zhì):1)an=a1qn-1;2)前n項和Sn,當(dāng)q1時,Sn=;當(dāng)q=1時,Sn=na1;3)如果a, b, c成等比數(shù)列,即b2=ac(b0),則b叫做a, c的等比中項;4)若m+n=p+q,則aman=apaq。定義4 極限,給定數(shù)列an和實數(shù)A,若對任意的>0,存在M,對任意的n>M(nN),都有|an-A|<,則稱A為n+時數(shù)列an的極限,記作定義5 無窮遞縮等比數(shù)列,若等比數(shù)列an的公比q滿足|q|<1,則稱之為無窮遞增等比數(shù)列,其前n項和Sn的極限(即其所有項的和)為(由極限的定義可得)。定理3 第一數(shù)學(xué)歸納法:給定命題p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)當(dāng)p(n)時n=k成立時能推出p(n)對n=k+1成立,則由(1),(2)可得命題p(n)對一切自然數(shù)nn0成立。競賽常用定理定理4 第二數(shù)學(xué)歸納法:給定命題p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)當(dāng)p(n)對一切nk的自然數(shù)n都成立時(kn0)可推出p(k+1)成立,則由(1),(2)可得命題p(n)對一切自然數(shù)nn0成立。定理5 對于齊次二階線性遞歸數(shù)列xn=axn-1+bxn-2,設(shè)它的特征方程x2=ax+b的兩個根為,:(1)若,則xn=c1an-1+c2n-1,其中c1, c2由初始條件x1, x2的值確定;(2)若=,則xn=(c1n+c2) n-1,其中c1, c2的值由x1, x2的值確定。二、方法與例題1不完全歸納法。這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律,當(dāng)然結(jié)論未必都是正確的,但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為:特殊猜想數(shù)學(xué)歸納法證明。例1 試給出以下幾個數(shù)列的通項(不要求證明);1)0,3,8,15,24,35,;2)1,5,19,65,;3)-1,0,3,8,15,?!窘狻?)an=n2-1;2)an=3n-2n;3)an=n2-2n.例2 已知數(shù)列an滿足a1=,a1+a2+an=n2an, n1,求通項an.【解】 因為a1=,又a1+a2=22a2,所以a2=,a3=,猜想(n1).證明;1)當(dāng)n=1時,a1=,猜想正確。2)假設(shè)當(dāng)nk時猜想成立。當(dāng)n=k+1時,由歸納假設(shè)及題設(shè),a1+ a1+a1=(k+1)2-1 ak+1,,所以=k(k+2)ak+1, 即=k(k+2)ak+1,所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=由數(shù)學(xué)歸納法可得猜想成立,所以例3 設(shè)0<a<1,數(shù)列an滿足an=1+a, an-1=a+,求證:對任意nN+,有an>1.【證明】 證明更強的結(jié)論:1<an1+a.1)當(dāng)n=1時,1<a1=1+a,式成立;2)假設(shè)n=k時,式成立,即1<an1+a,則當(dāng)n=k+1時,有由數(shù)學(xué)歸納法可得式成立,所以原命題得證。2迭代法。數(shù)列的通項an或前n項和Sn中的n通常是對任意nN成立,因此可將其中的n換成n+1或n-1等,這種辦法通常稱迭代或遞推。例4 數(shù)列an滿足an+pan-1+qan-2=0, n3,q0,求證:存在常數(shù)c,使得an+【證明】an+1+(pan+1+an+2)+=an+2(-qan)+=+an(pqn+1+qan)=q().若=0,則對任意n, +=0,取c=0即可.若0,則+是首項為,公式為q的等比數(shù)列。所以+=qn.取即可.綜上,結(jié)論成立。例5 已知a1=0, an+1=5an+,求證:an都是整數(shù),nN+.【證明】 因為a1=0, a2=1,所以由題設(shè)知當(dāng)n1時an+1>an.又由an+1=5an+移項、平方得 當(dāng)n2時,把式中的n換成n-1得,即 因為an-1<an+1,所以式和式說明an-1, an+1是方程x2-10anx+-1=0的兩個不等根。由韋達(dá)定理得an+1+ an-1=10an(n2).再由a1=0, a2=1及式可知,當(dāng)nN+時,an都是整數(shù)。3數(shù)列求和法。數(shù)列求和法主要有倒寫相加、裂項求和法、錯項相消法等。例6 已知an=(n=1, 2, ),求S99=a1+a2+a99.【解】 因為an+a100-n=+=,所以S99=例7 求和:+【解】 一般地,所以Sn=例8 已知數(shù)列an滿足a1=a2=1,an+2=an+1+an, Sn為數(shù)列的前n項和,求證:Sn<2?!咀C明】 由遞推公式可知,數(shù)列an前幾項為1,1,2,3,5,8,13。因為, 所以。 由-得,所以。又因為Sn-2<Sn且>0,所以Sn, 所以,所以Sn<2,得證。4特征方程法。例9 已知數(shù)列an滿足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an,求an.【解】 由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.故設(shè)an=(+n)2n-1,其中,所以=3,=0,所以an=32n-1.例10 已知數(shù)列an滿足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an,求通項an.【解】 由特征方程x2=2x+3得x1=3, x2=-1,所以an=3n+(-1)n,其中,解得=,所以3。5構(gòu)造等差或等比數(shù)列。例11 正數(shù)列a0,a1,an,滿足=2an-1(n2)且a0=a1=1,求通項。【解】 由得=1,即令bn=+1,則bn是首項為+1=2,公比為2的等比數(shù)列,所以bn=+1=2n,所以=(2n-1)2,所以an=a0=注:C1C2Cn.例12 已知數(shù)列xn滿足x1=2, xn+1=,nN+, 求通項?!窘狻?考慮函數(shù)f(x)=的不動點,由=x得x=因為x1=2, xn+1=,可知xn的每項均為正數(shù)。又+2,所以xn+1(n1)。又Xn+1-=, Xn+1+=, 由得。 又>0,由可知對任意nN+,>0且,所以是首項為,公比為2的等比數(shù)列。所以,所以,解得。注:本例解法是借助于不動點,具有普遍意義。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1 數(shù)列xn滿足x1=2, xn+1=Sn+(n+1),其中Sn為xn前n項和,當(dāng)n2時,xn=_.2. 數(shù)列xn滿足x1=,xn+1=,則xn的通項xn=_.3. 數(shù)列xn滿足x1=1,xn=+2n-1(n2),則xn的通項xn=_.4. 等差數(shù)列an滿足3a8=5a13,且a1>0, Sn為前n項之和,則當(dāng)Sn最大時,n=_.5. 等比數(shù)列an前n項之和記為Sn,若S10=10,S30=70,則S40=_.6. 數(shù)列xn滿足xn+1=xn-xn-1(n2),x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+ xn,則S100=_.7. 數(shù)列an中,Sn=a1+a2+an=n2-4n+1則|a1|+|a2|+|a10|=_.8. 若,并且x1+x2+ xn=8,則x1=_.9. 等差數(shù)列an,bn的前n項和分別為Sn和Tn,若,則=_.10. 若n!=n(n-1)21, 則=_.11若an是無窮等比數(shù)列,an為正整數(shù),且滿足a5+a6=48, log2a2log2a3+ log2a2log2a5+ log2a2log2a6+ log2a5log2a6=36,求的通項。12已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列,數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列,且b1=1, b2=5, b3=17, 求:(1)q的值;(2)數(shù)列bn的前n項和Sn。四、高考水平訓(xùn)練題1已知函數(shù)f(x)=,若數(shù)列an滿足a1=,an+1=f(an)(nN+),則axx=_.2已知數(shù)列an滿足a1=1, an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2),則an的通項an=.3. 若an=n2+, 且an是遞增數(shù)列,則實數(shù)的取值范圍是_.4. 設(shè)正項等比數(shù)列an的首項a1=, 前n項和為Sn, 且210S30-(210+1)S20+S10=0,則an=_.5. 已知,則a的取值范圍是_.6數(shù)列an滿足an+1=3an+n(n N+) ,存在_個a1值,使an成等差數(shù)列;存在_個a1值,使an成等比數(shù)列。7已知(n N+),則在數(shù)列an的前50項中,最大項與最小項分別是_.8有4個數(shù),其中前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和中16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12,則這四個數(shù)分別為_.9. 設(shè)an是由正數(shù)組成的數(shù)列,對于所有自然數(shù)n, an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項,則an=_.10. 在公比大于1的等比數(shù)列中,最多連續(xù)有_項是在100與1000之間的整數(shù).11已知數(shù)列an中,an0,求證:數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件是(n2)恒成立。12已知數(shù)列an和bn中有an=an-1bn, bn=(n2), 當(dāng)a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1時,(1)求證:an>0, bn>0且an+bn=1(nN);(2)求證:an+1=;(3)求數(shù)列13是否存在常數(shù)a, b, c,使題設(shè)等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c)對于一切自然數(shù)n都成立?證明你的結(jié)論。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1設(shè)等差數(shù)列的首項及公差均為非負(fù)整數(shù),項數(shù)不少于3,且各項和為972,這樣的數(shù)列共有_個。2設(shè)數(shù)列xn滿足x1=1, xn=,則通項xn=_.3. 設(shè)數(shù)列an滿足a1=3, an>0,且,則通項an=_.4. 已知數(shù)列a0, a1, a2, , an, 滿足關(guān)系式(3-an+1)(6+an)=18,且a0=3,則=_.5. 等比數(shù)列a+log23, a+log43, a+log83的公比為=_.6. 各項均為實數(shù)的等差數(shù)列的公差為4,其首項的平方與其余各項之和不超過100,這樣的數(shù)列至多有_項.7. 數(shù)列an滿足a1=2, a2=6, 且=2,則_.8. 數(shù)列an 稱為等差比數(shù)列,當(dāng)且僅當(dāng)此數(shù)列滿足a0=0, an+1-qan構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,q稱為此等差比數(shù)列的差比。那么,由100以內(nèi)的自然數(shù)構(gòu)成等差比數(shù)列而差比大于1時,項數(shù)最多有_項.9設(shè)hN+,數(shù)列an定義為:a0=1, an+1=。問:對于怎樣的h,存在大于0的整數(shù)n,使得an=1?10設(shè)akk1為一非負(fù)整數(shù)列,且對任意k1,滿足aka2k+a2k+1,(1)求證:對任意正整數(shù)n,數(shù)列中存在n個連續(xù)項為0;(2)求出一個滿足以上條件,且其存在無限個非零項的數(shù)列。11求證:存在唯一的正整數(shù)數(shù)列a1,a2,使得a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1設(shè)an為下述自然數(shù)N的個數(shù):N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1,3或4,求證:a2n是完全平方數(shù),這里n=1, 2,.2設(shè)a1, a2, an表示整數(shù)1,2,n的任一排列,f(n)是這些排列中滿足如下性質(zhì)的排列數(shù)目:a1=1; |ai-ai+1|2, i=1,2,n-1。試問f(xx)能否被3整除?3設(shè)數(shù)列an和bn滿足a0=1,b0=0,且求證:an (n=0,1,2,)是完全平方數(shù)。4無窮正實數(shù)數(shù)列xn具有以下性質(zhì):x0=1,xi+1<xi (i=0,1,2,),(1)求證:對具有上述性質(zhì)的任一數(shù)列,總能找到一個n1,使3.999均成立;(2)尋求這樣的一個數(shù)列使不等式<4對任一n均成立。5設(shè)x1,x2,xn是各項都不大于M的正整數(shù)序列且滿足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,n).試問這樣的序列最多有多少項?6設(shè)a1=a2=,且當(dāng)n=3,4,5,時,an=,()求數(shù)列an的通項公式;()求證:是整數(shù)的平方。7整數(shù)列u0,u1,u2,u3,滿足u0=1,且對每個正整數(shù)n, un+1un-1=kuu,這里k是某個固定的正整數(shù)。如果uxx=xx,求k的所有可能的值。8求證:存在無窮有界數(shù)列xn,使得對任何不同的m, k,有|xm-xk|9.已知n個正整數(shù)a0,a1,,an和實數(shù)q,其中0<q<1,求證:n個實數(shù)b0,b1,,bn和滿足:(1)ak<bk(k=1,2,n);(2)q<<(k=1,2,n);(3)b1+b2+bn<(a0+a1+an).

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