2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.3 函數(shù)的單調(diào)性教案.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.3 函數(shù)的單調(diào)性教案知識(shí)梳理1.增函數(shù)、減函數(shù)的定義一般地，對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)f（x），如果對(duì)于屬于這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f（x1）f（x2）或都有f（x1）f（x2），那么就說f（x）在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)）.如果函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)），就說f（x）在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做f（x）的單調(diào)區(qū)間.如函數(shù)是增函數(shù)則稱區(qū)間為增區(qū)間，如函數(shù)為減函數(shù)則稱區(qū)間為減區(qū)間.2.函數(shù)單調(diào)性可以從三個(gè)方面理解（1）圖形刻畫：對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)f（x），函數(shù)圖象如從左向右連續(xù)上升，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)圖象如從左向右連續(xù)下降，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）定性刻畫：對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)f（x），如函數(shù)值隨自變量的增大而增大，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，如函數(shù)值隨自變量的增大而減小，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.（3）定量刻畫，即定義.上述三方面是我們研究函數(shù)單調(diào)性的基本途徑.點(diǎn)擊雙基1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)的是A.y=x+1 B.y=C.y=x24x+5D.y= 答案：B2.函數(shù)y=loga（x22x3），當(dāng)x=2時(shí)，y0，則此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A.（，3） B.（1，）C.（，1）D.（1，）解析：當(dāng)x=2時(shí)，y=loga50，a1.由x22x30x3或x1，易見函數(shù)tx22x3在（，3）上遞減，故函數(shù)y=loga（x22x3）（其中a1）也在（，3）上遞減.答案：A3.（xx年北京朝陽區(qū)模擬題）函數(shù)y=log|x3|的單調(diào)遞減區(qū)間是_.解析：令u=|x3|，則在（，3）上u為x的減函數(shù)，在（3，+）上u為x的增函數(shù).又01，在區(qū)間（3，）上，y為x的減函數(shù).答案：（3，+）4.有下列幾個(gè)命題：函數(shù)y=2x2+x+1在（0，）上不是增函數(shù)；函數(shù)y=在（，1）（1，）上是減函數(shù)；函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間是2，+）；已知f（x）在R上是增函數(shù)，若a+b0，則有f（a）+f（b）f（a）+f（b）.其中正確命題的序號(hào)是_.解析：函數(shù)y=2x2+x+1在（0，+）上是增函數(shù)，錯(cuò)；雖然（，1）、（1，）都是y=的單調(diào)減區(qū)間，但求并集以后就不再符合減函數(shù)定義，錯(cuò)；要研究函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間，首先被開方數(shù)5+4xx20，解得1x5，由于2，+）不是上述區(qū)間的子區(qū)間，錯(cuò)；f（x）在R上是增函數(shù)，且ab，ba，f（a）f（b），f（b）f（a），f（a）+f（b）f（a）+f（b），因此是正確的.答案：典例剖析【例1】 如果二次函數(shù)f（x）=x2（a1）x+5在區(qū)間（，1）上是增函數(shù)，求f（2）的取值范圍.剖析：由于f（2）=22（a1）2+5=2a+11，求f（2）的取值范圍就是求一次函數(shù)y=2a+11的值域，當(dāng)然就應(yīng)先求其定義域.解：二次函數(shù)f（x）在區(qū)間（，1）上是增函數(shù)，由于其圖象（拋物線）開口向上，故其對(duì)稱軸x=或與直線x=重合或位于直線x=的左側(cè)，于是，解之得a2，故f（2）22+11=7，即f（2）7.【例2】 討論函數(shù)f（x）=（a0）在x（1，1）上的單調(diào)性.解：設(shè)1x1x21，則f（x1）f（x2）=.1x1x21，x2x10，x1x2+10，（x121）（x221）0.又a0，f（x1）f（x2）0，函數(shù)f（x）在（1，1）上為減函數(shù).【例3】 求函數(shù)y=x+的單調(diào)區(qū)間.剖析：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（亦即判斷函數(shù)的單調(diào)性），一般有三種方法：（1）圖象法；（2）定義法；（3）利用已知函數(shù)的單調(diào)性.但本題圖象不易作，利用y=x與y=的單調(diào)性（一增一減）也難以確定，故只有用單調(diào)性定義來確定，即判斷f（x2）f（x1）的正負(fù).解：首先確定定義域：x|x0，在（，0）和（0，+）兩個(gè)區(qū)間上分別討論.任取x1、x2（0，+）且x1x2，則f（x2）f（x1）=x2+x1=（x2x1）+=（x2x1）（1），要確定此式的正負(fù)只要確定1的正負(fù)即可.這樣，又需要判斷大于1，還是小于1.由于x1、x2的任意性，考慮到要將（0，+）分為（0，1）與（1，+）（這是本題的關(guān)鍵）.（1）當(dāng)x1、x2（0，1）時(shí)，10，f（x2）f（x1）0，為減函數(shù).（2）當(dāng)x1、x2（1，+）時(shí)，10，f（x2）f（x1）0，為增函數(shù).同理可求（3）當(dāng)x1、x2（1，0）時(shí)，為減函數(shù)；（4）當(dāng)x1、x2（，1）時(shí)，為增函數(shù).評(píng)述：解答本題易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤結(jié)論：f（x）在（1，0）（0，1）上是減函數(shù)，在（，1）（1，+）上是增函數(shù)，或說f（x）在（，0）（0，+）上是單調(diào)函數(shù).排除障礙的關(guān)鍵是要正確理解函數(shù)的單調(diào)性概念：函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，而不是兩個(gè)或兩個(gè)以上不相交區(qū)間的并.深化拓展求函數(shù)y=x+（a0）的單調(diào)區(qū)間.提示：函數(shù)定義域x0，可先考慮在（0，+）上函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系得到在（，0）上的單調(diào)性.答案：在（，（，+）上是增函數(shù)，在（0，（，0）上是減函數(shù).【例4】 定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）0，當(dāng)x0時(shí)，f（x）1，且對(duì)任意的a、bR，有f（a+b）=f（a）f（b）.（1）求證：f（0）=1；（2）求證：對(duì)任意的xR，恒有f（x）0；（3）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；（4）若f（x）f（2xx2）1，求x的取值范圍.（1）證明：令a=b=0，則f（0）=f 2（0）.又f（0）0，f（0）=1.（2）證明：當(dāng)x0時(shí)，x0，f（0）=f（x）f（x）=1.f（x）=0.又x0時(shí)f（x）10，xR時(shí)，恒有f（x）0.（3）證明：設(shè)x1x2，則x2x10.f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1）f（x1）.x2x10，f（x2x1）1.又f（x1）0，f（x2x1）f（x1）f（x1）.f（x2）f（x1）.f（x）是R上的增函數(shù).（4）解：由f（x）f（2xx2）1，f（0）=1得f（3xx2）f（0）.又f（x）是R上的增函數(shù)，3xx20.0x3.評(píng)述：解本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用題目條件，尤其是（3）中“f（x2）=f（x2x1）+x1”是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，這里體現(xiàn)了向條件化歸的策略.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.（xx年湖北，理7）函數(shù)f（x）=ax+loga（x+1）在0，1上的最大值與最小值的和為a，則a的值為A. B. C.2 D.4解析：f（x）是0，1上的增函數(shù)或減函數(shù)，故f（0）+f（1）=a，即1+a+loga2=aloga2=1，2=a1a=.答案：B2.設(shè)函數(shù)f（x）=loga|x|在（，0）上單調(diào)遞增，則f（a+1）與f（2）的大小關(guān)系是A.f（a+1）=f（2） B.f（a+1）f（2）C.f（a+1）f（2）D.不能確定解析：由f（x）=且f（x）在（，0）上單調(diào)遞增，易得0a1.1a+12.又f（x）是偶函數(shù)，f（x）在（0，+）上單調(diào)遞減.f（a+1）f（2）.答案：B3.函數(shù)y=loga（2ax）在0，1上是減函數(shù)，則a的取值范圍是A.（0，1） B.（0，2）C.（1，2） D.（2，+）解析：題中隱含a0，2ax在0，1上是減函數(shù).y=logau應(yīng)為增函數(shù)，且u= 2ax在0，1上應(yīng)恒大于零.1a2.答案：C4.（文）如果函數(shù)f（x）=x2+2（a1）x+2在區(qū)間（，4上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.解析：對(duì)稱軸x=1a，由1a4，得a3.答案：a3（理）（xx年湖北省荊州市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查題）函數(shù)y=f（x）的圖象與y=2x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則函數(shù)y=f（4xx2）的遞增區(qū)間是_.解析：先求y=2x的反函數(shù)，為y=log2x，f（x）=log2x，f（4xx2）=log2（4xx2）.令u=4xx2，則u0，即4xx20.x（0，4）.又u=x2+4x的對(duì)稱軸為x=2，且對(duì)數(shù)的底為21，y=f（4xx2）的遞增區(qū)間為（0，2）.答案：（0，2）5.討論函數(shù)f（x）=（a）在（2，+）上的單調(diào)性.解：設(shè)x1、x2為區(qū)間（2，+）上的任意兩個(gè)值，且x1x2，則f（x1）f（x2）=.x1（2，+），x2（2，+）且x1x2，x2x10，x1+20，x2+20.當(dāng)12a0，即a時(shí)，f（x1）f（x2），該函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)12a0，即a時(shí)，f（x1）f（x2），該函數(shù)為增函數(shù).培養(yǎng)能力6.（xx年重慶市高三畢業(yè)班診斷性試題）已知函數(shù)f（x）=m（x+）的圖象與函數(shù)h（x）=（x+）+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱.（1）求m的值；（2）若g（x）=f（x）+在區(qū)間（0，2上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）設(shè)P（x，y）為函數(shù)h（x）圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為Q（x，y），則有x=x，且y=2y.點(diǎn)Q（x，y）在f（x）=m（x+）上，y=m（x+）.將x、y代入，得2y=m（x）.整理，得y=m（x+）+2.m=.（2）g（x）=（x+），設(shè)x1、x2（0，2，且x1x2，則g（x1）g（x2）=（x1x2）0對(duì)一切x1、x2（0，2恒成立.x1x2（1+a）0對(duì)一切x1、x2（0，2恒成立.由1+ax1x24，得a3.7.（xx年春季上海）已知函數(shù)f（x）=|xa|，g（x）=x2+2ax+1（a為正常數(shù)），且函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等.（1）求a的值；（2）求函數(shù)f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若n為正整數(shù)，證明10f（n）（）g（n）4.（1）解：由題意，f（0）=g（0），|a|=1，又a0，所以a=1.（2）解：f（x）+g（x）=|x1|+x2+2x+1.當(dāng)x1時(shí)，f（x）+g（x）=x2+3x，它在1，+）上單調(diào)遞增；當(dāng)x1時(shí)，f（x）+g（x）=x2+x+2，它在，1）上單調(diào)遞增.（3）證明：設(shè)cn=10f（n）（）g（n），考查數(shù)列cn的變化規(guī)律：解不等式1，由cn0，上式化為10（）2n+31，解得n3.7.因nN*，得n4，于是c1c2c3c4.而c4c5c6，所以10f（n）（）g（n）10f（4）（）g（4）=103（）254.探究創(chuàng)新8.（xx年北京西城區(qū)模擬題）設(shè)aR，函數(shù)f（x）=（ax2+a+1），其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）判斷f（x）在R上的單調(diào)性；（2）當(dāng)1a0時(shí)，求f（x）在1，2上的最小值.解：（1）由已知（x）=ex（ax2+a+1）+ex2ax=ex（ax2+2axa1）.因?yàn)閑x0，以下討論函數(shù)g（x）=ax2+2axa1值的情況：當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=10，即（x）0，所以f（x）在R上是減函數(shù).當(dāng)a0時(shí)，g（x）=0的判別式=4a24（a2+a）=4a0，所以g（x）0，即（x）0，所以f（x）在R上是減函數(shù).當(dāng)a0時(shí)，g（x）=0有兩個(gè)根x1，2=，并且，所以在區(qū)間（，）上，g（x）0，即（x）0，f（x）在此區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間（，）上，g（x）0，即（x）0，f（x）在此區(qū)間上是減函數(shù).在區(qū)間（，+）上，g（x）0，即（x）0，f（x）在此區(qū)間上是增函數(shù).綜上，當(dāng)a0時(shí)，f（x）在R上是減函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f（x）在（，）上單調(diào)遞增，在（，）上單調(diào)遞減，在（，+）上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)1a0時(shí)，=1+1，=1+2，所以在區(qū)間1，2上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減.所以函數(shù)f（x）在區(qū)間1，2上的最小值為f（2）=.評(píng)述：函數(shù)的最值和函數(shù)的單調(diào)性有緊密聯(lián)系.判斷較復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)是基本方法.思悟小結(jié)1.函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的某個(gè)子區(qū)間而言的.有些函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)的，如一次函數(shù)；而有些函數(shù)在定義域內(nèi)的部分區(qū)間上是增函數(shù)而在另一部分區(qū)間上可能是減函數(shù)，如二次函數(shù)；還有的函數(shù)是非單調(diào)的，如y=2.函數(shù)單調(diào)性定義中的x1、x2有三個(gè)特征：一是同屬一個(gè)單調(diào)區(qū)間；二是任意性，即x1、x2是給定區(qū)間上的任意兩個(gè)值，“任意”二字絕不能丟掉，更不可隨意以兩個(gè)特殊值替換；三是有大小，通常規(guī)定x1x2.三者缺一不可.3.在解決與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題時(shí)，通常有定義法、圖象法、復(fù)合函數(shù)判斷法，但最基本的方法是定義法，幾乎所有的與單調(diào)性有關(guān)的問題都可用定義法來解決.4.討論函數(shù)的單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.本節(jié)的重點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的有關(guān)概念，難點(diǎn)是利用概念證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性.復(fù)習(xí)本節(jié)時(shí)，老師最好引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：1設(shè)值；2作差；3變形；4定號(hào)；5結(jié)論.2.教學(xué)過程中應(yīng)要求學(xué)生準(zhǔn)確理解、把握單調(diào)性定義中“任意”的含意，函數(shù)單調(diào)性的重要作用在于化歸，要重視運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性將問題化歸轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)化歸意識(shí).3.討論復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的根據(jù)：設(shè)y=f（u），u=g（x），xa，b，um，n都是單調(diào)函數(shù)，則y=fg（x）在a，b上也是單調(diào)函數(shù).（1）若y=f（u）是m，n上的增函數(shù)，則y=fg（x）與u=g（x）的增減性相同；（2）若y=f（u）是m，n上的減函數(shù)，則y=fg（x）的增減性與u=g（x）的增減性相反.拓展題例【例1】 設(shè)函數(shù)f（x）（ab0），求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明f（x）在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，b）（b，），任取x1、x2（，b）且x1x2，則f（x1）f（x2）.ab0，x2x10，（x1b）（x2b）0，f（x1）f（x2）0，即f（x）在（，b）上是減函數(shù).同理可證f（x）在（b，）上也是減函數(shù).函數(shù)f（x）=在（，b）與（b，）上均為減函數(shù).【例2】 已知f（x）是定義在1，1上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a、b1，1，a+b0時(shí)，有0.判斷函數(shù)f（x）在1，1上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論.解：任取x1、x21，1，且x1x2，則x21，1.又f（x）是奇函數(shù)，于是f（x1）f（x2）=f（x1）+f（x2）=（x1x2）.據(jù)已知0，x1x20，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）.f（x）在1，1上是增函數(shù).