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2019-2020年高考數學回歸課本 解三角形教案 舊人教版.doc

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2019-2020年高考數學回歸課本 解三角形教案 舊人教版.doc

2019-2020年高考數學回歸課本 解三角形教案 舊人教版一、基礎知識在本章中約定用A,B,C分別表示ABC的三個內角,a, b, c分別表示它們所對的各邊長,為半周長。1正弦定理:=2R(R為ABC外接圓半徑)。推論1:ABC的面積為SABC=推論2:在ABC中,有bcosC+ccosB=a.推論3:在ABC中,A+B=,解a滿足,則a=A.正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到,這里不再給出,下證推論。先證推論1,由正弦函數定義,BC邊上的高為bsinC,所以SABC=;再證推論2,因為B+C=-A,所以sin(B+C)=sinA,即sinBcosC+cosBsinC=sinA,兩邊同乘以2R得bcosC+ccosB=a;再證推論3,由正弦定理,所以,即sinasin(-A)=sin(-a)sinA,等價于cos(-A+a)-cos(-A-a)= cos(-a+A)-cos(-a-A),等價于cos(-A+a)=cos(-a+A),因為0<-A+a,-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A,所以a=A,得證。2余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,下面用余弦定理證明幾個常用的結論。(1)斯特瓦特定理:在ABC中,D是BC邊上任意一點,BD=p,DC=q,則AD2= (1)【證明】 因為c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcos,所以c2=AD2+p2-2ADpcos 同理b2=AD2+q2-2ADqcos, 因為ADB+ADC=,所以cosADB+cosADC=0,所以q+p得qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q),即AD2=注:在(1)式中,若p=q,則為中線長公式(2)海倫公式:因為b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 (b+c)-a2a2-(b-c) 2=p(p-a)(p-b)(p-c).這里所以SABC=二、方法與例題1面積法。例1 (共線關系的張角公式)如圖所示,從O點發(fā)出的三條射線滿足,另外OP,OQ,OR的長分別為u, w, v,這里,+(0, ),則P,Q,R的共線的充要條件是【證明】P,Q,R共線(+)=uwsin+vwsin,得證。2正弦定理的應用。例2 如圖所示,ABC內有一點P,使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求證:APBC=BPCA=CPAB?!咀C明】 過點P作PDBC,PEAC,PFAB,垂足分別為D,E,F,則P,D,C,E;P,E,A,F;P,D,B,F三組四點共圓,所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由題設及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。所以EDF=600,同理DEF=600,所以DEF是正三角形。所以DE=EF=DF,由正弦定理,CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC,兩邊同時乘以ABC的外接圓直徑2R,得CPBA=APBC=BPAC,得證:例3 如圖所示,ABC的各邊分別與兩圓O1,O2相切,直線GF與DE交于P,求證:PABC?!咀C明】 延長PA交GD于M,因為O1GBC,O2DBC,所以只需證由正弦定理,所以另一方面,所以,所以,所以PA/O1G,即PABC,得證。3一個常用的代換:在ABC中,記點A,B,C到內切圓的切線長分別為x, y, z,則a=y+z, b=z+x, c=x+y.例4 在ABC中,求證:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3abc.【證明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y,則abc=(x+y)(y+z)(z+x)=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3abc.4三角換元。例5 設a, b, cR+,且abc+a+c=b,試求的最大值?!窘狻?由題設,令a=tan, c=tan, b=tan,則tan=tan(+), P=2sinsin(2+)+3cos2,當且僅當+=,sin=,即a=時,Pmax=例6 在ABC中,若a+b+c=1,求證: a2+b2+c2+4abc<【證明】 設a=sin2cos2, b=cos2cos2, c=sin2, .因為a, b, c為三邊長,所以c<, c>|a-b|,從而,所以sin2>|cos2cos2|.因為1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)=sin2cos2+sin2cos2cos4cos2=1-cos22+(1-cos22)cos4cos2=+cos2(cos4-cos22cos4-cos2)>+cos2(cos4-sin4-cos2)=.所以a2+b2+c2+4abc<三、基礎訓練題1在ABC中,邊AB為最長邊,且sinAsinB=,則cosAcosB的最大值為_.2在ABC中,若AB=1,BC=2,則的取值范圍是_.3在ABC中,a=4, b+c=5, tanC+tanB+tanCtanB,則ABC的面積為_.4在ABC中,3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1,則=_.5在ABC中,“a>b”是“sinA>sinB”的_條件.6在ABC中,sinA+cosA>0, tanA-sinA<0,則角A的取值范圍是_.7在ABC中,sinA=,cosB=,則cosC=_.8在ABC中,“三邊a, b, c成等差數列”是“tan”的_條件.9在ABC中,若sinC=2cosAsinB,則三角形形狀是_.10在ABC中,tanAtanB>1,則ABC為_角三角形.11三角形有一個角是600,夾這個角的兩邊之比是8:5,內切圓的面積是12,求這個三角形的面積。12已知銳角ABC的外心為D,過A,B,D三點作圓,分別與AC,BC相交于M,N兩點。求證:MNC的外接圓半徑等于ABD的外接圓半徑。13已知ABC中,sinC=,試判斷其形狀。四、高考水平訓練題1在ABC中,若tanA=, tanB=,且最長邊長為1,則最短邊長為_.2已知nN+,則以3,5,n為三邊長的鈍角三角形有_個.3已知p, qR+, p+q=1,比較大?。簆sin2A+qsin2B_pqsin2C.4在ABC中,若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC,則ABC 為_角三角形.5若A為ABC 的內角,比較大小:_3.6若ABC滿足acosA=bcosB,則ABC的形狀為_.7滿足A=600,a=, b=4的三角形有_個.8設為三角形最小內角,且acos2+sin2-cos2-asin2=a+1,則a的取值范圍是_.9A,B,C是一段筆直公路上的三點,分別在塔D的西南方向,正西方向,西偏北300方向,且AB=BC=1km,求塔與公路AC段的最近距離。10求方程的實數解。11求證:五、聯賽一試水平訓練題1在ABC中,b2=ac,則sinB+cosB的取值范圍是_.2在ABC中,若,則ABC 的形狀為_.3對任意的ABC,-(cotA+cotB+cotC),則T的最大值為_.4在ABC中,的最大值為_.5平面上有四個點A,B,C,D,其中A,B為定點,|AB|=,C,D為動點,且|AD|=|DC|=|BC|=1。記SABD=S,SBCD=T,則S2+T2的取值范圍是_.6在ABC中,AC=BC,O為ABC的一點,ABO=300,則ACO=_.7在ABC中,ABC,則乘積的最大值為_,最小值為_.8在ABC中,若c-a等于AC邊上的高h,則=_.9如圖所示,M,N分別是ABC外接圓的弧,AC中點,P為BC上的動點,PM交AB于Q,PN交AC于R,ABC的內心為I,求證:Q,I,R三點共線。10如圖所示,P,Q,R分別是ABC的邊BC,CA,AB上一點,且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求證:AB+BC+CA2(PQ+QR+RP)。11在ABC外作三個等腰三角形BFC,ADC,AEB,使BF=FC,CD=DA,AE=EB,ADC=2BAC,AEB=2ABC,BFC=2ACB,并且AF,BD,CE交于一點,試判斷ABC的形狀。六、聯賽二試水平訓練題1已知等腰ABC,AB=AC,一半圓以BC的中點為圓心,且與兩腰AB和AC分別相切于點D和G,EF與半圓相切,交AB于點E,交AC于點F,過E作AB的垂線,過F作AC的垂線,兩垂線相交于P,作PQBC,Q為垂足。求證:,此處=B。2設四邊形ABCD的對角線交于點O,點M和N分別是AD和BC的中點,點H1,H2(不重合)分別是AOB與COD的垂心,求證:H1H2MN。3已知ABC,其中BC上有一點M,且ABM與ACM的內切圓大小相等,求證:,此處(a+b+c), a, b, c分別為ABC對應三邊之長。4已知凸五邊形ABCDE,其中ABC=AED=900,BAC=EAD,BD與CE交于點O,求證:AOBE。5已知等腰梯形ABCD,G是對角線BD與AC的交點,過點G作EF與上、下底平行,點E和F分別在AB和CD上,求證:AFB=900的充要條件是AD+BC=CD。6AP,AQ,AR,AS是同一個圓中的四條弦,已知PAQ=QAR=RAS,求證:AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS)。7已知一凸四邊形的邊長依次為a, b, c, d,外接圓半徑為R,如果a2+b2+c2+d2=8R2,試問對此四邊形有何要求?8設四邊形ABCD內接于圓,BA和CD延長后交于點R,AD和BC延長后交于點P,A,B,C指的都是ABC的內角,求證:若AC與BD交于點Q,則9設P是ABC內一點,點P至BC,CA,AB的垂線分別為PD,PE,PF(D,E,F是垂足),求證:PAPBPC(PD+PE)(PE+PF)(PF+PD),并討論等號成立之條件。

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