2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材講義 二次函數(shù)與命題教案.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材講義 二次函數(shù)與命題教案一、基礎(chǔ)知識1二次函數(shù)：當(dāng)0時，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c稱為關(guān)于x的二次函數(shù)，其對稱軸為直線x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同2二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)a>0時，f(x)的圖象開口向上，在區(qū)間（-，x0上隨自變量x增大函數(shù)值減?。ê喎Q遞減），在x0， -）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡稱遞增）當(dāng)a<0時，情況相反3當(dāng)a>0時，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0和不等式ax2+bx+c>0及ax2+bx+c<0與函數(shù)f(x)的關(guān)系如下（記=b2-4ac）1）當(dāng)>0時，方程有兩個不等實根，設(shè)x1，x2(x1<x2)，不等式和不等式的解集分別是x|x<x1或x>x2和x|x1<x<x2，二次函數(shù)f(x)圖象與x軸有兩個不同的交點，f(x)還可寫成f(x)=a(x-x1)(x-x2).2）當(dāng)=0時，方程有兩個相等的實根x1=x2=x0=，不等式和不等式的解集分別是x|x和空集，f(x)的圖象與x軸有唯一公共點3）當(dāng)<0時，方程無解，不等式和不等式的解集分別是R和.f(x)圖象與x軸無公共點當(dāng)a<0時，請讀者自己分析4二次函數(shù)的最值：若a>0，當(dāng)x=x0時，f(x)取最小值f(x0)=，若a<0，則當(dāng)x=x0=時，f(x)取最大值f(x0)=.對于給定區(qū)間m，n上的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，當(dāng)x0m， n時，f(x)在m， n上的最小值為f(x0); 當(dāng)x0<m時f(x)在m， n上的最小值為f(m)；當(dāng)x0>n時，f(x)在m， n上的最小值為f(n)（以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出）定義1 能判斷真假的語句叫命題，如“3>5”是命題，“蘿卜好大”不是命題不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題注1 “p或q”復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同為假命題時為假，否則為真命題；“p且q”復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同時為真命題時為真，否則為假命題；p與“非p”即“p”恰好一真一假定義2 原命題：若p則q（p為條件，q為結(jié)論）；逆命題：若q則p；否命題：若非p則q；逆否命題：若非q則非p注2 原命題與其逆否命題同真假一個命題的逆命題和否命題同真假注3 反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題定義3 如果命題“若p則q”為真，則記為pq否則記作pq.在命題“若p則q”中，如果已知pq，則p是q的充分條件；如果qp，則稱p是q的必要條件；如果pq但q不p，則稱p是q的充分非必要條件；如果p不q但pq，則p稱為q的必要非充分條件；若pq且qp，則p是q的充要條件二、方法與例題1待定系數(shù)法例1 設(shè)方程x2-x+1=0的兩根是，求滿足f()=，f()=，f(1)=1的二次函數(shù)f(x).【解】 設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0)，則由已知f()=，f()=相減并整理得（-）（+）a+b+1=0，因為方程x2-x+1=0中0，所以，所以(+)a+b+1=0.又+=1，所以a+b+1=0.又因為f(1)=a+b+c=1，所以c-1=1，所以c=2.又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由f()=得a2-(a+1)+2=，所以a2-a+2=+=1，所以a2-a+1=0.即a(2-+1)+1-a=0，即1-a=0，所以a=1，所以f(x)=x2-2x+2.2方程的思想例2 已知f(x)=ax2-c滿足-4f(1)-1， -1f(2)5，求f(3)的取值范圍【解】 因為-4f(1)=a-c-1，所以1-f(1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5， f(3)=f(2)-f(1)，所以(-1)+f(3)5+4，所以-1f(3)20.3利用二次函數(shù)的性質(zhì)例3 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a，b，cR， a0)，若方程f(x)=x無實根，求證：方程f(f(x)=x也無實根【證明】若a>0，因為f(x)=x無實根，所以二次函數(shù)g(x)=f(x)-x圖象與x軸無公共點且開口向上，所以對任意的xR，f(x)-x>0即f(x)>x，從而f(f(x)>f(x)所以f(f(x)>x，所以方程f(f(x)=x無實根注：請讀者思考例3的逆命題是否正確4利用二次函數(shù)表達式解題例4 設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的兩根x1， x2滿足0<x1<x2<，（）當(dāng)x(0， x1)時，求證：x<f(x)<x1；（）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=x0對稱，求證：x0<【證明】 因為x1， x2是方程f(x)-x=0的兩根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（）當(dāng)x(0， x1)時，x-x1<0， x-x2<0， a>0，所以f(x)>x.其次f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+<0，所以f(x)<x1.綜上，x<f(x)<x1.（）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+1-a(x1+x2)x+ax1x2，所以x0=，所以，所以5構(gòu)造二次函數(shù)解題例5 已知關(guān)于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2)， a>1，求證：方程的正根比1小，負(fù)根比-1大【證明】 方程化為2a2x2+2ax+1-a2=0.構(gòu)造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2，f(1)=(a+1)2>0， f(-1)=(a-1)2>0， f(0)=1-a2<0， 即>0，所以f(x)在區(qū)間（-1，0）和（0，1）上各有一根即方程的正根比1小，負(fù)根比-1大6定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值例6 當(dāng)x取何值時，函數(shù)y=取最小值？求出這個最小值【解】 y=1-，令u，則0<u1y=5u2-u+1=5，且當(dāng)即x=3時，ymin=.例7 設(shè)變量x滿足x2+bx-x(b<-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值【解】 由x2+bx-x(b<-1)，得0x-(b+1).)-(b+1)，即b-2時，x2+bx的最小值為-，所以b2=2，所以（舍去）) ->-(b+1)，即b>-2時，x2+bx在0，-(b+1)上是減函數(shù)，所以x2+bx的最小值為b+1，b+1=-，b=-.綜上，b=-.7.一元二次不等式問題的解法例8 已知不等式組 的整數(shù)解恰好有兩個，求a的取值范圍【解】 因為方程x2-x+a-a2=0的兩根為x1=a， x2=1-a，若a0，則x1<x2.的解集為a<x<1-a，由得x>1-2a.因為1-2a1-a，所以a0，所以不等式組無解若a>0，）當(dāng)0<a<時，x1<x2，的解集為a<x<1-a.因為0<a<x<1-a<1，所以不等式組無整數(shù)解）當(dāng)a=時，a=1-a，無解）當(dāng)a>時，a>1-a，由得x>1-2a，所以不等式組的解集為1-a<x<a.又不等式組的整數(shù)解恰有2個，所以a-(1-a)>1且a-(1-a)3，所以1<a2，并且當(dāng)1<a2時，不等式組恰有兩個整數(shù)解0，1綜上，a的取值范圍是1<a2.8充分性與必要性例9 設(shè)定數(shù)A，B，C使得不等式A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)0 對一切實數(shù)x，y，z都成立，問A，B，C應(yīng)滿足怎樣的條件？（要求寫出充分必要條件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示條件）【解】 充要條件為A，B，C0且A2+B2+C22(AB+BC+CA).先證必要性，可改寫為A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)20 若A=0，則由對一切x，y，zR成立，則只有B=C，再由知B=C=0，若A0，則因為恒成立，所以A>0，=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20恒成立，所以(B-A-C)2-4AC0，即A2+B2+C22(AB+BC+CA)同理有B0，C0，所以必要性成立再證充分性，若A0，B0，C0且A2+B2+C22(AB+BC+CA)，1）若A=0，則由B2+C22BC得(B-C)20，所以B=C，所以=0，所以成立，成立2）若A>0，則由知0，所以成立，所以成立綜上，充分性得證9常用結(jié)論定理1 若a， bR， |a|-|b|a+b|a|+|b|.【證明】 因為-|a|a|a|，-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|，所以|a+b|a|+|b|（注：若m>0，則-mxm等價于|x|m）.又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|，即|a|-|b|a+b|.綜上定理1得證定理2 若a，bR， 則a2+b22ab；若x，yR+，則x+y(證略)注 定理2可以推廣到n個正數(shù)的情況，在不等式證明一章中詳細(xì)論證三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1下列四個命題中屬于真命題的是_，“若x+y=0，則x、y互為相反數(shù)”的逆命題；“兩個全等三角形的面積相等”的否命題；“若q1，則x2+x+q=0有實根”的逆否命題；“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆否命題2由上列各組命題構(gòu)成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題中，p或q為真，p且q為假，非p為真的是_.p；3是偶數(shù)，q：4是奇數(shù)；p:3+2=6，q:p:a(a，b)，q:aa，b; p: QR， q: N=Z.3. 當(dāng)|x-2|<a時，不等式|x2-4|<1成立，則正數(shù)a的取值范圍是_.4. 不等式ax2+(ab+1)x+b>0的解是1<x<2，則a， b的值是_.5. x1且x2是x-1的_條件，而-2<m<0且0<n<1是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有兩個小于1的正根的_條件.6.命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的逆命題是_.7.若S=x|mx2+5x+2=0的子集至多有2個，則m的取值范圍是_.8. R為全集，A=x|3-x4， B=， 則(CRA)B=_.9. 設(shè)a， b是整數(shù)，集合A=(x，y)|(x-a)2+3b6y，點（2，1）A，但點（1，0）A，（3，2）A則a，b的值是_.10設(shè)集合A=x|x|<4， B=x|x2-4x+3>0，則集合x|xA且xAB=_.11. 求使不等式ax2+4x-1-2x2-a對任意實數(shù)x恒成立的a的取值范圍12對任意x0，1，有 成立，求k的取值范圍四、高考水平訓(xùn)練題1若不等式|x-a|<x的解集不空，則實數(shù)a的取值范圍是_.2使不等式x2+(x-6)x+9>0當(dāng)|a|1時恒成立的x的取值范圍是_.3若不等式-x2+kx-4<0的解集為R，則實數(shù)k的取值范圍是_.4若集合A=x|x+7|>10， B=x|x-5|<k，且AB=B，則k的取值范圍是_.5設(shè)a1、a2， b1、b2， c1、c2均為非零實數(shù)，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0解集分別為M和N，那么“”是“M=N”的_條件6若下列三個方程x2+4ax-4a+3=0， x2+(a-1)x+a2=0， x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_.7已知p， q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，則r是q的_條件8已知p: |1-|2， q: x2-2x+1-m20(m>0)，若非p是非q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是_.9已知a>0，f(x)=ax2+bx+c，對任意xR有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)<f(1+2x-x2)，求x 的取值范圍10已知a， b， cR， f(x)=ax2+bx+c， g(x)=ax+b， 當(dāng)|x|1時，|f(x)|1，(1)求證：|c|1;(2)求證：當(dāng)|x|1時，|g(x)|2;(3)當(dāng)a>0且|x|1時，g(x)最大值為2，求f(x).11.設(shè)實數(shù)a，b，c，m滿足條件：=0，且a0，m>0，求證：方程ax2+bx+c=0有一根x0滿足0<x0<1.五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0的解集是_.2如果實數(shù)x， y滿足：，那么|x|-|y|的最小值是_.3已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，1），（3，5），f(0)>0，當(dāng)函數(shù)的最小值取最大值時，a+b2+c3=_.4. 已知f(x)=|1-2x|， x0，1，方程f(f(f)(x)=x有_個實根5若關(guān)于x的方程4x2-4x+m=0在-1，1上至少有一個實根，則m取值范圍是_.6若f(x)=x4+px3+qx2+x對一切xR都有f(x)x且f(1)=1，則p+q2=_.7. 對一切xR，f(x)=ax2+bx+c(a<b)的值恒為非負(fù)實數(shù)，則的最小值為_.8函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象如圖，且=b-2ac. 那么b2-4ac_4. （填>、=、<）9若a<b<c<d，求證：對任意實數(shù)t-1， 關(guān)于x的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0都有兩個不等的實根10某人解二次方程時作如下練習(xí)：他每解完一個方程，如果方程有兩個實根，他就給出下一個二次方程：它的常數(shù)項等于前一個方程較大的根，x的系數(shù)等于較小的根，二次項系數(shù)都是1證明：這種練習(xí)不可能無限次繼續(xù)下去，并求最多能延續(xù)的次數(shù)11已知f(x)=ax2+bx+c在0，1上滿足|f(x)|1，試求|a|+|b|+|c|的最大值六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1設(shè)f(x)=ax2+bx+c，a，b，cR， a>100，試問滿足|f(x)|50的整數(shù)x最多有幾個？2設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a<0)，對于給定的負(fù)數(shù)a，有一個最大的正數(shù)l(a)，使得在整個區(qū)間0，l(a)上，不等式|f(x)|5都成立求l(a)的最大值及相應(yīng)a的值3設(shè)x1，x2，xna， a+1，且設(shè)x=， y=， 求f=y-x2的最大值4F(x)=ax2+bx+c，a，b，cR， 且|F(0)|1，|F(1)|1，|F(-1)|1，則對于|x|1，求|F(x)|的最大值5已知f(x)=x2+ax+b，若存在實數(shù)m，使得|f(m)|，|f(m+1)|，求=a2-4b的最大值和最小值6設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (a，b，cR， a0)滿足下列條件：1）當(dāng)xR時，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)x；2）當(dāng)x(0， 2)時，f(x);3）f(x)在R上最小值為0求最大的m(m>1)，使得存在tR，只要x1， m就有f(x+t)x.7.求證：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0，1)內(nèi)至少有一個實根8設(shè)a，b，A，BR+， a<A， b<B，若n個正數(shù)a1， a2，an位于a與A之間，n個正數(shù)b1， b2，bn位于b與B之間，求證：9設(shè)a，b，c為實數(shù)，g(x)=ax2+bx+c， |x|1，求使下列條件同時滿足的a， b， c的值：（）=381;（）g(x)max=444;（）g(x)min=364.