廣東省中山一中等七校高三第二次（12月）聯(lián)考理科數(shù)學試題及答案

寶安中學 潮陽一中 桂城中學 南海中學 普寧二中 中山一中 仲元中學 20142015學年度 高三第二次聯(lián)考 理 科 數(shù) 學 命題人: 南海中學 錢耀周本試卷共4頁,21小題,滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前,考生務必填寫好答題卷上的有關項目. 2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答案涂在答題卷的相應位置上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內；如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卷的整潔.考試結束后,將答題卷交回.一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1. 復數(shù)(其中為虛數(shù)單位)的虛部為( ) A B C D2命題“,”的否定是( )A, B,C, D,3. 設向量,且,方向相反,則的值是( ) A B C D4. 下列四個函數(shù)中,最小正周期為,且圖象關于直線對稱的是( )A B C D圖15已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)(,)的圖象如圖所示,則( )A,B,C,D,6已知在上是奇函數(shù),且滿足,當時,則()A B C D7已知雙曲線的中心在原點,一個焦點為,點在雙曲線上,且線段的中點坐標為,則此雙曲線的方程是( )A B C D8. 由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學危機一直延續(xù)到19世紀.直到1872年,德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)(史稱戴德金分割),并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎上,才結束了無理數(shù)被認為“無理”的時代,也結束了持續(xù)2000多年的數(shù)學史上的第一次大危機.所謂戴德金分割,是指將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與,且滿足,中的每一個元素都小于中的每一個元素,則稱為戴德金分割.試判斷,對于任一戴德金分割,下列選項中,不可能成立的是( )A沒有最大元素,有一個最小元素 B沒有最大元素,也沒有最小元素C有一個最大元素,有一個最小元素 D有一個最大元素,沒有最小元素二、填空題:本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分）(一)必做題(913題)9. 一支田徑隊有男運動員人,女運動員人,現(xiàn)按性別用分層抽樣的方法,從中抽取位運動員進行健康檢查,則男運動員應抽取_人.4434正視圖側視圖俯視圖圖210.一個幾何體的三視圖(單位:)如圖所示,則該幾何體的體積是_.開始否輸出結束是圖311.某程序框圖如圖所示,該程序運行后,輸出的值為,則等于_.12.若(),記,則的值為_.13.已知為平面內的一個區(qū)域.:點；:點.如果是的充分條件,那么區(qū)域的面積的最小值是_(二)選做題（14、15題,考生只能從中選做一題,兩題全答的,只計前一題的得分）ABCDPO圖414.(坐標系與參數(shù)方程選講選做題)在直角坐標系中,已知曲線:(為參數(shù))與曲線:(為參數(shù))相交于、兩點,則線段的長為 .15.(幾何證明選講選做題)如圖,、為的兩條割線,若,則 .三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.(本題滿分12分)設的內角所對邊的長分別為,且.() 求的度數(shù)； () 若,求的面積.17.(本題滿分12分)某中學校本課程共開設了共門選修課,每個學生必須且只能選修門選修課,現(xiàn)有該校的甲、乙、丙名學生.() 求這名學生選修課所有選法的總數(shù)；() 求恰有門選修課沒有被這名學生選擇的概率；() 求選修課被這名學生選擇的人數(shù)的分布列和數(shù)學期望.18.(本題滿分14分)如圖,三棱柱中,平面平面,CC1B1AA1BD圖5與相交于點.() 求證:平面；() 求二面角的余弦值.19.(本題滿分14分)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且().() 求的值及數(shù)列的通項公式； () 記數(shù)列的前項和為,求證:()；20.(本題滿分14分)已知兩點、,動點與、兩點連線的斜率、滿足.() 求動點的軌跡的方程；（）是曲線與軸正半軸的交點,曲線上是否存在兩點、,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在,請說明有幾個；若不存在,請說明理由.21.(本題滿分14分)已知函數(shù),(其中).() 如果函數(shù)和有相同的極值點,求的值,并直接寫出函數(shù)的單調區(qū)間；() 求方程在區(qū)間上實數(shù)解的個數(shù).2015屆七校第二次聯(lián)考理科數(shù)學參考答案與評分標準一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分題號12345678答案ABCCDAAC二、填空題：本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分必做題9； 10； 11； 12； 13.； 選做題14； 15.三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.【解析】() 因為,所以, 2分又,所以,所以, 4分因為,所以. 6分() 在中, 由余弦定理可得,8分即,解得或(舍去) 10分所以 12分17.【解析】()每個學生有四個不同選擇,根據(jù)分步計數(shù)原理,選法總數(shù) 2分 () 設“恰有門選修課沒有被這名學生選擇”為事件,則,即恰有門選修課沒有被這名學生選擇的概率為.5分() 的所有可能取值為,且, , 9分所以的分布列為10分所以的數(shù)學期望.12分或:因為選修課被每位學生選中的概率均為,沒被選中的概率均為.所以的所有可能取值為,且, , 9分所以的分布列為10分所以的數(shù)學期望.12分18.【解析】()依題意,側面是菱形,是的中點,因為,所以,又平面平面,且平面,平面平面所以平面.5分()傳統(tǒng)法由()知平面,面,所以,CC1B1AA1BDH第18題傳統(tǒng)法圖 又,所以平面,過作,垂足為,連結,則,所以為二面角的平面角. 9分在中,所以,12分所以,即二面角的余弦值是. 14分 向量法以為原點,建立空間直角坐標系如圖所示, 6分由已知可得 C1B1ACA1BDxzy第18題向量法圖故, 則,8分設平面的一個法向量是,則,即,解得令,得11分顯然是平面的一個法向量, 12分所以,即二面角的余弦值是.14分19.【解析】()當時,解得或(舍去) 2分當時,相減得,4分即,又,所以,則,所以是首項為,公差為的等差數(shù)列,故 6分() 證法一:當時, 7分當時,10分所以. 綜上,對任意,均有成立.14分證法二:當時, 7分當時,先證,即證顯然成立.所以10分所以, 綜上,對任意,均有成立.14分20.【解析】()設點的坐標為(),則,2分依題意,所以,化簡得,4分所以動點的軌跡的方程為().5分 注:如果未說明(或注),扣1分.（）設能構成等腰直角,其中為,由題意可知,直角邊,不可能垂直或平行于軸,故可設所在直線的方程為,(不妨設),則所在直線的方程為7分聯(lián)立方程,消去整理得,解得,將代入可得,故點的坐標為.所以,9分同理可得,由,得,所以,整理得,解得或11分 當斜率時,斜率；當斜率時,斜率；當斜率時,斜率, 綜上所述,符合條件的三角形有個.14分21.【解析】(),則, 1分令,得或,而二次函數(shù)在處有極大值,所以或,解得或； 4分當時,的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.5分當時,的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.6分(),8分令, 當即時,無實根,故原方程的解為,滿足題意,即原方程有唯一實數(shù)解；9分 當即或時, 若,則的實數(shù)解為,故原方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)解；若,則的實數(shù)解為,故原方程在區(qū)間上有兩實數(shù)解,或；10分 當即或時,若,由于,此時在區(qū)間上有一實數(shù)解,故原方程有唯一實數(shù)解； 11分若時,由于,當即時,在區(qū)間上有唯一實數(shù)解,故原方程有一實數(shù)解；若即時,在區(qū)間上無實數(shù)解,故原方程有無實數(shù)解；13分綜上,當時,原方程在上無實數(shù)解；當或時,原方程在上有唯一實數(shù)解；當時,原方程在上有兩不等實數(shù)解.14分- 14 -