數列在生活中的應用.ppt

正確理解儲蓄及利息的計算方法 了解并掌握購房貸款中的相關知識 明確現行銀行的還款方式,4 數列在日常經濟生活中的應用,【課標要求】,【核心掃描】,能夠利用等差數列、等比數列解決一些實際問題(重點、難點) 了解“零存整取”，“定期自動轉存”及“分期付款”等日常經濟行為的含義(重點),1,2,3,1,2,自學導引,試一試：什么情況下建立數列模型？ 提示 根據解題經驗，當應用問題中的變量的取值范圍是正整數時，該問題通常是數列問題，這時常常建立數列模型來解決例如存款、貸款、購物(房、車)分期付款、保險、資產折舊等問題都屬于數列問題模型 有關儲蓄的計算 儲蓄與人們的日常生活密切相關，計算儲蓄所得利息的基本公式是：利息本金存期利率 根據國家規(guī)定，個人取得儲蓄存款利息，應依法納稅，計算公式為：應納稅額利息全額稅率 (1)整存整取定期儲蓄 一次存入本金金額為A，存期為n，每期利率為p，稅率為q，則到期時，所得利息為：_，應納稅為_，實際取出金額為：_.,2,nAp,nApq,nAp(1q)A,想一想：單利和復利分別與等差數列和等比數列中的哪一種數列對應？ 提示 單利和復利分別以等差數列和等比數列為模型，即單利的實質是等差數列，復利的實質是等比數列,解答數列應用題的基本步驟 (1)審題仔細閱讀材料，認真理解題意 (2)建模將已知條件翻譯成數學(數列)語言，將實際問題轉化成數學問題，弄清該數列的特征，要求什么 (3)求解求出該問題的數學解 (4)還原將所求結果還原到原實際問題中 具體解題步驟為下框圖：,名師點睛,1,數列應用問題的常見模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或減少)的量是一個固定的具體量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差，其一般形式是：an1and(常數) 例如：銀行儲蓄單利公式 利息按單利計算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和ya(1xr),2,例如：銀行儲蓄復利公式 按復利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和ya(1r)x. 產值模型 原來產值的基礎數為N，平均增長率為p，對于時間x的總產值yN(1p)x. (3)混合模型：在一個問題中，同時涉及到等差數列和等比數列的模型 (4)生長模型：如果某一個量，每一期以一個固定的百分數增加(或減少)，同時又以一個固定的具體量增加(或減少)，稱該模型為生長模型，如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等,題型一 等差數列模型(單利問題),用分期付款購買價格為25萬元的住房一套，如果購買時先付5萬元，以后每年付2萬元加上欠款利息簽訂購房合同后1年付款一次，再過1年又付款一次，直到還完后為止商定年利率為10%，則第5年該付多少元？購房款全部付清后實際共付多少元？ 思路探索 先將實際問題轉化為數學問題，這是一個等差數列問題，用等差數列來解決,【例1】,解 購買時先付5萬元，余款20萬元按題意分10次分期還清，每次付款數組成數列an， 則a12(255)10%4(萬元)； a22(2552)10%3.8(萬元)； a32(25522)10%3.6(萬元)； ；,31536(萬元)，因此第5年該付3.2萬元，購房款全部付清后實際共付36萬元 規(guī)律方法 按單利分期付款的數學模型是等差數列，解決該類問題的關鍵是弄清楚： (1)規(guī)定多少時間內付清全部款額； (2)在規(guī)定的時間內分幾期付款，并且規(guī)定每期所付款額相同； (3)規(guī)定多長時間段結算一次利息，并且在規(guī)定時間段內利息的計算公式,一個水池有若干出水量相同的水龍頭，如果所有水龍頭同時放水，那么24 min可注滿水池如果開始時全部放開，以后每隔相等的時間關閉一個水龍頭，到最后一個水龍頭關閉時，恰好注滿水池，而且最后一個水龍頭放水的時間恰好是第一個水龍頭放水時間的5倍，問最后關閉的這個水龍頭放水多少時間？ 解 設共有n個水龍頭，每個水龍頭放水時間從小到大依次為x1，x2，xn. 由已知可知x2x1x3x2xnxn1， 數列xn成等差數列，,【訓練1】,陳老師購買工程集資房92 m2，單價為1 000元/m2，一次性國家財政補貼28 800元，學校補貼14 400元，余款由個人負擔房地產開發(fā)公司對教師實行分期付款(注)，經過一年付款一次，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按復利計算(注)，那么每年應付款多少元？(注) 注 分期付款，各期所付的款以及最后一次付款時所生的利息合計，應等于個人負擔的購房余額的現價及這個房款現價到最后一次付款時所生的利息之和 每年按復利計算，即本年利息計入次年的本金生息 必要時參考下列數據：1.07591.971,1.075102.061,1.075112.216.,【例2】,題型二 等比數列模型(復利問題),思路探索 按復利分期付款，各期所付的款以及最后一次付款時所生的利息合計，應等于個人負擔的購房余額的現價及這個款現價到最后一次付款時所生的利息之和 解 設每年應付款x元，那么到最后一次付款時(即購房十年后)，第一年付款及所生利息之和為x1.0759元，第二年付款及所生利息之和為x1.0758元，第九年付款及其所生利息之和為x1.075元，第十年付款為x元，而所購房余款的現價及其利息之和為1 00092(28 80014 400)1.0751048 8001.07510(元)因此有x(11.0751.07521.0759)48 8001.07510(元)，,規(guī)律方法 求解此類問題應先把實際問題轉化為等比數列問題，在建立等比數列模型后，運算中往往要運用指數運算等，要注意運算的準確性，對于近似計算問題，答案要符合題設中實際問題的需要,某家庭打算以一年定期的方式存款，計劃從2012年起，每年年初到銀行新存入a元，年利率p保持不變，并按復利計算，到2022年年初將所有存款和利息全部取出，共取回多少元？,【訓練2】,解 從2012年年初到2013年年初有存款b1a(1p)元，設第n年年初本息有bn元，第n1年年初有bn1元，則有bn1(bna)(1p)將之變形為,(本題滿分12分)假設某市2012年新建住房400萬 m2，其中有250萬 m2是中、低價房預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上年增長8%.另外，每年新建住房中，中、低價房的面積均比上一年增加50萬 m2.那么，到哪一年底， (1)該市歷年所建中、低價房的累計面積(以2012年為累計的第一年)將首次不少于4 750萬 m2? (2)到哪年，當年建造的中、低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%? 審題指導 第(1)問是等差數列求和問題；第(2)問由等比數列通項公式求出bn表達式，解不等式an0.85bn，求得n的最小正整數解,【例3】,題型三 等差、等比數列的綜合應用,【解題流程】 規(guī)范解答 (1)設中、低價房面積形成數列an，由題意可知an是等差數列，,令25n2225n4 750，即n29n1900，而n是正整數，n10.(4分) 到2021年底，該市歷年所建中、低價房的累計面積將首次不少于4 750萬 m2.(5分),(2)設新建住房面積形成數列bn，由題意可知bn是等比數列， 其中b1400，q1.08，則bn400(1.08)n1，(8分) 由題意可知an0.85bn，有250(n1)50400(1.08)n10.85.(10分) 由計算器解得滿足上述不等式的最小正整數n6， 到2015年底，當年建造的中、低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.(12分) 【題后反思】 解答等差、等比數列綜合應用問題的關系是通過審題，將實際問題轉化為數列模型，運用等差數列和等比數列的知識解決問題，因此在做題過程中必須明確建立的是等差數列模型還是等比數列模型，明確是求n，還是求an，或是求Sn.,據美國學者詹姆斯馬丁的測算，在近十年，人類知識總量已達到每三年翻一番，2020年甚至會達到每73天翻一番的空前速度因此，基礎教育的任務已不是教會一個人一切知識，而是讓一個人學會學習已知2000年底，人類知識總量為a，假如從2000年底到2009年底是每三年翻一番，從2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年是每73天翻一番試回答： (1)2009年底人類知識總量是多少？ (2)2019年底人類知識總量是多少？ (3)2020年按365天計算，2020年底人類知識總量是多少？,【訓練3】,解 由于翻一番是在原來的基礎上乘以2，翻兩番是在原來的基礎上乘以22，翻n番是在原來的基礎上乘以2n.于是 (1)從2000年底到2009年底是每三年翻一番，共翻三番，在a的基礎上，2009年底人類知識總量為23a8a. (2)從2009年底到2019年底是每一年翻一番，共翻十番，所以2019年底人類知識總量為8a2108 192a. (3)2020年是每73天翻一番，而2020年按365天計算，共翻五番，所以2020年底人類知識總量為8 192a25262 144a.,要在一段公路上每隔100米豎一塊路程牌，共需豎60塊路程牌，并依次將它們編號為1,2,3，60，為完成豎牌的任務，要求先用一輛汽車把60塊路程牌全部集中到n(1n60， nN)號牌處，再由一個工人從n號牌處出發(fā)，用自行車每次運一塊路程牌到規(guī)定地點豎牌，n應取多少時，才能使工人豎牌時所行的路程最少？最少路程是多少？ 錯解 找不到解決問題的思路,誤區(qū)警示 找不到應用題對應的數列模型而致錯,【示例】,樹立解應用題的自信心，應用所學知識進行解決本例運用數列的知識求出從n號到每一號所行路程，它們分別組成兩個等差數列，之后運用等差數列前n項和公式求出所行的路程，再用二次函數的有關知識計算出最少路程,正解 路程牌集中到n號牌處時，該工人所行路程為Sn2100(n1)2100(n2)2100121001210022100(60n) 20012(n1)12(60n),因為nN，所以當n30或n31時，(Sn)最小200(30261301 830)180 000(米) 即n取30或31時，才能使工人豎牌時所行的路程最少，最少路程是180 000米,一般地，解決數列的實際應用問題首先要讀懂題意，分析題中條件，理順其中的數量關系；其次要將文字語言轉化為數字語言，建立數列模型(建立模型時注意運用推理、歸納等方法)；然后求解數列模型，得出相關結論；最后將結論還原到實際問題中,