北師大版初中數(shù)學(xué)九年級下冊《圓的對稱性》教案設(shè)計

課 題：第三章 第2節(jié)圓的對稱性（1）課 型：新授課教學(xué)目標(biāo)：1. 理解圓的對稱性（軸對稱）及有關(guān)性質(zhì).（重點） 2理解垂徑定理及推論，并會運用其解決有關(guān)問題(難點)教法與學(xué)法指導(dǎo)：這節(jié)課主要通過“找圓心”等問題情境激發(fā)學(xué)生探究的興趣和熱情，經(jīng)歷“操作實踐大膽猜測-綜合證明-靈活應(yīng)用”的課堂模式，在探究垂徑定理過程中，讓學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，勇于探索的精神.課前準(zhǔn)備：制作課件，學(xué)生預(yù)習(xí)學(xué)案.教學(xué)過程：一、情景導(dǎo)入 明確目標(biāo)組織教學(xué)：準(zhǔn)備，給每一位同學(xué)發(fā)放圓形紙片（用化學(xué)濾紙）；并提出問題，(問題1) 通過上節(jié)課車輪為什么是圓形的學(xué)習(xí)，認(rèn)識了圓的基本概念,這是一張圓形紙片,你有什么辦法找出它的圓心呢？學(xué)生活動 ：學(xué)生憑借經(jīng)驗很容易想到用兩次折疊的方法，找到圓心.師：同學(xué)們上一節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了圓的基本概念，知道，半徑定圓的大小，圓心定圓的位置.下面，請一位同學(xué)到前面演示自己找圓心的過程.學(xué)生演示：師：（問題2） 在折疊的過程中，你從中還知道圓具有什么性質(zhì)?生1：老師，圓是對稱圖形，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.師：很好，同學(xué)們觀察的很認(rèn)真，這節(jié)課，我們重點研究圓的軸對稱性，那么，圓的對稱軸是怎樣的直線，有多少條對稱軸？生2：老師，圓的對稱軸是直徑，它有無數(shù)條對稱軸.師：同學(xué)們，這位同學(xué)回答的對嗎？生3：不正確，對稱軸應(yīng)該是直線，而直徑是線段，應(yīng)該說，對稱軸是直徑所在的直線，或者是過圓心的直線.教師活動：進行鼓勵表揚并板書，3.2 圓的對稱性（1）圓的對稱性：圓是軸對稱圖形，對稱軸是任意一條過圓心的直線.設(shè)計意圖：問題可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而興趣又是最好的老師.通過設(shè)計一連串的問題情境容易引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探究的興趣，在動手操作中既復(fù)習(xí)圓的意義，又探索到圓的對稱性.二、自主學(xué)習(xí) 合作探究：探究活動一：圓的基本概念（讓學(xué)生注意觀察動畫課件）學(xué)案(問題3)：（1）什么是弦？什么是?。咳绾螀^(qū)別？怎么表示？（2）弧與弦分別可以分成幾類？它們?nèi)绾螀^(qū)分？ 學(xué)情預(yù)設(shè)：可能出現(xiàn)的情形一：學(xué)生看書后能理解弦、弧、優(yōu)弧、劣弧及半圓的意義，但是難以區(qū)別異同，如：弦是線段，弧是曲線段；直徑是弦，但弦不一定是直徑；半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧情形二：學(xué)生寫出的弧可能重復(fù)或遺漏，不能掌握“優(yōu)弧與劣弧成對出現(xiàn)”的規(guī)律.情形三：優(yōu)弧的表示方法.以上若學(xué)生不能討論總結(jié)得出，則需要老師引導(dǎo)得出結(jié)論.學(xué)生活動：學(xué)生在預(yù)習(xí)的前提下邊觀察圖形演示邊獨立思考，再在四人小組間交流討論.教師活動：參與學(xué)生的討論，注意收集信息，以便及時補充，然后提問.生1：(1)連接圓上任意兩點的線段叫做弦經(jīng)過圓心的弦叫直徑. 圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧;直徑的兩個端點把圓分成兩個部分，每一部分叫做半圓.大于半圓弧叫優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧.生2：弦是線段，弧是曲線段.弧的表示方法是在兩個端點上面添加“符號.生3：弦分為過圓心的和不過圓心的弦；弧分為劣弧、半圓、優(yōu)弧. 師 同學(xué)們總結(jié)的很好，下面，結(jié)合圖形加深認(rèn)識，并思考，你還可以得出什么性質(zhì).教師活動：引導(dǎo)學(xué)生，能不能從它們之間的相互關(guān)系來比較說明. 生4：直徑是弦，但弦不一定是直徑；半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧. 生5：直徑是圓中最大的弦.學(xué)生活動:整理好筆記.設(shè)計意圖：讓學(xué)生帶著問題探究，加強自主探究的針對性，激發(fā)思考與交流，從而真正掌握它們的本質(zhì)與異同，學(xué)會辨證統(tǒng)一、分類討論地解決問題，提高課堂效率.探究活動二：垂徑定理 （問題4）（1）剛才折出的兩條直徑是怎樣的位置關(guān)系？圖中能得出哪些等量關(guān)系？（2）若把AB向上平移到任意位置，成了不是直徑的弦，折疊后猜想：還有與剛才類似的結(jié)論嗎？有哪些方法證明你的猜想正確與否？（3）思考：上述探索過程利用了圓的什么性質(zhì)？還運用了哪些知識？若只證明AM=BM，還有什么方法？ （4）把上述發(fā)現(xiàn)歸納成文字語言和幾何語言. 學(xué)生活動：拿出圓形紙片,將其對折，得到一條折痕CD,在CD上取一點M，作CD的垂線AB,然后再將圓沿CD對折，觀察，得出結(jié)論.生1：垂直關(guān)系；相等的量有，AM=BM, 因為圓沿直線CD對折后，點A與B重合.生2： 若只證明AM=BM，還可以用等腰三角形“三線合一”. 證明：連接OA,OB則OA=OB又 CDABAM=BM,CD是線段AB的垂直平分線點A和點B關(guān)于直線CD對稱教師活動:引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)并板書文字語言和幾何語言：垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的（兩條）弧如圖，在O中，即 CD是直徑 AM=BM， CDAB于M 設(shè)計意圖：用運動變化的觀點體會從特殊到一般研究問題的方法，在折疊中領(lǐng)會定理的證明思路，突出重點、突破難點，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，提高學(xué)生的概括、總結(jié)的語言表達能力.探究活動三：垂徑定理的推論議一議：(問題5)同學(xué)們，如果把“垂徑定理”中的條件“垂直于弦”與結(jié)論“平分于弦”互換，即：，結(jié)論是否還成立？如果成立，請你說明理由；不成立，請舉反例.學(xué)情預(yù)設(shè)： 大多數(shù)學(xué)生會模仿定理畫圖、折疊、推理后認(rèn)為是成立的，可能有個別學(xué)生會持反對意見，引起一番有意義的討論，老師可以適時地引導(dǎo).當(dāng)AB與CD是O的直徑時，互相平分，但不一定垂直！只有當(dāng)弦AB不是直徑時，結(jié)論才會成立.生1： 成立.OA=OB,AM=BM, CDAB(三線合一)生2：不一定成立，如圖，當(dāng)AB是直徑時，CD平分AB，但不垂直AB.只有AB不是直徑時，才成立.師： 同學(xué)們討論的非常好，做數(shù)學(xué)就是要求我們思維要嚴(yán)謹(jǐn)，注意，條件與圖形的統(tǒng)一及多樣性，多畫圖，多分析，多總結(jié).那么這個推論我們應(yīng)該怎么說？在學(xué)生的歸納中，板書.垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.（問題6）如果我們繼續(xù)交換條件是否能夠、？學(xué)生活動：采取折疊-重合-得出結(jié)論成立.師生共同歸納總結(jié)：由 “直徑、垂直于弦、平分弦、平分優(yōu)弧、平分劣弧”，其中兩個作條件推出另三個結(jié)論.設(shè)計意圖：對教材知識進行適當(dāng)?shù)淖兪胶屯卣梗寣W(xué)生能舉一反三，發(fā)散學(xué)生的思維，讓不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展，并體驗數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和探究的樂趣，感受合作交流的重要性.（問題7）例題分析例1：如右圖所示，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD，點O是弧CD的圓心)，其中CD=600m，E為弧CD上一點，且OECD，垂足為F，EF=90 m求這段彎路的半徑學(xué)生活動：觀察示意圖，分析題目的已知和要求的結(jié)果，尋求相互關(guān)系，然后嘗試獨立解答，在與小組其他同學(xué)交流，確定解題思路.教師活動:與個別學(xué)生交流解題思想方法，讓其上黑板板演過程，并說明為什么這樣解答.生：解：連接OC，設(shè)彎路的半徑是R，則OF=(R-90)mOECDCF=CD/2=300m（垂徑定理）由勾股定理得OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2解得R=545所以，彎路的半徑是545m.設(shè)計意圖:讓學(xué)生在實踐中理解垂徑定理應(yīng)用，在四個量半徑R、弦CD的長、弦心距OF長、弓形高EF的長中，任已知兩個量可以求出另兩個量.一題多變，多題歸一，探尋規(guī)律，構(gòu)造直角三角形后通過勾股定理求解，從題海中解脫出來，并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.三、歸納總結(jié)，拓展提高師：同學(xué)們，我們本節(jié)課學(xué)習(xí)了垂徑定理及推論，理解了與圓有關(guān)的應(yīng)用，你有收獲，或者是疑慮問題，交流一下.學(xué)生活動：有獨立思考，落筆組織語言的，也有相互討論，交流總結(jié)的觀點的，氣氛相當(dāng)熱烈，各抒己見. 生：老師，如圖，OCAB，可不可以使用垂徑定理.師：可以，這條線（或線段）過圓心，就可以作為直徑使用，同時，過圓心作弦的垂線是今后解答圓的問題的常用輔助線，在以后的學(xué)習(xí)中，注意體會和總結(jié).設(shè)計意圖: 用問題形式引導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié)學(xué)習(xí)過程，使知識系統(tǒng)化，學(xué)會提煉其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，且能夠靈活應(yīng)用；學(xué)會自我反思，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.課堂檢測:1.已知O的半徑為5，弦AB的長為6 ，則這條弦的中點到弦所對劣弧中點的距離為_.考察知識點：理解垂徑定理的意義，會構(gòu)造符合定理的基本圖形，來解決問題.答案提示：解：過O點作AB的垂線，垂足是D，且與弧AB交于點C,連接OA,OCABD是AB的中點，C是弧AB的中點，DC=5-4=1所以，這條弦的中點到弦所對劣弧中點的距離為12.兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D，若AB=4，CD=2，圓心到AB的距離為l，則大圓的與小圓的半徑之比為_.考察知識點：理解垂徑定理的使用，加深認(rèn)識輔助線“弦心距和半徑”經(jīng)常是成對構(gòu)造的，以便構(gòu)造直角三角形，解決問題.答案提示：解：則大圓的與小圓的半徑之比為3. 儲油罐的截面如圖所示，裝入一些油后，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度考察知識點：主要是檢測垂徑定理在生活中的應(yīng)用，解決此類問題的關(guān)鍵是畫出示意圖，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解答.答案提示：由垂徑定理知，油最大深度=325-125=200（mm）4已知：如圖，O 中， AB為 弦，C 為 AB 的中點，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求O 的半徑OA. 考察知識點：數(shù)學(xué)方法的綜合應(yīng)用，主要是方程知識與圖形解答的結(jié)合.答案提示：解：設(shè)O的半徑為r在直角三角形AOD中，所以，r=5cmOA=5cm學(xué)情預(yù)設(shè)：部分同學(xué)可以當(dāng)堂完成，教師，當(dāng)堂批改，及時知道學(xué)生的解答情況；部分同學(xué)需要老師的引導(dǎo)，才能完成解答.教師活動：通過檢查，關(guān)鍵看學(xué)生的圖形構(gòu)造，是否能夠利用半徑和弦心距構(gòu)造出直角三角形，運用勾股定理解決問題.設(shè)計意圖：通過例題的分析學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要善于構(gòu)造圖形，解決問題;進一步理解，為了應(yīng)用條件和已有的性質(zhì)定理，需要添加輔助線來完善圖形，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.板書設(shè)計：3.2圓的對稱性（1）一、圓的對稱性 二、垂徑定理 三、垂徑定理的推論及應(yīng)用圓是軸對稱圖形， 垂直于弦的直徑平分這條弦 例題解答 對稱軸是任意一條過 并且平分弦所對的（兩條）弧圓心的直線， 教學(xué)反思：圓的對稱性是一節(jié)操作性較強的課，所以，我在教學(xué)中首先創(chuàng)設(shè)“找圓心”情境，讓學(xué)生感到新穎、有趣同時又注重了垂徑定理及推論的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程的教學(xué)；再以連貫的問題串形式步步深入，層層推進學(xué)生思考，有效激活學(xué)生思維. 讓學(xué)生真正體驗了探索獲取新知的成績感和成功感，同時也達到了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動性和創(chuàng)造性的目的；最后，通過提供有層次的達標(biāo)檢測題讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)解決實際問題.孩子們在解決問題的同時享受到了成功的喜悅，個性得到了彰顯，解決問題的能力也得到了充分的提升，更感受到數(shù)學(xué)的價值，從而更加熱愛數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).感到課堂不足的地方是，本節(jié)課學(xué)生操作和自主學(xué)習(xí)的時間多，每個環(huán)節(jié)的銜接要流暢，才能在課堂上完成，所以本節(jié)課要提前發(fā)放導(dǎo)學(xué)案，才能順利完成課堂教學(xué)任務(wù).8