江蘇省南通市高三第二次調(diào)研測(cè)試 數(shù)學(xué)試題及答案

南通市2015屆高三第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案及評(píng)分建議一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上1 命題“，”的否定是“ ”【答案】，2 設(shè)(為虛數(shù)單位，)，則的值為 【答案】03 設(shè)集合，則 I 1While I < 7 S 2 I + 1 I I + 2End WhilePrint S（第4題）【答案】4 執(zhí)行如圖所示的偽代碼，則輸出的結(jié)果為 【答案】115 一種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量(單位：t/hm2) 如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，則該組數(shù)據(jù)的方差為 【答案】0.026 若函數(shù)的圖象與軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，則實(shí)數(shù)的值 為 【答案】7 在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線在(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線與直線 垂直，則實(shí)數(shù)的值為 【答案】AA1B不C不B1不C1不D1不D不（第8題）8 如圖，在長(zhǎng)方體中，3 cm，2 cm，1 cm，則三棱錐 的體積為 cm3【答案】19 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為4，公差為2，前項(xiàng)和為 若()，則的值為 【答案】710設(shè)()是上的單調(diào)增函數(shù)，則的值為 【答案】611在平行四邊形中，則線段的長(zhǎng)為 BDC（第12題）A【答案】12如圖，在ABC中，點(diǎn)在邊上，45，則的值為 【答案】13設(shè)，均為大于1的實(shí)數(shù)，且為和的等比中項(xiàng)，則的最小值為 【答案】14在平面直角坐標(biāo)系中，圓：，圓：若圓上存在一點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)可作一條射線與圓依次交于點(diǎn)，滿足，則半徑r的取值范圍是 【答案】二、解答題：本大題共6小題，共90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答. 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15（本小題滿分14分）ABCDMNQ（第15題）如圖，在四面體中，平面平面，90，分別為棱，的中點(diǎn) （1）求證：平面； （2）求證：平面平面證明：（1）因?yàn)?，分別為棱，的中點(diǎn)， 所以， 2分 又平面，平面， 故平面 6分 （2）因?yàn)椋謩e為棱，的中點(diǎn)，所以， 又，故 8分 因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?且平面， 所以平面 11分又平面， 平面平面 14分 （注：若使用真命題“如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面”證明“平面”，扣1分）16（本小題滿分14分）體育測(cè)試成績(jī)分為四個(gè)等級(jí)：優(yōu)、良、中、不及格某班50名學(xué)生參加測(cè)試的結(jié)果如下：等級(jí)優(yōu)良中不及格人數(shù)519233（1）從該班任意抽取1名學(xué)生，求這名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?yōu)椤傲肌被颉爸小钡母怕?；?）測(cè)試成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”的3名男生記為，2名女生記為，現(xiàn)從這5人中 任選2人參加學(xué)校的某項(xiàng)體育比賽 寫出所有等可能的基本事件； 求參賽學(xué)生中恰有1名女生的概率解：（1）記“測(cè)試成績(jī)?yōu)榱蓟蛑小睘槭录?，“測(cè)試成績(jī)?yōu)榱肌睘槭录皽y(cè)試成績(jī)?yōu)橹小?為事件，事件，是互斥的. 2分 由已知，有 4分 因?yàn)楫?dāng)事件，之一發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生， 所以由互斥事件的概率公式，得 6分 （2） 有10個(gè)基本事件：， ， 9分 記“參賽學(xué)生中恰好有1名女生”為事件在上述等可能的10個(gè)基本事件中， 事件包含了， 故所求的概率為 答：（1）這名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?yōu)椤傲肌被颉爸小钡母怕蕿椋?（2）參賽學(xué)生中恰有1名女生的概率為 14分（注：不指明互斥事件扣1分；不記事件扣1分，不重復(fù)扣分；不答扣1分事件包含的6種基本事件不枚舉、運(yùn)算結(jié)果未化簡(jiǎn)本次閱卷不扣分）17（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量(1，0)，(0，2).設(shè)向量()，其中. （1）若，求xy的值；（2）若xy，求實(shí)數(shù)的最大值，并求取最大值時(shí)的值. 解：（1）（方法1）當(dāng)，時(shí)，()， 2分 則 6分 （方法2）依題意， 2分 則 6分 （2）依題意， 因?yàn)閤y， 所以， 整理得， 9分 令， 則 . 11分 令，得或， 又，故.0極小值 列表： 故當(dāng)時(shí)，此時(shí)實(shí)數(shù)取最大值. 14分 （注：第（2）小問(wèn)中，得到，及與的等式，各1分）18（本小題滿分16分）xyOPAF（第18題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為.為橢圓上一點(diǎn)，且.（1）若，求的值；（2）若，求橢圓的離心率；（3）求證：以為圓心，為半徑的圓與橢圓的 右準(zhǔn)線相切.解：（1）因?yàn)?，所以，即?由得，即, 3分 又， 所以，解得或(舍去) 5分 （2）當(dāng)時(shí),， 由得，即，故， 8分 所以，解得（負(fù)值已舍） 10分 （3）依題意，橢圓右焦點(diǎn)到直線的距離為，且， 由得，,即, 由得， 解得或(舍去). 13分 所以 ， 所以以為圓心，為半徑的圓與右準(zhǔn)線相切. 16分 （注：第（2）小問(wèn)中，得到橢圓右焦點(diǎn)到直線的距離為，得1分；直接使用焦半 徑公式扣1分）19（本小題滿分16分）設(shè)，函數(shù) （1）若為奇函數(shù)，求的值； （2）若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍； （3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)解：（1）若為奇函數(shù)，則， 令得，即， 所以，此時(shí)為奇函數(shù) 4分（2）因?yàn)閷?duì)任意的，恒成立，所以 當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，恒成立，所以； 6分 當(dāng)時(shí)，易得在上是單調(diào)增函數(shù)，在上 是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，解得，所以； 當(dāng)時(shí)，解得，所以a不存在； 當(dāng)時(shí)，解得， 所以； 綜上得，或 10分（3）設(shè)， 令則，第一步，令， 所以，當(dāng)時(shí)，判別式， 解得，； 當(dāng)時(shí)，由得，即， 解得； 第二步，易得，且， 若，其中， 當(dāng)時(shí)，記，因?yàn)閷?duì)稱軸， ，且，所以方程有2個(gè)不同的實(shí)根； 當(dāng)時(shí)，記，因?yàn)閷?duì)稱軸， ，且，所以方程有1個(gè)實(shí)根， 從而方程有3個(gè)不同的實(shí)根； 若，其中， 由知，方程有3個(gè)不同的實(shí)根； 若， 當(dāng)時(shí)，記，因?yàn)閷?duì)稱軸， ，且，所以方程有1個(gè)實(shí)根； 當(dāng)時(shí)，記，因?yàn)閷?duì)稱軸， ，且， ， 14分 記，則， 故為上增函數(shù)，且， 所以有唯一解，不妨記為，且， 若，即，方程有0個(gè)實(shí)根； 若，即，方程有1個(gè)實(shí)根； 若，即，方程有2個(gè)實(shí)根， 所以，當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)根； 當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)根； 當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)根 綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為8； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9 16分（注：第（1）小問(wèn)中，求得后不驗(yàn)證為奇函數(shù)，不扣分；第（2）小問(wèn)中利用分離參數(shù)法參照參考答案給分；第（3）小問(wèn)中使用數(shù)形結(jié)合，但缺少代數(shù)過(guò)程的只給結(jié)果分）20（本小題滿分16分）設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為()的等比數(shù)列記（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）已知數(shù)列的前4項(xiàng)分別為4，10，19，34 求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； 是否存在元素均為正整數(shù)的集合，(，)，使得數(shù)列 ，為等差數(shù)列？證明你的結(jié)論解：（1）證明：依題意， ， 3分 從而，又， 所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列 5分 （2） 法1：由（1）得，等比數(shù)列的前3項(xiàng)為， 則， 解得，從而， 7分 且 解得， 所以， 10分 法2：依題意，得 7分 消去，得 消去，得 消去，得， 從而可解得， 所以， 10分 假設(shè)存在滿足題意的集合，不妨設(shè)，且， ，成等差數(shù)列， 則， 因?yàn)?，所以?若，則， 結(jié)合得， 化簡(jiǎn)得， 因?yàn)?，不難知，這與矛盾， 所以只能， 同理， 所以，為數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，從而， 即， 故，只能，這與矛盾， 所以假設(shè)不成立，從而不存在滿足題意的集合 16分（注：第（2）小問(wèn)中，在正確解答的基礎(chǔ)上，寫出結(jié)論“不存在”，就給1分）南通市2015屆高三第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)（附加題）A選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）BACPO（第21 - A題）如圖，從圓外一點(diǎn)引圓的切線及割線，為切點(diǎn) 求證：證明：因?yàn)镻C為圓的切線， 所以， 3分 又， 故， 7分 所以， 即 10分B選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）設(shè)是矩陣的一個(gè)特征向量，求實(shí)數(shù)的值解：設(shè)是矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量， 則， 5分 故解得 10分C選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在極坐標(biāo)系中，設(shè)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的極坐標(biāo) 解：（方法1）將直線化為普通方程得， 將曲線化為普通方程得，, 4分 聯(lián)立并消去得， 解得， 所以AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為， 8分 化為極坐標(biāo)為 10分 （方法2）聯(lián)立直線與曲線的方程組 2分 消去，得， 解得， 6分 所以線段中點(diǎn)的極坐標(biāo)為，即 10分 （注：將線段中點(diǎn)的極坐標(biāo)寫成的不扣分）D選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分） 設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，求證：證明：由柯西不等式，得， 6分 因?yàn)椋?故， 8分 當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取“” 10分 【必做題】第22、23題，每小題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出 文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22（本小題滿分10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在拋物線上 （1）求，的值；（2）過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，為垂足，直線與拋物線的另一交點(diǎn)為，點(diǎn)在直線B （第22題）yxOACPM 上若，的斜率分別為，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)解：（1）將點(diǎn)代入， 得， 2分 將點(diǎn)代入，得， 因?yàn)?，所?4分 （2）依題意，的坐標(biāo)為， 直線的方程為， 聯(lián)立并解得， 6分 所以， 代入得， 8分 從而直線的方程為， 聯(lián)立并解得 10分23（本小題滿分10分）設(shè)A，B均為非空集合，且AB，AB，(3，)記A，B中元素的個(gè)數(shù)分別為a，b，所有滿足“aB，且b”的集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)為 （1）求a3，a4的值； （2）求解：（1）當(dāng)3時(shí)，AB1，2，3，且AB， 若a1，b2，則1，2，共種； 若a2，b1，則2，1，共種，0極小值 所以a3； 2分 當(dāng)4時(shí)，AB1，2，3，4，且AB， 若a1，b3，則1，3，共種； 若a2，b2，則2，2，這與AB矛盾； 若a3，b1，則3，1，共種， 所以a4 4分 （2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，AB1，2，3，n，且AB， 若a1，b，則1，共（考慮）種； 若a2，b，則2，共（考慮）種； 若a，b，則，共（考慮）種；若a，b，則，這與AB矛盾；若a，b，則，共（考慮）種； 若a，b，則，1，共（考慮）種， 所以an； 8分 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，同理得，an， 綜上得， 10分23