解析幾何：二次曲線的一般理論.ppt

解析幾何,第五章 二次曲線的一般理論,在平面上，由二元二次方程,所表示的曲線，叫做二次曲線。在這一章里，我們將討論二次曲線的幾何性質(zhì)，以及二次曲線的化簡(jiǎn)，最后對(duì)二次曲線進(jìn)行分類。,二次曲線的一般理論,為了方便起見(jiàn)，特引進(jìn)一些記號(hào)：,二次曲線與直線的相關(guān)位置,討論二次曲線,與直線,的交點(diǎn)，可以采用把直線方程（2）代入曲線方程（1）然后討論關(guān)于t的方程,（1）,（2）,（3）,（4）,對(duì)（3）或（4）可分以下幾種情況來(lái)討論：,二次曲線的漸近方向,定義滿足條件(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲線的漸近方向，否則叫做非漸近方向.,定義 沒(méi)有實(shí)漸近方向的二次曲線叫做橢圓型的，有一個(gè)實(shí)漸近方向的二次曲線叫做拋物線型的，有兩個(gè)實(shí)漸近方向的二次曲線叫做雙曲型的.,1)橢圓型：I20 2)拋物型： I20 3)雙曲型： I20,二次曲線的中心與漸近線,定義 如果點(diǎn)C是二次曲線的通過(guò)它的所有弦的中點(diǎn)(C是二次曲線的對(duì)稱中心)，那么點(diǎn)C叫做二次曲線的中心.,定理 點(diǎn)C(x0 ,y0)是二次曲線(1)的中心，其充要條件是：,推論 坐標(biāo)原點(diǎn)是二次曲線的中心，其充要條件是曲線方程里不含x與y的一次項(xiàng).,二次曲線(1)的的中心坐標(biāo)由下方程組決定：,如果I20，則(5.22)有唯一解，即為唯一中心坐標(biāo),如果I20，分兩種情況：,定義1 有唯一中心的二次曲線叫中心二次曲線，沒(méi)有中心的二次曲線叫無(wú)心二次曲線，有一條中心直線的二次曲線叫線心二次曲線，無(wú)心二次曲線和線心二次曲線統(tǒng)稱為非中心二次曲線.,定義2 通過(guò)二次曲線的中心，而且以漸近方向?yàn)榉较虻闹本€叫做二次曲線的漸近線.,定理 二次曲線的漸近線與這二次曲線或者沒(méi)有交點(diǎn)，或者整條直線在這二次曲線上成為二次曲線的組成部分.,二次曲線的切線,定義1 如果直線與二次曲線相交于相互重合的兩個(gè)點(diǎn)，那么這條直線就叫做二次曲線的切線，這個(gè)重合的交點(diǎn)叫做切點(diǎn)，如果直線全部在二次曲線上，我們也稱它為二次曲線的切線，直線上的每個(gè)點(diǎn)都可以看作切點(diǎn).,定義2 二次曲線(1)上滿足條件F1(x0,y0)=0 F2(x0,y0)=0的點(diǎn)(x0,y0)叫做二次曲線的奇異點(diǎn)，簡(jiǎn)稱奇點(diǎn)；二次曲線的非奇異點(diǎn)叫做二次曲線的正常點(diǎn).,定理1 如果(x0,y0)是二次曲線(1)的正常點(diǎn)，那么通過(guò)(x0,y0)的切線方程是 (x-x0)F1(x0,y0)+(y-y0)F2(x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切點(diǎn). 如果(x0,y0)是二次曲線(1)的奇異點(diǎn)，那么通過(guò)(x0,y0)的切線不確定，或者說(shuō)過(guò)點(diǎn)(x0,y0)的每一條直線都是二次曲線(1)的切線.,推論 如果(x0,y0)是二次曲線(1)的正常點(diǎn)，那么通過(guò)(x0,y0)的切線方程是：,例1 求二次曲線x2-xy+y2+2x-4y-3=0在點(diǎn)(2,1)的切線方程,解：因?yàn)镕(2,1)=4-2+1+4-4-3=0, 且 F1(2,1)=5/20, F 2 (2,1)=-2 0 所以(2,1)是二次曲線上的正常點(diǎn)，因此得在 點(diǎn)(2,1)的切線方程為： 5/2 (x-2)-2(y-1)=0 即：5x-4y-6=0,二次曲線的直徑,定理1 二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)軌跡是一條直線.,定義 二次曲線的平行弦中點(diǎn)軌跡叫做這個(gè)二次曲線的直徑，它所對(duì)應(yīng)的平行弦，叫做共軛于這條直徑的共軛弦；而直徑也叫做共軛于平行弦方向的直徑.,推論 二次曲線的一族平行弦的斜率為k，那么共軛于這族平行弦直徑方程為 F1(x,y)+kF2(x,y)=0,定理 2 中心二次曲線的直徑通過(guò)曲線的中心，無(wú)心二次曲線的直徑平行于曲線的漸近方向，線心二次曲線的直徑只有一條，即曲線的中心直線,共軛方向與共軛直徑,中心二次曲線的非漸近方向的共軛方向仍然是非漸近方向，而在非中心二次曲線的情形是漸近方向.,定義 中心曲線的一對(duì)具有相互共軛方向的直徑叫做一對(duì)共軛直徑.,定義1 二次曲線的垂直于其共軛弦的直徑叫做二次曲線的主直徑，主直徑的方向與垂直于主直徑的方向都叫做二次曲線的主方向 顯然，主直徑是二次曲線的對(duì)稱軸，因此主直徑也叫做二次曲線的軸，軸與曲線的交點(diǎn)叫做曲線的頂點(diǎn),二次曲線的主直徑與主方向,主方向與主直徑的求法,二次曲線方程的化簡(jiǎn)與分類,1.平面直角坐標(biāo)變換,為轉(zhuǎn)軸公式，其中為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角.,二次曲線方程的化簡(jiǎn)和分類,定理1 適當(dāng)選取坐標(biāo)系，二次曲線的方程總可以化成下列三個(gè)簡(jiǎn)化方程中的一個(gè)：,定理2 通過(guò)適當(dāng)選取坐標(biāo)系，二次曲線的方程總可以寫成下面九種標(biāo)準(zhǔn)方程的一種形式：,本章學(xué)習(xí)結(jié)束,謝謝大家,