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天津市七校高三4月聯(lián)考 理科數(shù)學(xué)試題及答案

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天津市七校高三4月聯(lián)考 理科數(shù)學(xué)試題及答案

學(xué)校_ 班 級_ 姓 名_ 考 號_ 座位號_-密-封-線-七校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)(理)試卷 2015.04.1、 選擇題(每題5分,共8道)1、設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+i,z2=2+bi,若為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)b=()A. -2 B.2 C.-1 D.12、不等式組表示的平面區(qū)域是()3、已知, ,則() A. a> b> c B. a> c> b C. c> a> b D. c> b> a4、閱讀如下程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為()A.7 B.9 C.10 D.115、已知雙曲線C的離心率為2,焦點(diǎn)為,點(diǎn)A在C上.若|=2|,則cos=()A. B. C. D.6、已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示,則四棱錐P-ABCD的四個(gè)側(cè)面中的最大面積是() A.3 B.8 C. D.6;7、已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足,若存在兩項(xiàng),使得,則的最小值為()A. B. C. D.不存在8、已知定義在R上的函數(shù)y=f(x) 對于任意的x都滿足f(x+1) =-f(x), 當(dāng)-1x< 1時(shí), , 若函數(shù)至少有6個(gè)零點(diǎn), 則a的取值范圍是() A.(5, +)B.5, +)C. (5,7)D.5,7)二、填空題(每題5分,共6道)9、某地區(qū)有小學(xué)150所,中學(xué)75所,大學(xué)25所。現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取60所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查,應(yīng)從小學(xué)中抽取 所學(xué)校,中學(xué)中抽取 所學(xué)校.10、如圖,在圓O中,直徑AB與弦CD垂直,垂足為E,EFDB,垂足為F,若AB=6,AE=1,則DFDB=_.11、若,則二項(xiàng)式 的展開式中常數(shù)項(xiàng)是_.12、已知直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為,則直線被圓所截得的弦長等于 .13、已知,當(dāng)“x” 是“x”的充分不必要條件,則的取值范圍是 .14、在的邊、上分別取、,使,與交于點(diǎn),若,則 .三、解答題15、(13分)已知ABC的內(nèi)角為A、B、C, 其對邊分別為a、b、c, B為銳角, 向量, 且.(1) 求角B的大小; (2) 如果b=2, 求SABC的最大值. 16、(13分)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物.我國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級;在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級;在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).某市環(huán)保局從該市市區(qū)2011年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測值如莖葉圖所示(十位為莖,個(gè)位為葉).(1)從這15天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取三天,求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率;(2)從這15天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù),記表示抽取PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù),求的分布列;(3)以這15天的PM2.5日均值來估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況,則一年(按360天計(jì)算)中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級?PM2.5日均值(微克/立方米)285371434456387986392517、(13分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD底面ABCD,側(cè)棱PA=PD=,PAPD,底面ABCD為直角梯形,其中BCAD,ABAD,AB=BC=1,O為AD中點(diǎn).(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值;(2)求B點(diǎn)到平面PCD的距離;(3)線段PD上是否存在一點(diǎn)Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.18、(13分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)設(shè),數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn,求使不等式Tn>對一切nN*都成立的最大正整數(shù)k的值;(3)設(shè),是否存在mN*,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.19、(14分)橢圓E:(a>b>0)的焦點(diǎn)到直線x-3y=0的距離為,離心率為;拋物線G:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與橢圓E的焦點(diǎn)重合;斜率為k的直線l過G的焦點(diǎn),與E交于A,B,與G交于C,D.(1)求橢圓E及拋物線G的方程;(2)是否存在常數(shù),使為常數(shù),若存在,求出的值,若不存在,請說明理由.20、(14分)已知函數(shù)f(x) =elnx, g(x) =lnx-x-1, h(x) =x2. (1) 求函數(shù)g(x) 的極大值; (2) 求證: 存在x0(1, +), 使g(x0) =g; (3) 對于函數(shù)f(x) 與h(x) 定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x, 若存在常數(shù)k, b, 使得f(x) k x+b和h(x) k x+b都成立, 則稱直線y=k x+b為函數(shù)f(x) 與h(x) 的分界線. 試探究函數(shù)f(x) 與h(x) 是否存在“分界線”? 若存在, 請給予證明, 并求出k, b的值; 若不存在, 請說明理由. 高三年級七校聯(lián)考 理科數(shù)學(xué) 答案(2015.4)一、選擇題:題號12345678答案ABCBADAA二、填空題:9、36,18 10、5 11、 12、4 13、 14、12三、解答題: 15、解析(1)/(為銳角)(2)由 得 ,. 即的最大值為.16、解析 (1)記“從15天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取三天,恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級”為事件, (4分)(2)依據(jù)條件,服從超幾何分布:其中,的可能值為0,1,2,3,(0,1,2,3) (7分)其分布列為:0123 (10分)(3)依題意可知,一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級的概率為(11分)設(shè)一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級的天數(shù)為,則.,一年中平均有240天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級.(13分)17、解析(1)在中, ,為中點(diǎn),所以,又側(cè)面底面,平面平面,平面,所以平面.又在直角梯形中,連結(jié),易得,所以以為坐標(biāo)原點(diǎn),直線為軸,直線為軸,直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則 ,易證平面,是平面的法向量,.直線與平面所成角的余弦值為.(2),設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,取,得.點(diǎn)到平面的距離.(3)存在.設(shè)(),,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,取,得.又平面的一個(gè)法向量為,二面角的余弦值為,得,解得或(舍),存在點(diǎn),使得二面角的余弦值為,且.18、解析(1)設(shè)、的公共焦點(diǎn)為,由題意得,故,.(2分)橢圓:,拋物線:.(4分)(2)存在.設(shè),.直線的方程為,與橢圓的方程聯(lián)立得化簡得,., (6分) (7分).直線的方程為與拋物線的方程聯(lián)立得化簡得, (9分). (11分),要使為常數(shù),則,得,故存在,使為常數(shù). (14分)19、解析(1)當(dāng)時(shí),(1分)當(dāng)時(shí), (2分)而當(dāng)時(shí), (). (4分)(2), .(7分),單調(diào)遞增,. (8分)令,得,所以. (10分)(3)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為偶數(shù),. (12分)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),為奇數(shù), (舍去)綜上,存在唯一正整數(shù),使得成立. (14分)20、解析(1)(). (1分)令,解得;令,解得. (2分)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. (3分)的極大值為 (4分)(2)由(1)知在上單調(diào)遞減,令,則在上單調(diào)遞減., (5分)取,則.(6分)故存在,使,即存在,使.(7分)(說明: 的取法不唯一, 只要滿足, 且即可)(3)設(shè)(), 則,當(dāng)時(shí), , 函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.是函數(shù)的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn),即.函數(shù)與的圖象在處有公共點(diǎn). (9分)設(shè)與存在“分界線”且其方程為,令函數(shù),由,得在上恒成立,即在上恒成立,即,故. (11分)下面說明:,即()恒成立.設(shè),則.當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí),取得最大值,.()恒成立. (13分)綜合知,且,故函數(shù)與存在“分界線”, 且,. (14分)、 理科數(shù)學(xué)試卷第 17 頁(共20 頁) 理科數(shù)學(xué)試卷第 18 頁(共20頁)

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