【教學論文】探求以空間圖形為背景的軌跡問題【教師職稱評定】

探求以空間圖形為背景的軌跡問題的常用方 江西省灰埠中學 朱 英 近幾年的高考數(shù)學試題，設(shè)置了一些數(shù)學學科內(nèi)的綜合題，它們的新穎性、綜合性，值得我們重視。在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題是高考考試命題的一個方向，空間軌跡問題正是在這種背景下“閃亮登場”(如2004年重慶高考理科數(shù)學試卷第12題)。由于這類題目涵蓋的知識點多，數(shù)學思想和方法考查充分，學生求解起來頗感困難，考試時經(jīng)常棄而不答，令人惋惜。 探求空間軌跡問題，要善于把立體幾何問題轉(zhuǎn)化到平面上，再聯(lián)合運用平面幾何、立體幾何、空間向量、解析幾何等知識去求解，實現(xiàn)立體幾何到解析幾何的過渡。本文通過幾道典型例題的分析，尋求空間軌跡問題的探求方法。 一、聯(lián)想圓的定義AOP 例1 已知平面平面，平面、間的距離為8，點P在平面內(nèi)，則在平面內(nèi)到點P的距離為10的點的軌跡是 A A.一個圓 B.一條直線 C.一個點 D.不存在 解：過點P作平面的垂線，設(shè)垂足為O， 則PO=8，又設(shè)平面內(nèi)一點A到點P的距離為10，連PA、OA，BCDAC1B1A1D1P2P1PP3P6P4P5 則在PAO中，由勾股定理可得OA=6?？芍狝點的軌跡為圓，故選A。 練習1 已知正方體的棱長為1，在正方體的表面上與點A距離為的點的集合形成一條曲線，則該曲線的長度為 B A. B. C. D. 提示：當點P在上底面時，連AP、A1P，在直角APA1中，求得PA1=，即弧P1P2的長。同理左側(cè)面的弧P5P6、后側(cè)面的弧P3P4的長也為；當點P在前側(cè)面時，弧P1P6的半徑為，因為直角A1P1A中，直角邊A1P1的長為斜邊P1A的一半，所以弧P1P6的圓心角為，從而弧P1P6的長為。同理右側(cè)面的弧P2P3的長與下底面的弧P4P3的長的長也為。故曲線的總長度為。因此選B。 二、聯(lián)想到拋物線的定義 例2 已知正方體的棱長為1，點M在棱AB上，且AM=，點P是平面ABCD內(nèi)的動點，且點P到直線的距離的平方與點P到點M的距離的平方之差為1，則P點的軌跡為 A A.拋物線弧 B.雙曲線弧CDABD1C1B1A1EFPM C.線段 D.以上都不對 解：過P作PF垂直AD于F，則PF垂直平面ADD1A1，過點F作FE垂直A1D1于E，連PE，則PE為點P到直線A1D1的距離，由已知，即，得， PF=PM，故P點的軌跡是以M為焦點，以AD為準線的拋物線，故選A。 練習2 在正方體的側(cè)面ABB1A1內(nèi)有一點P到直線AB與到直線B1C1的距離相等，則動點P所在曲線的形狀為 C A.直線 B.雙曲線C1D1A1B1DCBAP C.拋物線 D.圓 提示：因為B1C1垂直于平面ABB1A1，所以PB1為點P到直線B1C1的距離，于是問題轉(zhuǎn)化為在平面ABB1A1內(nèi)，點P到定點B1的距離與點P到定直線AB的距離相等。故根據(jù)拋物線的定義可知選答案C。 三、聯(lián)想到球面的定義 例3 已知棱長為3的正方體中， 長為2的線段的一個端點在上運 動，另一個端點在底面上運動。則 的中點P的軌跡與正方體的面所圍成的幾 何體的體積為 B DCPABD1C1B1A1 A. B. C. D. 解：由題意可知，是直角三角形， 點為斜邊的中點， 。 故點的軌跡是以為圓心，1為半徑的球面位于正方體內(nèi)的部分，該部分球面與正方體圍成的幾何體是球的八分之一，故選B。 四、利用向量工具 例4 一定長線段AB的兩個端點A、B沿互相垂直的兩條異面直線、運動，求它的中點的軌跡。 解：設(shè)MN為、的公垂線段，連結(jié)AM、BN，設(shè)MN、AB的中點分別為O、P，則 ， 所以， 即P點必在MN的垂直平分面上。 因為異面直線、互相垂直，所以 。 所以P點在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上。 故P點的軌跡是MN的垂直平分面內(nèi)的一個圓。 另解：設(shè)MN為、的公垂線段，則MN與、兩兩垂直。如圖，以N點為原點，直線為軸，直線NM為軸，以過點N所作直線的平行線為軸，建立空間直角坐標系。 設(shè)， 則， P點坐標為，其中橫坐標和縱坐標為變量，中有豎坐標為常量。 即P點必在MN的垂直平分面上。 取MN的中點O，則， 所以P點在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上。 故P點的軌跡是MN的垂直平分面內(nèi)的一個圓。 評注：求空間動點的軌跡，按立體幾何的傳統(tǒng)方法幾乎無從著手，空間向量巧妙地解決了這一問題。 五、利用線與面、面與面的關(guān)系 例5(見例4) 解：設(shè)MN為異面直線、的公垂線段，連BN，分別取MN、BM、AB的中點O、Q、P，連OP、PQ、OQ，則由已知異面直線、互相垂直不難證得OPQ為直角三角形。也不難證明OQ、PQ都與、平行，從而平面OPQ與平面平行?？芍cP在公垂線段MN的垂直平分面內(nèi)。因為為定值。故P點的軌跡是MN的垂直平分面內(nèi)的一個圓。 六、利用特殊點定位 例6 如圖所示，在正四棱錐S-ABCD中，E為BC的中點，點P在側(cè)面SCD內(nèi)及其邊界上運動，且總保持PEAC。求動點P的軌跡。 解：當點P在CD邊上時，SCPGFODBAE 由PEAC及BDAC可知， 此時，P為CD的中點F； 當點P在SC邊上時， 由PEAC及SBAC可知， 此時，P為SC的中點G。 于是猜想P點的軌跡是SCD的CD和CS邊上的中位線FG。 證明如下：因為FEAC， GEAC，所以AC平面EFG，得到ACFG。 故P點的軌跡是SCD的CD和CS邊上的中位線FG。 練習3 如圖所示，在三棱錐A-BCD中，P為CD的中點，動點M在ABD內(nèi)部及邊界上運動，PMRQADBC且總保持PM平面ABC。求動點M的軌跡。 提示：當點M在BD邊上時， 由PM平面ABC可得PMBC， 此時點M是BD邊的中點Q， 當動點M在AD邊上時， 同理可得PMAC，此時點M是AD邊的中點R。 于是猜想動點M的軌跡為中位線RQ。證明留給讀者。 最后以2004年重慶高考理科數(shù)學試卷第12題及解答結(jié)束本文 題：若三棱錐A-BCD側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動點P的軌跡與ABC組成的圖形是( D )AAABACPDADBCEPFO 解答：由題意作出如右圖所示的三棱錐A-BCD，過P作PO平面BCD，PEAB于E，PFBC于F，連OF。 PO=PE，PF>PO, PF>PE,即點P總在ABC平分線的上方。 而 至此可猜想P點的軌跡是直線，可選D。 證明如下：BPEFAC 建立如右圖所示的直角坐標系，設(shè)，則AB的所在直線方程為，即 ，設(shè) 。得 化簡得 或 (舍去， 此直線的斜率比大)。 P點的軌跡是直線 第 6 頁