SPSS數(shù)據(jù)分析教程-13-主成分分析與因子分析-sp.ppt

第13章 主成分分析與因子分析,介紹： 1、主成分分析與因子分析的概念 2、主成分分析與因子分析的過程,主成分分析與因子分析的概念,需要與可能：在各個(gè)領(lǐng)域的科學(xué)研究中，往往需要對(duì)反映事物的多個(gè)變量進(jìn)行大量的觀測(cè)，收集大量數(shù)據(jù)以便進(jìn)行分析尋找規(guī)律。多變量大樣本無疑會(huì)為科學(xué)研究提供豐富的信息，但也在一定程度上增加了數(shù)據(jù)采集的工作量，更重要的是在大多數(shù)情況下，許多變量之間可能存在相關(guān)性而增加了問題分析的復(fù)雜性，同時(shí)對(duì)分析帶來不便。如果分別分析每個(gè)指標(biāo)，分析又可能是孤立的，而不是綜合的。盲目減少指標(biāo)會(huì)損失很多信息，容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)論。因此需要找到一個(gè)合理的方法，減少分析指標(biāo)的同時(shí)，盡量減少原指標(biāo)包含信息的損失，對(duì)所收集的資料作全面的分析。由于各變量間存在一定的相關(guān)關(guān)系，因此有可能用較少的綜合指標(biāo)分別綜合存在于各變量中的各類信息。主成分分析與因子分析就是這樣一種降維的方法。 主成分分析與因子分析是將多個(gè)實(shí)測(cè)變量轉(zhuǎn)換為少數(shù)幾個(gè)不相關(guān)的綜合指標(biāo)的多元統(tǒng)計(jì)分析方法 直線綜合指標(biāo)往往是不能直接觀測(cè)到的，但它更能反映事物的本質(zhì)。因此在醫(yī)學(xué)、心理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域以及社會(huì)化生產(chǎn)中得到廣泛的應(yīng)用。,主成分分析與因子分析的概念（續(xù)）,由于實(shí)測(cè)的變量間存在一定的相關(guān)關(guān)系，因此有可能用較少數(shù)的綜合指標(biāo)分別綜合存在于各變量中的各類信息，而綜合指標(biāo)之間彼此不相關(guān)，即各指標(biāo)代表的信息不重疊。綜合指標(biāo)稱為因子或主成分（提取幾個(gè)因子），一般有兩種方法： 特征值1 累計(jì)貢獻(xiàn)率0.8,主成分分析實(shí)例P316不旋轉(zhuǎn),使用默認(rèn)值進(jìn)行最簡(jiǎn)單的主成分分析(默認(rèn)為主成分分析法:Principal components) 例子P316：對(duì)美國(guó)洛杉磯12個(gè)人口調(diào)查區(qū)的5個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)變量的數(shù)據(jù)進(jìn)行因子分析，data13-01a，數(shù)據(jù)見下一張幻燈片） 菜單：AnalyzeData ReductionFactor Variables ：pop，School，employ，Services， house 其他使用默認(rèn)值（主成分分析法Principal components，選取特征值1，不旋轉(zhuǎn)) 比較有用的結(jié)果：兩個(gè)主成分(因子)f1,f2及因子載荷矩陣(Component Matrix)，根據(jù)該表可以寫出每個(gè)原始變量（標(biāo)準(zhǔn)化值）的因子表達(dá)式： Pop0.581f1 + 0.806f2 School 0.767f1 - 0.545f2 employ 0.672f1 + 0.726f2 Services 0.932f1 - 0.104f2 house 0.791f1 - 0.558f2 每個(gè)原始變量都可以是5個(gè)因子的線性組合，提取兩個(gè)因子f1和f2，可以概括原始變量所包含信息的93.4%。 f1和f2前的系數(shù)表示該因子對(duì)變量的影響程度，也稱為變量在因子上的載荷。 但每個(gè)因子（主成分）的系數(shù)(載荷)沒有很明顯的差別，所以不好命名。因此為了對(duì)因子進(jìn)行命名，可以進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使系數(shù)向0和1兩極分化，這就要使用選擇項(xiàng)。,洛衫磯對(duì)12個(gè)人口調(diào)查區(qū)的數(shù)據(jù),編號(hào) 總?cè)丝?中等學(xué)校平均 總雇員數(shù) 專業(yè)服務(wù) 中等房?jī)r(jià) no pop 校齡School employ 項(xiàng)目數(shù)Services house 1 5700 12.8 2500 270 25000 2 1000 10.9 600 10 10000 3 3400 8.8 1000 10 9000 4 3800 13.6 1700 140 25000 5 4000 12.8 1600 140 25000 6 8200 8.3 2600 60 12000 7 1200 11.4 400 10 16000 8 9100 11.5 3300 60 14000 9 9900 12.5 3400 180 18000 10 9600 13.7 3600 390 25000 11 9600 9.6 3300 80 12000 12 9400 11.4 4000 100 13000,因子分析實(shí)例322旋轉(zhuǎn)Rotation,由于系數(shù)沒有很明顯的差別,所以要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)(Rotation：method一般用Varimax方差最大旋轉(zhuǎn)),使系數(shù)向0和1兩極分化, 例子同上 菜單：AnalyzeData ReductionFactor Variables ：pop，School，employ，Services， house Extraction：使用默認(rèn)值（ method：Principal components，選取特征值1） Rotation：method選Varimax Score:Save as variables 和Display factor score Coefficient matrix 比較有用的結(jié)果：兩個(gè)主成分(因子)f1,f2及旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣(Rotated Component Matrix) ，根據(jù)該表可以寫出每個(gè)原始變量（標(biāo)準(zhǔn)化值）的因子表達(dá)式： Pop 0.01602 f1 + 0.9946f2 School 0 .941f1 - 0.00882f2 employ 0.137f1 + 0.98f2 Services 0.825f1 +0.447f2 house 0.968f1 - 0.00605f2 第一主因子對(duì)中等學(xué)校平均校齡,專業(yè)服務(wù)項(xiàng)目,中等房?jī)r(jià)有絕對(duì)值較大的載荷(代表一般社會(huì)福利-福利條件因子); 而第二主因子對(duì)總?cè)丝诤涂偣蛦T數(shù)有較大的載荷(代表人口-人口因子). P326 比較有用的結(jié)果:因子得分fac1_1, fac2_1。其計(jì)算公式：因子得分系數(shù)和原始變量的標(biāo)準(zhǔn)化值的乘積之和（P326)。然后可以利用因子得分進(jìn)行聚類p327（Analyze-Classify-Hierarchical Cluster）。,主成分分析實(shí)例P330 不旋轉(zhuǎn) 市場(chǎng)研究中的顧客偏好分析,在市場(chǎng)研究中，常常要求分析顧客的偏好和當(dāng)前市場(chǎng)的產(chǎn)品與顧客偏好之間的差別，從而找出新產(chǎn)品開發(fā)的方向。顧客偏好分析時(shí)常用到主成分分析方法（因子沒有旋轉(zhuǎn)）。 例子P330：數(shù)據(jù)來自SAS公司，1980年一個(gè)汽車制造商在競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手中選擇了17種車型，訪問了25個(gè)顧客，要求他們根據(jù)自己的偏好對(duì)17種車型打分。打分范圍09.9， 9.9表示最高程度的偏好。data13-02a（1725：17個(gè)case，25個(gè)變量V1-V25） 菜單：AnalyzeData ReductionFactor Variables ：V1-V25 Extraction：method：Principal components Extract:Number of factors:3 要三個(gè)主成分 Score:Save as variables 比較有用的結(jié)果：3個(gè)主成分及其因子載荷矩陣(Component Matrix)：第一主成分和第二主成分的載荷圖（Loading plots） 比較有用的結(jié)果:因子得分fac1_1, fac2_1 , fac3_1。然后可以利用因子得分進(jìn)行各種分析：做偏好圖： 用fac1_1, fac2_1做散點(diǎn)圖（Graphs-Scatter：X- fac1_1 , Y- fac2_1）:第一主成分反映了車的產(chǎn)地，第二主成分反映了車的特性（質(zhì)量、動(dòng)力、座位數(shù)等） 具體見P332-334,補(bǔ)充：主成分分析和因子分析,以下的講義是吳喜之教授有關(guān)主成分分析和因子分析的講義，我覺得比書上講得清楚。,主成分分析和因子分析,匯報(bào)什么？,假定你是一個(gè)公司的財(cái)務(wù)經(jīng)理，掌握了公司的所有數(shù)據(jù)，比如固定資產(chǎn)、流動(dòng)資金、每一筆借貸的數(shù)額和期限、各種稅費(fèi)、工資支出、原料消耗、產(chǎn)值、利潤(rùn)、折舊、職工人數(shù)、職工的分工和教育程度等等。 如果讓你向上面介紹公司狀況，你能夠把這些指標(biāo)和數(shù)字都原封不動(dòng)地?cái)[出去嗎？ 當(dāng)然不能。 你必須要把各個(gè)方面作出高度概括，用一兩個(gè)指標(biāo)簡(jiǎn)單明了地把情況說清楚。,主成分分析,每個(gè)人都會(huì)遇到有很多變量的數(shù)據(jù)。 比如全國(guó)或各個(gè)地區(qū)的帶有許多經(jīng)濟(jì)和社會(huì)變量的數(shù)據(jù)；各個(gè)學(xué)校的研究、教學(xué)等各種變量的數(shù)據(jù)等等。 這些數(shù)據(jù)的共同特點(diǎn)是變量很多，在如此多的變量之中，有很多是相關(guān)的。人們希望能夠找出它們的少數(shù)“代表”來對(duì)它們進(jìn)行描述。 本章就介紹兩種把變量維數(shù)降低以便于描述、理解和分析的方法：主成分分析（principal component analysis）和因子分析（factor analysis）。實(shí)際上主成分分析可以說是因子分析的一個(gè)特例。在引進(jìn)主成分分析之前，先看下面的例子。,成績(jī)數(shù)據(jù)（student.sav）,100個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、語文、歷史、英語的成績(jī)?nèi)缦卤恚ú糠郑?從本例可能提出的問題,目前的問題是，能不能把這個(gè)數(shù)據(jù)的6個(gè)變量用一兩個(gè)綜合變量來表示呢？ 這一兩個(gè)綜合變量包含有多少原來的信息呢？ 能不能利用找到的綜合變量來對(duì)學(xué)生排序呢？這一類數(shù)據(jù)所涉及的問題可以推廣到對(duì)企業(yè)，對(duì)學(xué)校進(jìn)行分析、排序、判別和分類等問題。,主成分分析,例中的的數(shù)據(jù)點(diǎn)是六維的；也就是說，每個(gè)觀測(cè)值是6維空間中的一個(gè)點(diǎn)。我們希望把6維空間用低維空間表示。 先假定只有二維，即只有兩個(gè)變量，它們由橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)所代表；因此每個(gè)觀測(cè)值都有相應(yīng)于這兩個(gè)坐標(biāo)軸的兩個(gè)坐標(biāo)值；如果這些數(shù)據(jù)形成一個(gè)橢圓形狀的點(diǎn)陣（這在變量的二維正態(tài)的假定下是可能的） 那么這個(gè)橢圓有一個(gè)長(zhǎng)軸和一個(gè)短軸。在短軸方向上，數(shù)據(jù)變化很少；在極端的情況，短軸如果退化成一點(diǎn)，那只有在長(zhǎng)軸的方向才能夠解釋這些點(diǎn)的變化了；這樣，由二維到一維的降維就自然完成了。,主成分分析,當(dāng)坐標(biāo)軸和橢圓的長(zhǎng)短軸平行，那么代表長(zhǎng)軸的變量就描述了數(shù)據(jù)的主要變化，而代表短軸的變量就描述了數(shù)據(jù)的次要變化。 但是，坐標(biāo)軸通常并不和橢圓的長(zhǎng)短軸平行。因此，需要尋找橢圓的長(zhǎng)短軸，并進(jìn)行變換，使得新變量和橢圓的長(zhǎng)短軸平行。 如果長(zhǎng)軸變量代表了數(shù)據(jù)包含的大部分信息，就用該變量代替原先的兩個(gè)變量（舍去次要的一維），降維就完成了。 橢圓（球）的長(zhǎng)短軸相差得越大，降維也越有道理。,主成分分析,對(duì)于多維變量的情況和二維類似，也有高維的橢球，只不過無法直觀地看見罷了。 首先把高維橢球的主軸找出來，再用代表大多數(shù)數(shù)據(jù)信息的最長(zhǎng)的幾個(gè)軸作為新變量；這樣，主成分分析就基本完成了。 注意，和二維情況類似，高維橢球的主軸也是互相垂直的。這些互相正交的新變量是原先變量的線性組合，叫做主成分(principal component)。,主成分分析,正如二維橢圓有兩個(gè)主軸，三維橢球有三個(gè)主軸一樣，有幾個(gè)變量，就有幾個(gè)主成分。 選擇越少的主成分，降維就越好。什么是標(biāo)準(zhǔn)呢？那就是這些被選的主成分所代表的主軸的長(zhǎng)度之和占了主軸長(zhǎng)度總和的大部分。有些文獻(xiàn)建議，所選的主軸總長(zhǎng)度占所有主軸長(zhǎng)度之和的大約85%即可，其實(shí)，這只是一個(gè)大體的說法；具體選幾個(gè)，要看實(shí)際情況而定。,對(duì)于我們的數(shù)據(jù)，SPSS輸出為,這里的Initial Eigenvalues就是這里的六個(gè)主軸長(zhǎng)度，又稱特征值（數(shù)據(jù)相關(guān)陣的特征值）。頭兩個(gè)成分特征值累積占了總方差的81.142%。后面的特征值的貢獻(xiàn)越來越少。,特征值的貢獻(xiàn)還可以從SPSS的所謂碎石圖看出,怎么解釋這兩個(gè)主成分。前面說過主成分是原始六個(gè)變量的線性組合。是怎么樣的組合呢？SPSS可以輸出下面的表。,這里每一列代表一個(gè)主成分作為原來變量線性組合的系數(shù)（比例）。比如第一主成分作為數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、語文、歷史、英語這六個(gè)原先變量的線性組合，系數(shù)（比例）為-0.806, -0.674, -0.675, 0.893, 0.825, 0.836。,如用x1,x2,x3,x4,x5,x6分別表示原先的六個(gè)變量，而用y1,y2,y3,y4,y5,y6表示新的主成分，那么，原先六個(gè)變量x1,x2,x3,x4,x5,x6與第一和第二主成分y1,y2的關(guān)系為： X1=-0.806y1 + 0.353y2 X2=-0.674y1 + 0.531y2 X3=-0.675y1 + 0.513y2 X4= 0.893y1 + 0.306y2 x5= 0.825y1 + 0.435y2 x6= 0.836y1 + 0.425y2 這些系數(shù)稱為主成分載荷（loading），它表示主成分和相應(yīng)的原先變量的相關(guān)系數(shù)。 比如x1表示式中y1的系數(shù)為-0.806，這就是說第一主成分和數(shù)學(xué)變量的相關(guān)系數(shù)為-0.806。 相關(guān)系數(shù)(絕對(duì)值）越大，主成分對(duì)該變量的代表性也越大?？梢钥吹贸?，第一主成分對(duì)各個(gè)變量解釋得都很充分。而最后的幾個(gè)主成分和原先的變量就不那么相關(guān)了。,可以把第一和第二主成分的載荷點(diǎn)出一個(gè)二維圖以直觀地顯示它們?nèi)绾谓忉屧瓉淼淖兞康?。這個(gè)圖叫做載荷圖。,該圖左面三個(gè)點(diǎn)是數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科，右邊三個(gè)點(diǎn)是語文、歷史、外語三科。圖中的六個(gè)點(diǎn)由于比較擠，不易分清，但只要認(rèn)識(shí)到這些點(diǎn)的坐標(biāo)是前面的第一二主成分載荷，坐標(biāo)是前面表中第一二列中的數(shù)目，還是可以識(shí)別的。,因子分析,主成分分析從原理上是尋找橢球的所有主軸。因此，原先有幾個(gè)變量，就有幾個(gè)主成分。 而因子分析是事先確定要找?guī)讉€(gè)成分，這里叫因子（factor）（比如兩個(gè)），那就找兩個(gè)。 這使得在數(shù)學(xué)模型上，因子分析和主成分分析有不少區(qū)別。而且因子分析的計(jì)算也復(fù)雜得多。根據(jù)因子分析模型的特點(diǎn)，它還多一道工序：因子旋轉(zhuǎn)（factor rotation）；這個(gè)步驟可以使結(jié)果更好。 當(dāng)然，對(duì)于計(jì)算機(jī)來說，因子分析并不比主成分分析多費(fèi)多少時(shí)間。 從輸出的結(jié)果來看，因子分析也有因子載荷（factor loading）的概念，代表了因子和原先變量的相關(guān)系數(shù)。但是在輸出中的因子和原來變量相關(guān)系數(shù)的公式中的系數(shù)不是因子載荷，也給出了二維圖；該圖雖然不是載荷圖，但解釋和主成分分析的載荷圖類似。,主成分分析與因子分析的公式上的區(qū)別,主成分分析 P312,因子分析(mp) P314,因子得分 P315,對(duì)于我們的數(shù)據(jù)，SPSS因子分析輸出為,這里，第一個(gè)因子主要和語文、歷史、英語三科有很強(qiáng)的正相關(guān)；而第二個(gè)因子主要和數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科有很強(qiáng)的正相關(guān)。因此可以給第一個(gè)因子起名為“文科因子”，而給第二個(gè)因子起名為“理科因子”。從這個(gè)例子可以看出，因子分析的結(jié)果比主成分分析解釋性更強(qiáng)。,這兩個(gè)因子的系數(shù)所形成的散點(diǎn)圖（雖然不是載荷，在SPSS中也稱載荷圖，,可以直觀看出每個(gè)因子代表了一類學(xué)科,計(jì)算因子得分,可以根據(jù)前面的因子得分公式（因子得分系數(shù)和原始變量的標(biāo)準(zhǔn)化值的乘積之和），算出每個(gè)學(xué)生的第一個(gè)因子和第二個(gè)因子的大小，即算出每個(gè)學(xué)生的因子得分f1和f2。 人們可以根據(jù)這兩套因子得分對(duì)學(xué)生分別按照文科和理科排序。當(dāng)然得到因子得分只是SPSS軟件的一個(gè)選項(xiàng)（可將因子得分存為新變量、顯示因子得分系數(shù)矩陣）,因子分析和主成分分析的一些注意事項(xiàng),可以看出，因子分析和主成分分析都依賴于原始變量，也只能反映原始變量的信息。所以原始變量的選擇很重要。 另外，如果原始變量都本質(zhì)上獨(dú)立，那么降維就可能失敗，這是因?yàn)楹茈y把很多獨(dú)立變量用少數(shù)綜合的變量概括。數(shù)據(jù)越相關(guān)，降維效果就越好。 在得到分析的結(jié)果時(shí)，并不一定會(huì)都得到如我們例子那樣清楚的結(jié)果。這與問題的性質(zhì)，選取的原始變量以及數(shù)據(jù)的質(zhì)量等都有關(guān)系 在用因子得分進(jìn)行排序時(shí)要特別小心，特別是對(duì)于敏感問題。由于原始變量不同，因子的選取不同，排序可以很不一樣。,SPSS實(shí)現(xiàn)(因子分析與主成分分析),拿student.sav為例，選AnalyzeData ReductionFactor進(jìn)入主對(duì)話框； 把math、phys、chem、literat、history、english選入Variables，然后點(diǎn)擊Extraction， 在Method選擇一個(gè)方法（如果是主成分分析，則選Principal Components）， 下面的選項(xiàng)可以隨意，比如要畫碎石圖就選Scree plot，另外在Extract選項(xiàng)可以按照特征值的大小選主成分（或因子），也可以選定因子的數(shù)目； 之后回到主對(duì)話框（用Continue）。然后點(diǎn)擊Rotation，再在該對(duì)話框中的Method選擇一個(gè)旋轉(zhuǎn)方法（如果是主成分分析就選None）， 在Display選Rotated solution（以輸出和旋轉(zhuǎn)有關(guān)的結(jié)果）和Loading plot（以輸出載荷圖）；之后回到主對(duì)話框（用Continue）。 如果要計(jì)算因子得分就要點(diǎn)擊Scores，再選擇Save as variables（因子得分就會(huì)作為變量存在數(shù)據(jù)中的附加列上）和計(jì)算因子得分的方法（比如Regression）；之后回到主對(duì)話框（用Continue）。這時(shí)點(diǎn)OK即可。,