初中數學競賽輔導講義及習題解答 第10講 拋物線

第十講 拋物線 一般地說來，我們稱函數 (、為常數，)為的二次函數，其圖象為一條拋物線，與拋物線相關的知識有： 1、的符號決定拋物線的大致位置； 2拋物線關于對稱，拋物線開口方向、開口大小僅與相關，拋物線在頂點(，)處取得最值； 3拋物線的解析式有下列三種形式： 一般式：； 頂點式：； 交點式：，這里、是方程的兩個實根確定拋物線的解析式一般要兩個或三個獨立條件，靈活地選用不同方法求出拋物線的解析式是解與拋物線相關問題的關鍵注：對稱是一種數學美，它展示出整體的和諧與平衡之美，拋物線是軸對稱圖形，解題中應積極捕捉、創(chuàng)造對稱關系，以便從整體上把握問題，由拋物線捕捉對稱信息的方式有： (1)從拋物線上兩點的縱坐標相等獲得對稱信息；(2)從拋物線的對稱軸方程與拋物線被軸所截得的弦長獲得對稱信息【例題求解】【例1】 二次函數的圖象如圖所示，則函數值時，對應的取值范圍是 思路點撥 由圖象知拋物線頂點坐標為(一1，一4)，可求出，值，先求出時，對應的值【例2】 已知拋物線(<0)經過點(一1，0)，且滿足以下結論：；其中正確的個數有( )A1個 B2個 C3個 D4個 思路點撥 由條件大致確定拋物線的位置，進而判定、的符號；由特殊點的坐標得等式或不等式；運用根的判別式、根與系數的關系1 / 11【例3】 如圖，有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物線狀，MN4分米，拋物線頂點處到邊MN的距離是4分米，要在鐵皮上截下一矩形ABCD，使矩形頂點B、C落在邊MN上，A、D落在拋物線上，問這樣截下的矩形鐵皮的周長能否等于8分米? 思路點撥 恰當建立直角坐標系，易得出M、N及拋物線頂點坐標，從而求出拋物線的解析式，設A(，)，建立含的方程，矩形鐵皮的周長能否等于8分米，取決于求出的值是否在已求得的拋物線解析式中自變量的取值范圍內注： 把一個生產、生活中的實際問題轉化，成數學問題，需要觀察分析、建模，建立直角坐標系下的函數模型是解決實際問題的常用方法，同一問題有不同的建模方式，通過分析比較可獲得簡解【例4】 二次函數的圖象與軸交于A、兩點(點A在點B左邊)，與軸交于C點，且ACB90 (1)求這個二次函數的解析式； (2)設計兩種方案：作一條與軸不重合，與A BC兩邊相交的直線，使截得的三角形與ABC相似，并且面積為BOC面積的，寫出所截得的三角形三個頂點的坐標(注：設計的方案不必證明)思路點撥 (1)A、B、C三點坐標可用m的代數式表示，利用相似三角形性質建立含m的方程；(2)通過特殊點，構造相似三角形基本圖形，確定設計方案注： 解函數與幾何結合的綜合題，善于求點的坐標，進而求出函數解析式是解題的基礎；而充分發(fā)揮形的因素，數形互助，把證明與計算相結合是解題的關鍵 【例5】 已知函數，其中自變量為正整數，也是正整數，求何值時，函數值最小 思路點撥 將函數解析式通過變形得配方式，其對稱軸為，因，故函數的最小值只可能在取，時達到所以，解決本例的關鍵在于分類討論 學歷訓練1如圖，若拋物線與四條直線、所圍成的正方形有公共點，則的取值范圍是 2拋物線與軸的正半軸交于A，B兩點，與軸交于C點，且線段AB的長為1，ABC的面積為1，則的值為 3如圖，拋物線的對稱軸是直線，它與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，點A、C的坐標分別為(-l，0)、(0，)，則(1)拋物線對應的函數解析式為 ；(2)若點P為此拋物線上位于軸上方的一個動點，則ABP面積的最大值為 4已知二次函數的圖象如圖所示，且OAOC，則由拋物線的特征寫出如下含有、三個字母的式子，>0，其中正確結論的序號是 (把你認為正確的都填上)5已知，點(，)，(，)，(，)都在函數的圖象上，則( ) A B C D6把拋物線的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為，則有( )A， B， C，c3 D， 7二次函數的圖象如圖所示，則點(，)所在的直角坐標系是( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限8周長是4m的矩形，它的面積S(m2)與一邊長(m)的函數圖象大致是( )9閱讀下面的文字后，回答問題： “已知：二次函數的圖象經過點A(0，)，B(1，-2) ，求證：這個二次函數圖象的對稱軸是直線 題目中的橫線部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字 (1)根據現有的信息，你能否求出題目中二次函數的解析式?若能，寫出求解過程；若不能，說明理由 (2)請你根據已有信息，在原題中的橫線上，填加一個適當的條件，把原題補充完整10如圖，一位運動員在距籃下4米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為2.5米時，達到最大高度3.5米，然后準確落入籃圈已知籃圈中心到地面的距離為3.05米 (1)建立如圖所示的直角坐標系，求拋物線的解析式；(2)該運動員身高1. 8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少?11如圖，拋物線和直線 ()與軸、y軸都相交于A、B兩點，已知拋物線的對稱軸與軸相交于C點，且ABC90，求拋物線的解析式12拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，若ABC是直角三角形，則 13如圖，已知直線與拋物線相交于A、B兩點，O為坐標原點，那么OAB的面積等于 14已知二次函數，一次函數若它們的圖象對于任意的實數是都只有一個公共點，則二次函數的解析式為 15如圖，拋物線與兩坐標軸的交點分別是A，B，E，且ABE是等腰直角三角形，AEBE，則下列關系式中不能總成立的是( ) Ab=0 BSADCc2 Cac一1 Da+c016由于被墨水污染，一道數學題僅能見到如下文字：已知二次函數的圖象過點(1，0)求證：這個二次函數的圖象關于直線對稱根據現有信息，題中的二次函數不具有的性質是( ) A過點(3，0) B頂點是(2，一2)C在軸上截得的線段長為2 D與軸的交點是(0，3) 17已知A(x1，2002)，B(x2，2002)是二次函數 ()的圖象上兩 時，二次函數的值是( ) A B C 2002 D5 18某種產品的年產量不超過1000噸，該產品的年產量(單位：噸)與費用(單位：萬元)之間函數的圖象是頂點在原點的拋物線的一部分(如圖1所示)；該產品的年銷售量(單位：噸)與銷售單價(單位：萬元噸)之間函數的圖象是線段(如圖2所示)若生產出的產品都能在當年銷售完，問年產量是多少噸時，所獲毛利潤最大?(毛利潤銷售額一費用) 19如圖，已知二次函數的圖象與軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與軸交于點C，直線：xm(m>1)與軸交于點D (1)求A、B、C三點的坐標； (2)在直線xm (m>1)上有一點P (點P在第一象限)，使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求P點坐標(用含m的代數式表示)； (3)在(2)成立的條件下，試問：拋物線上是否存在一點Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形?如果存在這樣的點Q，請求出m的值；如果不存在，請簡要說明理由 20已知二次函數及實數，求(1)函數在一2<xa的最小值；(2)函數在axa+2的最小值 21如圖，在直角坐標：O中，二次函數圖象的頂點坐標為C(4，)，且在軸上截得的線段AB的長為6 (1)求二次函數的解析式； (2)在軸上求作一點P (不寫作法)使PA+PC最小，并求P點坐標； (3)在軸的上方的拋物線上，是否存在點Q，使得以Q、A、B三點為頂點的三角形與ABC相似?如果存在，求出Q點的坐標；如果不存在，請說明理由22某校研究性學習小組在研究有關二次函數及其圖象性質的問題時，發(fā)現了兩個重要結論一是發(fā)現拋物線y=ax2+2x+3(a0)，當實數a變化時，它的頂點都在某條直線上；二是發(fā)現當實數a變化時，若把拋物線y=ax2+2x+3的頂點的橫坐標減少，縱坐標增加，得到A點的坐標；若把頂點的橫坐標增加，縱坐標增加，得到B點的坐標，則A、B兩點一定仍在拋物線y=ax2+2x+3上 (1)請你協(xié)助探求出當實數a變化時，拋物線y=ax2+2x+3的頂點所在直線的解析式； (2)問題(1)中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它來嗎?并說明理由；(3)在他們第二個發(fā)現的啟發(fā)下，運用“一般特殊一般”的思想，你還能發(fā)現什么?你能用數學語言將你的猜想表述出來嗎?你的猜想能成立嗎?若能成立請說明理由 參考答案 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！