2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第28講 數(shù)列的概念與簡單表示法練習 新人教A版.doc

2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第28講 數(shù)列的概念與簡單表示法練習 新人教A版考情展望1.以數(shù)列的前n項為背景寫數(shù)列的通項.2.考查由數(shù)列的通項公式或遞推關系求數(shù)列的某一項.3.考查已知數(shù)列的遞推關系或前n項和Sn求通項an.一、數(shù)列的有關概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)數(shù)列的通項數(shù)列an的第n項an叫做數(shù)列的通項通項公式數(shù)列an的第n項an與n之間的關系能用公式anf(n)表達，這個公式叫做數(shù)列的通項公式前n項和數(shù)列an中，Sna1a2an叫做數(shù)列的前n項和二、數(shù)列的分類分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關系遞增數(shù)列an1>an其中nN*遞減數(shù)列an1<an常數(shù)列an1an判斷數(shù)列遞增(減)的方法(1)作差比較法：若an1an0，則數(shù)列an為遞增數(shù)列若an1an0，則數(shù)列an為常數(shù)列若an1an0，則數(shù)列an為遞減數(shù)列(2)作商比較法：不妨設an0.若1，則數(shù)列an為遞增數(shù)列若1，則數(shù)列an為常數(shù)列若1，則數(shù)列an為遞減數(shù)列三、數(shù)列的表示方法數(shù)列有三種表示方法，它們分別是列表法、圖象法和解析法四、an與Sn的關系若數(shù)列an的前n項和為Sn，通項公式為an，則an已知Sn求an的注意點利用anSnSn1求通項時，注意n2這一前提條件，易忽略驗證n1致誤，當n1時，a1若適合通項，則n1的情況應并入n2時的通項；否則an應利用分段函數(shù)的形式表示1已知數(shù)列an的前4項分別為2,0,2,0，則下列各式不可以作為數(shù)列an的通項公式的一項是()Aan1(1)n1 Ban2sin Can1cos n Dan【解析】根據(jù)數(shù)列的前3項驗證【答案】B2在數(shù)列an中，a11，an2an11，則a5的值為()A30 B31 C32 D33【解析】a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131.【答案】B3已知數(shù)列an的通項公式為an，則這個數(shù)列是()A遞增數(shù)列 B遞減數(shù)列C常數(shù)列 D擺動數(shù)列【解析】an0，1.an為遞增數(shù)列【答案】A4數(shù)列an的前n項和Snn21，則an_.【解析】當n1時，a1S12；當n2時，anSnSn1(n21)(n1)21n2(n1)22n1.an【答案】5(2011浙江高考)若數(shù)列中的最大項是第k項，則k_.【解析】由題意可知即化簡得解得k1.又kN*，所以k4.【答案】46(xx課標全國卷)若數(shù)列an的前n項和Snan，則an的通項公式是an_.【解析】當n1時，S1a1，a11.當n2時，anSnSn1an(anan1)，an2an1，即2，an是以1為首項的等比數(shù)列，其公比為2，an1(2)n1，即an(2)n1.【答案】(2)n1考向一 083由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)，.【思路點撥】歸納通項公式應從以下四個方面著手：(1)觀察項與項之間的關系；(2)符號與絕對值分別考慮；(3)規(guī)律不明顯，適當變形【嘗試解答】(1)符號可通過(1)n表示，后面的數(shù)的絕對值總比前面的數(shù)的絕對值大6，故通項公式為an(1)n(6n5)(2)數(shù)列變?yōu)?10.1)，(10.01)，(10.001)，an .(3)各項的分母分別為21,22,23,24，易看出第2,3,4項的分子分別比分母少3.因此把第1項變?yōu)?，原?shù)列化為，an(1)n.規(guī)律方法11.求數(shù)列的通項時，要抓住以下幾個特征.,(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項的變化特征；(3)拆項后的特征；(4)各項符號特征等，并對此進行歸納、化歸、聯(lián)想.2.根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結果是不可靠的，要注意代值檢驗，對于正負符號變化，可用(1)n或(1)n1來調整.考向二 084由遞推關系求通項公式根據(jù)下列條件，求數(shù)列的通項公式an.(1)在數(shù)列an中，a11，an1an2n；(2)在數(shù)列an中，an1an，a14；(3)在數(shù)列an中，a13，an12an1.【思路點撥】(1)求an1an，利用累加法求解(2)求，利用累乘法求解(3)利用(an11)2(an1)構造等比數(shù)列求解【嘗試解答】(1)由an1an2n，把n1,2,3，n1(n2)代入，得(n1)個式子，累加即可得(a2a1)(a3a2)(anan1)222232n1，所以ana1，即ana12n2，所以an2n2a12n1.當n1時，a11也符合，所以an2n1(nN*)(2)由遞推關系an1an，a14，有，于是有3，將這(n1)個式子累乘，得.所以當n2時，ana12n(n1)當n1時，a14符合上式，所以an2n(n1)(nN*)(3)由an12an1得an112(an1)，令bnan1，所以bn是以2為公比的等比數(shù)列所以bnb12n1(a11)2n12n1，所以anbn12n11(nN*)規(guī)律方法2遞推式的類型遞推式方法示例an1anf(n)疊加法a11，an1an2nf(n)疊乘法a11，2nan1panq (p0,1，q0)化為等比數(shù)列a11，an12an1an1panqpn1 (p0,1，q0)化為等差數(shù)列a11，an13an3n1考向三 085由an與Sn的關系求通項an已知下面數(shù)列an的前n項和Sn，求an的通項公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.(b為常數(shù))【思路點撥】先分n1和n2兩類分別求an，再驗證a1是否滿足an(n2)【嘗試解答】(1)a1S1231，當n2時，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也適合此等式，an4n5.(2)a1S13b，當n2時，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.當b1時，a1適合此等式當b1時，a1不適合此等式當b1時，an23n1；當b1時，an規(guī)律方法3已知Sn求an時的三個注意點,(1)重視分類討論思想的應用，分n1和n2兩種情況討論；特別注意anSnSn1中需n2.(2)由SnSn1an推得an，當n1時，a1也適合“an式”，則需統(tǒng)一“合寫” .(3)由SnSn1an推得an，當n1時，a1不適合“an式”，則數(shù)列的通項公式應分段表示(“分寫”)，即an對點訓練若Sn滿足的條件變?yōu)槿缦滦问剑瑒t又如何求an?(1)Snn2n1；(2)log2(2Sn)n1.【解】(1)當n2時，anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)12n；當n1時，a1S1321，故a13不滿足an2n.an(2)log2(2Sn)n1，2Sn2n1，即Sn2n12，當n2時，anSnSn1(2n12)(2n2)2n，當n1時，a1S1222221，故a12滿足an2n.an2n.易錯易誤之十明確數(shù)列中項的特征，慎用函數(shù)思想解題1個示范例1個防錯練(xx安陽模擬)已知數(shù)列an中，ann2kn(nN*)，且an單調遞增，則k的取值范圍是()A(，2B(，3)C(，2) D(，3【解析】ann2kn(nN*)，且an單調遞增，an1an0對nN*都成立，此處在求解時，常犯“an是關于n的二次函數(shù)，若an單調遞增，則必有1，k2”的錯誤.,出錯的原因是忽視了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性即自變量是正整數(shù).又an1an(n1)2k(n1)n2kn2n1k，所以由2n1k0，即k2n1恒成立可知k(2n1)min3.【防范措施】1.明確函數(shù)單調性與數(shù)列單調性的關系,(1)若數(shù)列所對應的函數(shù)是單調的，則該數(shù)列一定單調.(2)若數(shù)列是單調的，其對應的函數(shù)未必單調，原因是數(shù)列是定義在nN*上的特殊函數(shù).2.數(shù)列單調性的判斷,一般通過比較an1與an的大小來判斷：,若an1an，則該數(shù)列為遞增數(shù)列；若an1an，則該數(shù)列為遞減數(shù)列.(xx濟南模擬)已知an是遞增數(shù)列，且對于任意的nN*，ann2n恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_【解析】法一(定義法)因為an是遞增數(shù)列，故對任意的nN*，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因為n1，故(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.法二(函數(shù)法)設f(n)ann2n，其對稱軸為n，要使數(shù)列an為遞增數(shù)列，只需滿足n即可，即3.【答案】(3，)