2019-2020年高考數(shù)學(xué) 8.7 雙　曲　線練習.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué) 8.7 雙曲線練習(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(xx沈陽模擬)設(shè)P是雙曲線=1上一點,F1,F2分別是雙曲線左右兩個焦點,若|PF1|=9,則|PF2|等于()A.1B.17C.1或17D.以上答案均不對【解析】選B.由雙曲線定義|PF1|-|PF2|=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1或17,但應(yīng)注意雙曲線的右頂點到右焦點距離最小為c-a=6-4=2>1,所以|PF2|=17.【誤區(qū)警示】本題極易忽視雙曲線的右頂點到右焦點距離的最小值為2>1,從而誤選C.2.(xx天水模擬)若雙曲線=1的左焦點與拋物線y2=-8x的焦點重合,則m的值為()A.3B.4C.5D.6【解析】選A.因為雙曲線=1的左焦點與拋物線y2=-8x的焦點重合,所以m+m-2=4,即m=3.【加固訓(xùn)練】與橢圓C:=1共焦點且過點(1,)的雙曲線的標準方程為()A.x2-=1B.y2-2x2=1C.-=1D.-x2=1【解析】選C.橢圓=1的焦點坐標為(0,-2),(0,2),設(shè)雙曲線的標準方程為=1(m>0,n>0),則解得m=n=2,故選C.3.(xx沈陽模擬)已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點M在雙曲線的左支上,且|MF2|=7|MF1|,則此雙曲線離心率的最大值為()A.B.C.2D.【解析】選A.因為|MF2|=7|MF1|,所以|MF2|-|MF1|=6|MF1|,即2a=6|MF1|6(c-a),故8a6c,即e=4.(xx貴陽模擬)已知雙曲線=1(a>0)的兩條漸近線與以橢圓=1的左焦點為圓心,半徑為的圓相切,則雙曲線的離心率為()A.B.C.D.【解析】選A.雙曲線=1(a>0)的漸近線方程為y=;橢圓=1的左焦點為(-4,0),因為漸近線與以橢圓=1的左焦點為圓心、半徑為的圓相切,所以=,解得a=4,所以雙曲線的離心率為.5.(xx武漢模擬)P是雙曲線=1(a>0,b>0)上的點,F1,F2是其焦點,雙曲線的離心率是,且F1PF2=90,若F1PF2的面積是9,則a+b的值等于()A.5B.6C.7D.8【解析】選C.因為e=所以可設(shè)a=4k,b=3k,c=5k,其中k>0.由|PF1|2+|PF2|2=100k2,|PF1|PF2|=9,(|PF1|-|PF2|)2=100k2-36=64k2,解得k=1或k=-1(舍去),所以a+b=4k+3k=7.故選C.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(xx成都模擬)已知圓x2+y2-4x-9=0與y軸的兩個交點A,B都在某雙曲線上,且A,B兩點恰好將此雙曲線的焦距三等分,則此雙曲線的標準方程為.【解析】易知圓與y軸的交點坐標為(0,3),(0,-3),因為圓x2+y2-4x-9=0與y軸的兩個交點A,B都在某雙曲線上,所以雙曲線的焦點在y軸上,且a=3,又A,B兩點恰好將此雙曲線的焦距三等分,所以c=9,所以b2=72,所以此雙曲線的標準方程為=1.答案: =17.(xx安陽模擬)若點P在曲線C1: =1上,點Q在曲線C2:(x-5)2+y2=1上,點R在曲線C3:(x+5)2+y2=1上,則|PQ|-|PR|的最大值是.【解析】曲線C2是以曲線C1的右焦點F2為圓心,1為半徑的圓,則|PQ|max=|PF2|+r=|PF2|+1,此時點P在雙曲線左支上;曲線C3是以曲線C1的左焦點F1為圓心,1為半徑的圓,則|PR|min=|PF1|-r=|PF1|-1.故(|PQ|-|PR|)max=(|PF2|+1)-(|PF1|-1)=|PF2|-|PF1|+2=10.答案:10【方法技巧】與雙曲線有關(guān)的最值問題的求法與雙曲線有關(guān)的最值問題,經(jīng)常借助于雙曲線的定義,將表達式轉(zhuǎn)化為線段之和求最值,然后再借助于平面幾何的性質(zhì)求解.8.過已知雙曲線=1(b>0)的左焦點F1作O:x2+y2=4的兩條切線,記切點為A,B,雙曲線的左頂點為C,若ACB=120,則雙曲線的離心率為.【解析】如圖,因為OCA=60,|OC|=|OA|=2,所以AOC=60,AF1C=30,所以e=2.答案:2三、解答題(每小題10分,共20分)9.過雙曲線=1的右焦點F2,傾斜角為30的直線交雙曲線于A,B兩點,O為坐標原點,F1為左焦點.(1)求|AB|.(2)求AOB的面積.【解析】(1)由雙曲線的方程得a=,b=,所以c=3,F1(-3,0),F2(3,0).直線AB的方程為y=(x-3).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得5x2+6x-27=0.所以x1+x2=-,x1x2=-.所以|AB|=|x1-x2|(2)直線AB的方程變形為x-3y-3=0.所以原點O到直線AB的距離為d=所以SAOB=|AB|d=10.已知橢圓C1的方程為+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.(1)求雙曲線C2的方程.(2)若直線l:y=kx+與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B,且>2(其中O為原點),求k的取值范圍.【解析】(1)設(shè)雙曲線C2的方程為=1(a>0,b>0),則a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故C2的方程為-y2=1.(2)將y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點,得所以k2且k2<1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=,所以=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=又由>2,得>2,解得<k2<3,由得,<k2<1.故k的取值范圍為(-1,-)(,1). (20分鐘40分)1.(5分)(xx杭州模擬)如圖,F1,F2分別是雙曲線C: =1(a>0,b>0)的左、右焦點,B是虛軸的端點,直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點,線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M,若|MF2|=|F1F2|,則C的離心率是()【解析】選B.由可解得即Q.由,可解得即P設(shè)PQ的中點為N,則N而M(3c,0).所以kMN=-1,即整理得2c3=3a2c,即e2=解得e=【一題多解】本題還可以用如下方法求解:直線BF1的方程為y=x+b,由得P由得Q.從而N點坐標為,則直線MN的方程為從而得M又M(3c,0),則c+=3c,得a2=2b2,得e=【加固訓(xùn)練】已知雙曲線mx2-ny2=1(m>0,n>0)的離心率為2,則橢圓mx2+ny2=1的離心率為()【解析】選B.由已知雙曲線的離心率為2,得:=2,解得:m=3n,又m>0,n>0,所以m>n,即故由橢圓mx2+ny2=1得所以所求橢圓的離心率為:e=2.(5分)設(shè)雙曲線C的中心為點O,若有且只有一對相交于點O,所成的角為60的直線A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分別是這對直線與雙曲線C的交點,則該雙曲線的離心率的取值范圍是()A.(,2B.,2)C.(,+)D.,+)【解析】選A.設(shè)雙曲線的焦點在x軸上,則由作圖易知雙曲線的漸近線的斜率必須滿足所以即有又雙曲線的離心率為所以<e2.【誤區(qū)警示】本題極易漏掉其原因是對問題考慮不全,造成漏解.【方法技巧】雙曲線離心率取值范圍的驗證技巧已知雙曲線=1(a>0,b>0).則:(1)當a>b>0時,雙曲線的離心率滿足1<e<.(2)當a=b>0時,e=(亦稱為等軸雙曲線).(3)當b>a>0時,e>.3.(5分)(xx蘇州模擬)已知P為雙曲線C: =1上的點,點M滿足|=1,且=0,則當|取得最小值時的點P到雙曲線C的漸近線的距離為.【解析】因為點M滿足|=1,所以點M的軌跡是以原點為圓心,1為半徑的單位圓.不妨設(shè)P為雙曲線右支上的任一點,因為=0,所以O(shè)MPM,所以O(shè)PM為直角三角形,且OMP=90,|OP|為該直角三角形的斜邊長;因為P為雙曲線C: =1上的點,在RtOPM中,要使直角邊|最小,則只需|OP|最小,因為當點P為雙曲線C的右支與x軸的交點時,|OP|最小,此時P(3,0),所以此時點P到雙曲線C的漸近線的距離為答案: 4.(12分)設(shè)A,B分別為雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右頂點,雙曲線的實軸長為4,焦點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程.(2)已知直線y=x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點,且在雙曲線的右支上存在點D,使+=t,求t的值及點D的坐標.【解析】(1)由題意知a=所以一條漸近線為y=x.即bx-2y=0.所以所以b2=3,所以雙曲線的方程為=1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),則x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.將直線方程代入雙曲線方程得x2-16x+84=0,則x1+x2=16,y1+y2=12.所以所以t=4,點D的坐標為(4,3).5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1的右支交于不同的兩點A,B.(1)求實數(shù)k的取值范圍.(2)是否存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.【解析】(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x2-y2=1,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.依題意,直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點,故解得k的取值范圍是-2<k<-.(2)設(shè)A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則由式得假設(shè)存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F(c,0).則由FAFB得:(x1-c)(x2-c)+y1y2=0.即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.把式及c=代入式化簡得5k2+2k-6=0.解得k=或k=(舍去),可知存在k=使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F.【加固訓(xùn)練】雙曲線的中心為原點O,焦點在x軸上,兩條漸近線分別為l1,l2,經(jīng)過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1,l2于A,B兩點.已知|,|,|成等差數(shù)列,且與同向.(1)求雙曲線的離心率.(2)設(shè)直線AB被雙曲線所截得的線段的長為4,求雙曲線的方程.【解析】(1)設(shè)|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,得d=m,tanAOF=,tanAOB=tan2AOF=由倍角公式,得則離心率e=(2)不妨設(shè)過F與l1垂直的直線方程為y=- (x-c),與雙曲線方程=1聯(lián)立,將a=2b,c=b代入,化簡有解得b=3,故所求的雙曲線方程為=1.