2019年高考數(shù)學真題分類匯編 10.3 拋物線及其性質 理 .doc

2019年高考數(shù)學真題分類匯編 10.3 拋物線及其性質 理考點一拋物線的標準方程1.(xx湖南,15,5分)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a,b(a<b),原點O為AD的中點,拋物線y2=2px(p>0)經過C,F兩點,則=.答案1+2.(xx大綱全國,21,12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線y=4與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)過F的直線l與C相交于A、B兩點,若AB的垂直平分線l與C相交于M、N兩點,且A、M、B、N四點在同一圓上,求l的方程.解析(1)設Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由題設得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程為y2=4x.(5分)(2)依題意知l與坐標軸不垂直,故可設l的方程為x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中點為D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率為-m,所以l的方程為x=-y+2m2+3.將上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.設M(x3,y3),N(x4,y4),則y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中點為E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四點在同一圓上等價于|AE|=|BE|=|MN|,從而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+=.化簡得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)考點二拋物線的幾何性質