2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練四 第3講 推理與證明 理.doc

2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練四 第3講 推理與證明 理考情解讀1.以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識相結合考查歸納推理和類比推理，多以小題形式出現(xiàn).2.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數(shù)學命題的方法，常與函數(shù)、數(shù)列及不等式等綜合命題1合情推理(1)歸納推理歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理歸納推理的思維過程如下：(2)類比推理類比推理是由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理類比推理的思維過程如下：2演繹推理(1)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷(2)合情推理與演繹推理的區(qū)別歸納和類比是常用的合情推理，從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理；類比是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理從推理所得的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確3直接證明(1)綜合法用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結論，則綜合法可用框圖表示為：(2)分析法用Q表示要證明的結論，則分析法可用框圖表示為：4間接證明反證法的證明過程可以概括為“否定推理否定”，即從否定結論開始，經(jīng)過正確的推理，導致邏輯矛盾，從而達到新的否定(即肯定原命題)的過程用反證法證明命題“若p，則q”的過程可以用如圖所示的框圖表示5數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法證明的步驟：(1)證明當n取第一個值n0(n0N*)時命題成立(2)假設nk(kN*，且kn0)時命題成立，證明nk1時命題也成立由(1)(2)可知，對任意nn0，且nN*時，命題都成立熱點一歸納推理例1(1)有菱形紋的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是()A26 B31C32 D36(2)兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個靠窗，已知火車上的座位的排法如圖所示，則下列座位號碼符合要求的應當是()A48,49 B62,63C75,76 D84,85思維啟迪(1)根據(jù)三個圖案中的正六邊形個數(shù)尋求規(guī)律；(2)靠窗口的座位號碼能被5整除或者被5除余1.答案(1)B(2)D解析(1)有菱形紋的正六邊形個數(shù)如下表：圖案123個數(shù)61116由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數(shù)依次組成一個以6為首項，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是65(61)31.故選B.(2)由已知圖形中座位的排列順序，可得：被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號臨窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個靠窗，分析答案中的4組座位號，只有D符合條件思維升華歸納遞推思想在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結論，然后予以證明，這一數(shù)學思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關的命題時有著廣泛的應用其思維模式是“觀察歸納猜想證明”，解題的關鍵在于正確的歸納猜想(1)四個小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐1、2、3、4號位上(如圖)，第一次前后排動物互換座位，第二次左右列動物互換座位，這樣交替進行下去，那么第202次互換座位后，小兔坐在第_號座位上1鼠2猴3兔4貓 開始1兔2貓3鼠4猴第一次1貓2兔3猴4鼠第二次1猴2鼠3貓4兔第三次A1 B2C3 D4(2)已知f(n)1(nN*)，經(jīng)計算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，則有_答案(1)B(2)f(2n)>(n2，nN*)解析(1)考慮小兔所坐的座位號，第一次坐在1號位上，第二次坐在2號位上，第三次坐在4號位上，第四次坐在3號位上，第五次坐在1號位上，因此小兔的座位數(shù)更換次數(shù)以4為周期，因為2025042，因此第202次互換后，小兔所在的座位號與小兔第二次互換座位號所在的座位號相同，因此小兔坐在2號位上，故選B.(2)由題意得f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以當n2時，有f(2n)>.故填f(2n)>(n2，nN*)熱點二類比推理例2(1)在平面幾何中有如下結論：若正三角形ABC的內切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則.推廣到空間幾何可以得到類似結論：若正四面體ABCD的內切球體積為V1，外接球體積為V2，則_.(2)已知雙曲正弦函數(shù)shx和雙曲余弦函數(shù)chx與我們學過的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有許多類似的性質，請類比正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和角或差角公式，寫出雙曲正弦或雙曲余弦函數(shù)的一個類似的正確結論_思維啟迪(1)平面幾何中的面積可類比到空間幾何中的體積；(2)可利用和角或差角公式猜想，然后驗證答案(1)(2)ch(xy)chx chyshx shy解析(1)平面幾何中，圓的面積與圓的半徑的平方成正比，而在空間幾何中，球的體積與半徑的立方成正比，所以.(2)chx chyshx shy(exyexyexyexyexyexyexyexy)(2exy2e(xy)ch(xy)，故知ch(xy)chx chyshx shy，或sh(xy)shx chychx shy，或sh(xy)shx chychx shy.思維升華類比推理是合情推理中的一類重要推理，強調的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，也可以由解題方法上的類似引起當然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比，例2即屬于此類題型一般來說，高考中的類比問題多發(fā)生在橫向與縱向類比上，如圓錐曲線中橢圓與雙曲線等的橫向類比以及平面與空間中三角形與三棱錐的縱向類比等(1)若數(shù)列an是等差數(shù)列，bn，則數(shù)列bn也為等差數(shù)列類比這一性質可知，若正項數(shù)列cn是等比數(shù)列，且dn也是等比數(shù)列，則dn的表達式應為()AdnBdnCdn Ddn(2)橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對偶性質，如對于橢圓有如下命題：AB是橢圓1(a>b>0)的不平行于對稱軸且不過原點的弦，M為AB的中點，則kOMkAB.那么對于雙曲線則有如下命題：AB是雙曲線1(a>0，b>0)的不平行于對稱軸且不過原點的弦，M為AB的中點，則kOMkAB_.答案(1)D(2)解析(1)由an為等差數(shù)列，設公差為d，則bna1d，又正項數(shù)列cn為等比數(shù)列，設公比為q，則dnc1，故選D.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則有將A，B代入雙曲線1中得1，1，兩式相減，得，即，即，即kOMkAB.熱點三直接證明和間接證明例3已知數(shù)列an滿足：a1，anan1<0 (n1)；數(shù)列bn滿足：bnaa (n1)(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)證明：數(shù)列bn中的任意三項不可能成等差數(shù)列思維啟迪(1)利用已知遞推式中的特點構造數(shù)列1a；(2)否定性結論的證明可用反證法(1)解已知化為，而1a，所以數(shù)列1a是首項為，公比為的等比數(shù)列，則1an1，則a1n1，由anan1<0，知數(shù)列an的項正負相間出現(xiàn)，因此an(1)n1 ，bnaann1n1.(2)證明假設存在某三項成等差數(shù)列，不妨設為bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整數(shù)，可設m<n<p，而bnn1隨n的增大而減小，那么只能有2bnbmbp，可得2n1m1p1，則2nm1pm.(*)當nm2時，2nm22，(*)式不可能成立，則只能有nm1，此時等式為1pm，即pm，那么pmlog，左邊為正整數(shù)，右邊為無理數(shù)，不可能相等所以假設不成立，那么數(shù)列bn中的任意三項不可能成等差數(shù)列思維升華(1)有關否定性結論的證明常用反證法或舉出一個結論不成立的例子即可(2)綜合法和分析法是直接證明常用的兩種方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然后用綜合法來寫出證明過程，有時候，分析法和綜合法交替使用等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn；(2)設bn(nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列(1)解由已知得所以d2，故an2n1，Snn(n)，nN*.(2)證明由(1)得bnn.假設數(shù)列bn中存在三項bp，bq，br(pqr)成等比數(shù)列，則bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，()2pr，(pr)20，pr與pr矛盾所以數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列熱點四數(shù)學歸納法例4已知數(shù)列an是各項均不為0的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且滿足S2n1a，nN*，數(shù)列bn滿足bnTn為數(shù)列bn的前n項和(1)求an，bn；(2)試比較T2n與2n2的大小思維啟迪(1)利用an的前n項確定通項公式(公差、首項)，bn的通項公式可分段給出；(2)先求Tn，歸納猜想Tn與2n2的關系，再用數(shù)學歸納法證明解(1)設an首項為a1，公差為d，在S2n1a中，令n1,2得即解得a12，d4，所以an4n2.所以bn(2)T2n1223222432422n222n31222422n24(12n)3n43n2n2n.所以T2n(2n2)(4n4n1)當n1時，(4n4n1)<0，當n2時，(4n4n1)>0，當n3時，(4n4n1)>0，猜想當n2時，T2n>2n2，即n2時，4n>4n1.下面用數(shù)學歸納法證明：當n2時，4216,4219,16>9，成立；假設當nk(k2)時成立，即4k>4k1.則當nk1時，4k144k>4(4k1)16k4>4k54(k1)1，所以nk1時成立由得，當n2時，4n>4n1成立綜上，當n1時，T2n<2n2，當n2時，T2n>2n2.思維升華在使用數(shù)學歸納法證明問題時，在歸納假設后，歸納假設就是證明nk1時的已知條件，把歸納假設當已知條件證明后續(xù)結論時，可以使用綜合法、分析法、反證法已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)當n1,2,3時，試比較f(n)與g(n)的大小關系；(2)猜想f(n)與g(n)的大小關系，并給出證明解(1)當n1時，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)，當n2時，f(2)，g(2)，所以f(2)<g(2)，當n3時，f(3)，g(3)，所以f(3)<g(3)(2)由(1)，猜想f(n)g(n)，下面用數(shù)學歸納法給出證明當n1,2,3時，不等式顯然成立假設當nk(k3)時不等式成立，即1<，那么，當nk1時，f(k1)f(k)<，因為()<0.所以f(k1)<g(k1)，即當nk1時，不等式成立由可知，對一切nN*，都有f(n)g(n)成立1合情推理的精髓是“合情”，即得到的結論符合“情理”，其中主要是歸納推理與類比推理歸納推理是由部分得到整體的一種推理模式類比推理是由此及彼的推理模式；演繹推理是一種嚴格的證明方式2直接證明的最基本的兩種證明方法是綜合法和分析法，這兩種方法也是解決數(shù)學問題時常見的思維方式在實際解題時，通常先用分析法尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述解題過程3數(shù)學歸納法是證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的一種方法，在遇到與正整數(shù)有關的數(shù)學命題時，要考慮是否可以使用數(shù)學歸納法進行證明(1)在證明過程中突出兩個“湊”字，即一“湊”假設，二“湊”結論，關鍵是在證明nk1時要用上nk時的假設，其次要明確nk1時證明的目標，充分考慮由nk到nk1時，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系，化異為同，中間的計算過程千萬不能省略(2)注意“兩個步驟、一個結論”一個也不能少，切忌忘記歸納結論真題感悟1(xx福建)若集合a，b，c，d1,2,3,4，且下列四個關系：a1；b1；c2；d4.有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個數(shù)是_答案6解析由題意知中有且只有一個正確，其余三個均不正確，下面分類討論滿足條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個數(shù)：(1)若正確，即a1，則都錯誤，即b1，c2，d4.其中a1與b1矛盾，顯然此種情況不存在；(2)若正確，即b1，則都錯誤，即a1，c2，d4，則當b2時，有a3，c1；當b3時，有a2，c1，此時有2種有序數(shù)組(3)若正確，即c2，則都錯誤，即a1，b1，d4，則a3，即此種情況有1種有序數(shù)組(4)若正確，即d4，則都錯誤，即a1，b1，c2，則當d2時，有a3，c4或a4，c3，有2種有序數(shù)組；當d3時，有c4，a2，僅1種有序數(shù)組綜上可得，共有21216(種)有序數(shù)組2(xx陜西)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(F)頂點數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是_答案FVE2解析觀察F，V，E的變化得FVE2.押題精練1圓周上2個點可連成1條弦，這條弦可將圓面劃分成2部分；圓周上3個點可連成3條弦，這3條弦可將圓面劃分成4部分；圓周上4個點可連成6條弦，這6條弦最多可將圓面劃分成8部分則n個點連成的弦最多可把圓面分成_部分()A2n1 B2nC2n1 D2n2答案A解析由已知條件得：圓周上的點數(shù)連成的弦數(shù)把圓面分成的部分數(shù)2122122133422231468232415101624251由此可以歸納出，當點數(shù)為n時，連成的弦數(shù)為；弦把圓面分成的部分數(shù)為2n1，故選A.2在計算“1223n(n1)”時，某同學學到了如下一種方法：先改寫第k項，k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得12(123012)，23(234123)，n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1)相加，得1223n(n1)n(n1)(n2)類比上述方法，計算“123234n(n1)(n2)”的結果為_答案n(n1)(n2)(n3)解析類比k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1)，可得到k(k1)(k2)k(k1)(k2)(k3)(k1)k(k1)(k2)，先逐項裂項，然后累加即得n(n1)(n2)(n3)(推薦時間：50分鐘)一、選擇題1下列推理是歸納推理的是()AA，B為定點，動點P滿足|PA|PB|2a>|AB|，則P點的軌跡為橢圓B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式C由圓x2y2r2的面積r2，猜想出橢圓1的面積SabD以上均不正確答案B解析從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理2觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于()A28 B76C123 D199答案C解析觀察可得各式的值構成數(shù)列1,3,4,7,11，其規(guī)律為從第三項起，每項等于其前相鄰兩項的和，所求值為數(shù)列中的第十項繼續(xù)寫出此數(shù)列為1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，第十項為123，即a10b10123.3已知x>0，觀察不等式x22，x33，由此可得一般結論：xn1(nN*)，則a的值為()Ann Bn2C3n D2n答案A解析根據(jù)已知，續(xù)寫一個不等式：x44，由此可得ann.故選A.4已知函數(shù)f(x)是R上的單調增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列an是等差數(shù)列，a3>0，則f(a1)f(a3)f(a5)的值()A恒為正數(shù) B恒為負數(shù)C恒為0 D可正可負答案A解析由已知得f(0)0，a1a52a3>0，所以a1>a5.由于f(x)單調遞增且為奇函數(shù)，所以f(a1)f(a5)>f(a5)f(a5)0，又f(a3)>0，所以f(a1)f(a3)f(a5)>0.故選A.5在平面內點O是直線AB外一點，點C在直線AB上，若，則1；類似地，如果點O是空間內任一點，點A，B，C，D中任意三點均不共線，并且這四點在同一平面內，若xyz，則xyz等于()A0 B1C1 D1答案B解析在平面內，由三角形法則，得，.因為A，B，C三點共線，所以存在實數(shù)t，使t，即t()，所以(1).因為，所以，1，所以1.類似地，在空間內可得，1.因為，所以xyz1.故選B.6已知f(n)32n28n9，存在正整數(shù)m，使nN*時，能使m整除f(n)，則m的最大值為()A24 B32C48 D64答案D解析由f(1)64，f(2)7041164，f(3)6 52810264，所以f(1)，f(2)，f(3)均能被64整除，猜想f(n)能被64整除下面用數(shù)學歸納法證明：當n1時，由上得證；假設當nk(kN*)時，f(k)32k28k99k18k9能被64整除，則當nk1時，f(k1)9(k1)18(k1)999k18k179f(k)64(k1)由歸納假設，f(k)是64的倍數(shù)，又64(k1)是64的倍數(shù)，所以f(k1)能被64整除，所以當nk1時，猜想也成立因為f(1)不能被大于64的數(shù)整除，所以所求m的最大值等于64.故選D.二、填空題7如圖所示的是由火柴棒拼成的一列圖形，第n個圖形由n個正方形組成，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)第4個圖形中，火柴棒有_根；第n個圖形中，火柴棒有_根答案13,3n1解析易得第四個圖形中有13根火柴棒，通過觀察可得，每增加一個正方形，需增加三根火柴棒，所以第n個圖形中的火柴棒為43(n1)3n1.8平面內有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區(qū)域，則f(n)的表達式為_答案解析1條直線將平面分成11個區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1(12)4個區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1(123)7個區(qū)域；，n條直線最多可將平面分成1(123n)1個區(qū)域9(xx課標全國)甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們三人去過同一城市由此判斷乙去過的城市為_答案A解析由題意可推斷：甲沒去過B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過A，C城市，而乙“沒去過C城市”，說明乙去過城市A，由此可知，乙去過的城市為A.10對大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進行以下方式的“分裂”：23，33，43，.仿此，若m3的“分裂數(shù)”中有一個是59，則m_.答案8解析由已知可觀察出m3可分裂為m個連續(xù)奇數(shù)，最小的一個為(m1)m1.當m8時，最小的數(shù)為57，第二個便是59.所以m8.三、解答題11已知a，b，m為非零實數(shù)，且a2b22m0，12m0.(1)求證：；(2)求證：m.證明(1)(分析法)要證成立，只需證()(a2b2)9，即證149，即證4.根據(jù)基本不等式，有24成立，所以原不等式成立(2)(綜合法)因為a2b2m2，2m1，由(1)，知(m2)(2m1)9，即2m25m70，解得m1或m.又a2b2m2>0m>2,故m1舍去，m.12若不等式>對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明結論解方法一當n1時，>，即>，所以a<26.而a是正整數(shù)，所以取a25，下面用數(shù)學歸納法證明>.當n1時，已證得不等式成立假設當nk(kN*)時，不等式成立，即>.則當nk1時，有>因為>0，所以當nk1時不等式也成立由知，對一切正整數(shù)n，都有>，所以正整數(shù)a的最大值為25.方法二設f(n)則f(n1)f(n)>0，數(shù)列f(n)為遞增數(shù)列，f(n)minf(1)，>對一切正整數(shù)n都成立可轉化為<f(n)min，<，a<26.故正整數(shù)a的最大值為25.