2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練四 第1講 等差數(shù)列和等比數(shù)列 理.doc

2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練四 第1講 等差數(shù)列和等比數(shù)列 理考情解讀1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的綜合能力1an與Sn的關(guān)系Sna1a2an，an2等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義anan1常數(shù)(n2)常數(shù)(n2)通項(xiàng)公式ana1(n1)dana1qn1(q0)判定方法(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：2an1anan2(n1)an為等差數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：anpnq(p、q為常數(shù))an為等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn(A、B為常數(shù))an為等差數(shù)列(5)an為等比數(shù)列，an>0logaan為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：aanan2(n1)(an0) an為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：ancqn(c、q均是不為0的常數(shù)，nN*)an為等比數(shù)列(4)an為等差數(shù)列aan為等比數(shù)列(a>0且a1)性質(zhì)(1)若m、n、p、qN*，且mnpq，則amanapaq(2)anam(nm)d(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差數(shù)列(1)若m、n、p、qN*，且mnpq，則amanapaq(2)anamqnm(3)等比數(shù)列依次每n項(xiàng)和(Sn0)仍成等比數(shù)列前n項(xiàng)和Snna1d(1)q1，Sn(2)q1，Snna1熱點(diǎn)一等差數(shù)列例1(1)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a2a4a612，則S7的值是()A21 B24 C28 D7(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若1<a3<1,0<a6<3，則S9的取值范圍是_思維啟迪(1)利用a1a72a4建立S7和已知條件的聯(lián)系；(2)將a3，a6的范圍整體代入答案(1)C(2)(3,21)解析(1)由題意可知，a2a62a4，則3a412，a44，所以S77a428.(2)S99a136d3(a12d)6(a15d)又1<a3<1,0<a6<3，3<3(a12d)<3,0<6(a15d)<18，故3<S9<21.思維升華(1)等差數(shù)列問(wèn)題的基本思想是求解a1和d，可利用方程思想；(2)等差數(shù)列的性質(zhì)若m，n，p，qN*，且mnpq，則amanapaq；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差數(shù)列；aman(mn)dd(m，nN*)；(A2n1，B2n1分別為an，bn的前2n1項(xiàng)的和)(3)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題可以利用函數(shù)的性質(zhì)或者轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的項(xiàng)，利用性質(zhì)解決(1)已知等差數(shù)列an，滿足a31，a86，則此數(shù)列的前10項(xiàng)的和S10_.(2)在等差數(shù)列an中，a5<0，a6>0且a6>|a5|，Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)的和，則下列說(shuō)法正確的是()AS1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6均大于0BS1，S2，S5均小于0，S6，S7，均大于0CS1，S2，S9均小于0，S10，S11均大于0DS1，S2，S11均小于0，S12，S13均大于0答案(1)35(2)C解析(1)因?yàn)閍1a10a3a87，所以S1035.(2)由題意可知a6a5>0，故S10>0，而S99a5<0，故選C.熱點(diǎn)二等比數(shù)列例2(1)(xx安徽)數(shù)列an是等差數(shù)列，若a11，a33，a55構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q_.(2)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1a3，a2a4，則等于()A4n1 B4n1C2n1 D2n1思維啟迪(1)列方程求出d，代入q即可；(2)求出a1，q，代入化簡(jiǎn)答案(1)1(2)D解析(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3a12d，a5a14d，(a12d3)2(a11)(a14d5)，解得d1，q1.(2)由可得2，q，代入得a12，an2()n1，Sn4(1)，2n1，故選D.思維升華(1)an為等比數(shù)列，其性質(zhì)如下：若m、n、r、sN*，且mnrs，則amanaras；anamqnm；Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列(q1)(2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn能“知三求二”；注意討論公比q是否為1；a10.(1)已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列an滿足a42a3a80，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7a7，則b2b8b11等于()A1 B2C4 D8(2)在等比數(shù)列an中，a1an34，a2an164，且前n項(xiàng)和Sn62，則項(xiàng)數(shù)n等于()A4 B5C6 D7答案(1)D(2)B解析(1)a42a3a80，2aa43a8，即2a4a7，a72，b72，又b2b8b11b1qb1q7b1q10bq18(b7)38，故選D.(2)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a2an1a1an64，又a1an34，解得a12，an32或a132，an2.當(dāng)a12，an32時(shí)，Sn62，解得q2.又ana1qn1，所以22n12n32，解得n5.同理，當(dāng)a132，an2時(shí)，由Sn62，解得q.由ana1qn132()n12，得()n1()4，即n14，n5.綜上，項(xiàng)數(shù)n等于5，故選B.熱點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例3已知等差數(shù)列an的公差為1，且a2a7a126.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn；(2)將數(shù)列an的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來(lái)順序恰為等比數(shù)列bn的前3項(xiàng)，記bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，若存在mN*，使對(duì)任意nN*，總有Sn<Tm恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍思維啟迪(1)利用方程思想求出a1，代入公式求出an和Sn；(2)將恒成立問(wèn)題通過(guò)分離法轉(zhuǎn)化為最值解(1)由a2a7a126得a72，a14，an5n，從而Sn.(2)由題意知b14，b22，b31，設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則q，Tm81()m，()m隨m增加而遞減，Tm為遞增數(shù)列，得4Tm<8.又Sn(n29n)(n)2，故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使對(duì)任意nN*總有Sn<Tm，則10<4，得>6.即實(shí)數(shù)的取值范圍為(6，)思維升華等差(比)數(shù)列的綜合問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解法(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問(wèn)題，常用“基本量法”求解，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等的交匯問(wèn)題，求解時(shí)用等差(比)數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)、方程、不等式等問(wèn)題求解即可已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為a1，且，an，Sn成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn滿足bn(log2a2n1)(log2a2n3)，求證：<.(1)解，an，Sn成等差數(shù)列，2anSn，當(dāng)n1時(shí)，2a1S1，a1，當(dāng)n2時(shí)，Sn2an，Sn12an1，兩式相減得anSnSn12an2an1，2，數(shù)列an是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，an2n12n2.(2)證明bn(log2a2n1)(log2a2n3)log222n12log222n32(2n1)(2n1)，()，(1)()()(1)<(nN*)即<.1在等差(比)數(shù)列中，a1，d(q)，n，an，Sn五個(gè)量中知道其中任意三個(gè)，就可以求出其他兩個(gè)解這類問(wèn)題時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)a1和公差d(公比q)這兩個(gè)基本量的有關(guān)運(yùn)算2等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形3等差、等比數(shù)列的單調(diào)性(1)等差數(shù)列的單調(diào)性d>0an為遞增數(shù)列，Sn有最小值d<0an為遞減數(shù)列，Sn有最大值d0an為常數(shù)列(2)等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)或時(shí)，an為遞增數(shù)列，當(dāng)或時(shí)，an為遞減數(shù)列4常用結(jié)論(1)若an，bn均是等差數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和，則mankbn，仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)(2)若an，bn均是等比數(shù)列，則can(c0)，|an|，anbn，manbn(m為常數(shù))，a，仍為等比數(shù)列(3)公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項(xiàng)的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即a2a1，a3a2，a4a3，成等比數(shù)列，且公比為q.(4)等比數(shù)列(q1)中連續(xù)k項(xiàng)的和成等比數(shù)列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比數(shù)列，其公差為qk.等差數(shù)列中連續(xù)k項(xiàng)的和成等差數(shù)列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差數(shù)列，公差為k2d.5易錯(cuò)提醒(1)應(yīng)用關(guān)系式an時(shí)，一定要注意分n1，n2兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起(2)三個(gè)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列的充要條件是b，但三個(gè)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2ac.真題感悟1(xx大綱全國(guó))等比數(shù)列an中，a42，a55，則數(shù)列l(wèi)g an的前8項(xiàng)和等于()A6 B5 C4 D3答案C解析數(shù)列l(wèi)g an的前8項(xiàng)和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4lg(a4a5)4lg(25)44.2(xx北京)若等差數(shù)列an滿足a7a8a9>0，a7a10<0，則當(dāng)n_時(shí)，an的前n項(xiàng)和最大答案8解析a7a8a93a8>0，a8>0.a7a10a8a9<0，a9<a8<0.數(shù)列的前8項(xiàng)和最大，即n8.押題精練1已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則下列一定成立的是()A若a3>0，則a2 013<0B若a4>0，則a2 014<0C若a3>0，則a2 013>0D若a4>0，則a2 014>0答案C解析因?yàn)閍3a1q2，a2 013a1q2 012，而q2與q2 012均為正數(shù)，若a3>0，則a1>0，所以a2 013>0，故選C.2已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，bn.若對(duì)任意的nN*，都有bnb8成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)答案(8，7)解析ana(n1)1na1，所以bn，因?yàn)閷?duì)任意的nN*，都有bnb8成立，即(nN*)恒成立，即0(nN*)，則有解得8<a<7.3設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足a4Sn4n1，nN*，且a2，a5，a14恰好是等比數(shù)列bn的前三項(xiàng)(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，若對(duì)任意的nN*，(Tn)k3n6恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解(1)當(dāng)n2時(shí)，由題設(shè)知4Sn1a4(n1)1，4an4Sn4Sn1aa4，aa4an4(an2)2，an>0，an1an2.當(dāng)n2時(shí)，an是公差d2的等差數(shù)列a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，aa2a14，(a26)2a2(a224)，解得a23，由條件可知，4a1a54，a11，a2a1312，an是首項(xiàng)a11，公差d2的等差數(shù)列等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.等比數(shù)列bn的公比q3，等比數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn3n.(2)Tn，()k3n6對(duì)任意的nN*恒成立，k對(duì)任意的nN*恒成立，令cn，cncn1，當(dāng)n3時(shí)，cn>cn1；當(dāng)n4時(shí)，cn<cn1.(cn)maxc3，k.(推薦時(shí)間：60分鐘)一、選擇題1設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知3S3a42,3S2a32，則公比q等于()A3 B4 C5 D6答案B解析3S3a42,3S2a32，兩式相減得3a3a4a3，a44a3，q4.2設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若2a66a7，則S9的值是()A27 B36C45 D54答案D解析由2a66a7得a56，所以S99a554.故選D.3設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm15，Sm11，Sm121，則m等于()A3 B4C5 D6答案C解析由已知得，SmSm1am16，Sm1Smam132，故公比q2，又Sm11，故a11，又ama1qm116，代入可求得m5.4數(shù)列an的首項(xiàng)為3，bn為等差數(shù)列且bnan1an(nN*)，若b32，b1012，則a8等于()A0 B3 C8 D11答案B解析bn為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，由b32，b1012，7db10b312(2)14，d2，b32，b1b32d246，b1b2b77b1d7(6)2120，又b1b2b7(a2a1)(a3a2)(a8a7)a8a1a83，a830，a83.故選B.5數(shù)列an滿足a12，an，其前n項(xiàng)積為T(mén)n，則T2 014等于()A. BC6 D6答案D解析由an得an1，而a12，所以a23，a3，a4，a52，則數(shù)列是以4為周期，且a1a2a3a41，所以T2 014(a1a2a3a4)503a1a215032(3)6，故選D.6已知an是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S21S4 000，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1，an)，Q(2 011，a2 011)，則等于()A2 011 B2 011 C0 D1答案A解析由S21S4 000得a22a23a4 0000，由于a22a4 000a23a3 9992a2 011，所以a22a23a4 0003 979a2 0110，從而a2 0110，而2 011a2 011an2 011.二、填空題7在等比數(shù)列an中，已知a1a38，a5a74，則a9a11a13a15_.答案3解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由已知，得解得q4.又a9a11a1q8a3q8(a1a3)q88()22，a13a15a1q12a3q12(a1a3)q128()31，所以a9a11a13a15213.8(xx廣東)若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_.答案50解析因?yàn)閍10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.9設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a111，a4a66，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n_.答案6解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由a4a66得2a56，a53.又a111，3114d，d2，Sn11n2n212n(n6)236，故當(dāng)n6時(shí)，Sn取最小值10已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a12，且an1(a1a2an) (nN*)，記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則Sn_，an_.答案2n1解析由an1(a1a2an) (nN*)，可得an1Sn，所以Sn1SnSn，即Sn1Sn，由此可知數(shù)列Sn是一個(gè)等比數(shù)列，其中首項(xiàng)S1a12，公比為，所以Sn2n1，由此得an三、解答題11成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列bn中的b3、b4、b5.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列Sn是等比數(shù)列(1)解設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為ad，a，ad.依題意，得adaad15.解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3項(xiàng)為5，公比為2.由b3b122，即5b122，解得b1.所以bnb1qn12n152n3，即數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bn52n3.(2)證明由(1)得數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn52n2，即Sn52n2.所以S1，2.因此Sn是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列12若數(shù)列bn對(duì)于nN*，都有bn2bnd(常數(shù))，則稱數(shù)列bn是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列，如數(shù)列cn，若cn則數(shù)列cn是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列設(shè)數(shù)列an滿足a1a，對(duì)于nN*，都有anan12n.(1)求證：an為準(zhǔn)等差數(shù)列；(2)求an的通項(xiàng)公式及前20項(xiàng)和S20.(1)證明an1an2n，an2an12n2.由得an2an2(nN*)，an是公差為2的準(zhǔn)等差數(shù)列(2)解已知a1a，an1an2n(nN*)，a1a22，即a22a.由(1)可知a1，a3，a5，成以a為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，a2，a4，a6，成以2a為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an2a(1)2na，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，ana(1)2na1，anS20a1a2a19a20(a1a2)(a3a4)(a19a20)21232192200. 13(xx湖北)已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2a3a418.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)是否存在正整數(shù)n，使得Sn2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說(shuō)明理由解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a10，q0.由題意得即解得故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3(2)n1.(2)由(1)有Sn1(2)n.假設(shè)存在n，使得Sn2 013，則1(2)n2 013，即(2)n2 012.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(2)n>0，上式不成立；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(2)n2n2 012，即2n2 012，得n11.綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為n|n2k1，kN，k5