初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第18講 圓的基本性質(zhì)

第十八講 圓的基本性質(zhì) 到定點(diǎn)(圓心)等于定長(zhǎng)(半徑)的點(diǎn)的集合叫圓，圓常被人們看成是最完美的事物，圓的圖形在人類進(jìn)程中打下深深的烙印 圓的基本性質(zhì)有：一是與圓相關(guān)的基本概念與關(guān)系，如弦、弧、弦心距、圓心角、圓周角等；二是圓的對(duì)稱性，圓既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，又是一中心對(duì)稱圖形用圓的基本性質(zhì)解題應(yīng)注意： 1熟練運(yùn)用垂徑定理及推論進(jìn)行計(jì)算和證明； 2了解弧的特性及中介作用； 3善于促成同圓或等圓中不同名稱等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化熟悉如下基本圖形、基本結(jié)論：【例題求解】【例1】在半徑為1的O中，弦AB、AC的長(zhǎng)分別為和，則BAC度數(shù)為 作出輔助線，解直角三角形，注意AB與AC有不同的位置關(guān)系注： 由圓的對(duì)稱性可引出許多重要定理，垂徑定理是其中比較重要的一個(gè)，它溝通了線段、角與圓弧的關(guān)系，應(yīng)用的一般方法是構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形知識(shí)結(jié)合起來(lái)圓是一個(gè)對(duì)稱圖形，注意圓的對(duì)稱性，可提高解與圓相關(guān)問(wèn)題周密性 【例2】 如圖，用3個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成一個(gè)對(duì)稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為( ) A B C D 思路點(diǎn)撥 所作最小圓圓心應(yīng)在對(duì)稱軸上，且最小圓應(yīng)盡可能通過(guò)圓形的某些頂點(diǎn)，通過(guò)設(shè)未知數(shù)求解1 / 10 【例3】 如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D順次在O上，AB=BD，BMAC于M，求證：AM=DC+CM 思路點(diǎn)撥 用截長(zhǎng)(截AM)或補(bǔ)短(延長(zhǎng)DC)證明，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段相等的證明，證題的關(guān)鍵是促使不同量的相互轉(zhuǎn)換并突破它 【例4】 如圖甲，O的直徑為AB，過(guò)半徑OA的中點(diǎn)G作弦C EAB，在CB上取一點(diǎn)D，分別作直線CD、ED，交直線AB于點(diǎn)F，M (1)求COA和FDM的度數(shù)； (2)求證：FDMCOM； (3)如圖乙，若將垂足G改取為半徑OB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D改取在EB上，仍作直線CD、ED，分別交直線AB于點(diǎn)F、M，試判斷：此時(shí)是否有FDMCOM? 證明你的結(jié)論 思路點(diǎn)撥 (1)在RtCOG中，利用OG=OA=OC；(2)證明COM=FDM，CMO=FMD；(3)利用圖甲的啟示思考注：善于促成同圓或等圓中不同名稱的相互轉(zhuǎn)化是解決圓的問(wèn)題的重要技巧，此處，要努力把圓與直線形相合起來(lái)，認(rèn)識(shí)到圓可為解與直線形問(wèn)題提供新的解題思路，而在解與圓相關(guān)問(wèn)題時(shí)常用到直線形的知識(shí)與方法(主要是指全等與相似) 【例5】 已知：在ABC中，AD為BAC的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M，且B=CAE，EF：FD4：3(1)求證：AFDF；(2)求AED的余弦值；(3)如果BD10，求ABC的面積 思路點(diǎn)撥 (1)證明ADEDAE；(2)作ANBE于N，cosAED，設(shè)FE=4x，F(xiàn)D3x，利用有關(guān)知識(shí)把相關(guān)線段用x的代數(shù)式表示；(3)尋找相似三角形，運(yùn)用比例線段求出x的值注：本例的解答，需運(yùn)用相似三角形、等腰三角形的判定、面積方法、代數(shù)化等知識(shí)方法思想，綜合運(yùn)用直線形相關(guān)知識(shí)方法思想是解與圓相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵 學(xué)歷訓(xùn)練1D是半徑為5cm的O內(nèi)一點(diǎn)，且OD3cm，則過(guò)點(diǎn)D的所有弦中，最小弦AB= 2閱讀下面材料：對(duì)于平面圖形A，如果存在一個(gè)圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形A被這個(gè)圓所覆蓋 對(duì)于平面圖形A，如果存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到其中某個(gè)圓的圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋例如：圖甲中的三角形被一個(gè)圓所覆蓋，圖乙中的四邊形被兩個(gè)圓所覆蓋 回答下列問(wèn)題：(1)邊長(zhǎng)為lcm的正方形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是 cm； (2)邊長(zhǎng)為lcm的等邊三角形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是 cm； (3)長(zhǎng)為2cm，寬為lcm的矩形被兩個(gè)半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是 cm (2003年南京市中考題)3世界上因?yàn)橛辛藞A的圖案，萬(wàn)物才顯得富有生機(jī)，以下來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活的圖形中都有圓：它們看上去多么美麗與和諧，這正是因?yàn)閳A具有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱性 (1)請(qǐng)問(wèn)以下三個(gè)圖形中是軸對(duì)稱圖形的有 ，是中心對(duì)稱圖形的有 (分別用下面三個(gè)圖的代號(hào)a，b，c填空) (2)請(qǐng)你在下面的兩個(gè)圓中，按要求分別畫(huà)出與上面圖案不重復(fù)的圖案(草圖) (用尺規(guī)畫(huà)或徒手畫(huà)均可，但要盡可能準(zhǔn)確些，美觀些)a是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形 b既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形4如圖，AB是O的直徑，CD是弦，若AB=10cm，CD8cm，那么A、B兩點(diǎn)到直線CD的距離之和為( )A12cm B10cm C 8cm D6cm 5一種花邊是由如圖的弓形組成的，ACB的半徑為5，弦AB8，則弓形的高CD為( )A2 B C3 D 6如圖，在三個(gè)等圓上各自有一條劣弧AB、CD、EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD與E的大小關(guān)系是（ ）AAB+CDEF BAB+CD=F C AB+CD<EF D不能確定7電腦CPU芯片由一種叫“單晶硅”的材料制成，未切割前的單晶硅材料是一種薄形圓片，叫“晶圓片”現(xiàn)為了生產(chǎn)某種CPU芯片，需要長(zhǎng)、寬都是1cm的正方形小硅片若干如果晶圓片的直徑為1005cm，問(wèn)：一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張?請(qǐng)說(shuō)明你的方法和理由(不計(jì)切割損耗) 8如圖，已知O的兩條半徑OA與OB互相垂直，C為AmB上的一點(diǎn)，且AB2+OB2=BC2，求OAC的度數(shù) 9不過(guò)圓心的直線交O于C、D兩點(diǎn)，AB是O的直徑，AE，垂足為E，BF，垂足為F(1)在下面三個(gè)圓中分別補(bǔ)畫(huà)出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形；(2)請(qǐng)你觀察(1)中所畫(huà)圖形，寫(xiě)出一個(gè)各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論(不再標(biāo)注其他字母，找結(jié)論的過(guò)程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫(xiě)推理過(guò)程)；(3)請(qǐng)你選擇(1)中的一個(gè)圖形，證明(2)所得出的結(jié)論 10以AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O，C是半圓上一點(diǎn)，且OC2ACBC， 則CAB= 11如圖，把正三角形ABC的外接圓對(duì)折，使點(diǎn)A落在BC的中點(diǎn)A上，若BC=5，則折痕在ABC內(nèi)的部分DE長(zhǎng)為 12如圖，已知AB為O的弦，直徑MN與AB相交于O內(nèi)，MCAB于C，NDAB于D，若MN=20，AB=，則MCND= 13如圖，已知O的半徑為R，C、D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點(diǎn)，AC的度數(shù)為96，BD的度數(shù)為36，動(dòng)點(diǎn)P在AB上，則CP+PD的最小值為 14如圖1，在平面上，給定了半徑為r的圓O，對(duì)于任意點(diǎn)P，在射線OP上取一點(diǎn)P，使得OPOP=r2，這種把點(diǎn)P變?yōu)辄c(diǎn)P的變換叫作反演變換，點(diǎn)P與點(diǎn)P叫做互為反演點(diǎn) (1)如圖2，O內(nèi)外各有一點(diǎn)A和B，它們的反演點(diǎn)分別為A和B，求證：A=B；(2)如果一個(gè)圖形上各點(diǎn)經(jīng)過(guò)反演變換得到的反演點(diǎn)組成另一個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形叫做互為反演圖形 選擇：如果不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線與O相交，那么它關(guān)于O的反演圖形是( ) A一個(gè)圓 B一條直線 C一條線段 D兩條射線填空：如果直線與O相切，那么它關(guān)于O的反演圖形是 ，該圖形與圓O的位置關(guān)系是 15如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓O，對(duì)角線AC是直徑，對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)為P，AB=BD，且PC=06，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)16如圖，已知圓內(nèi)接ABC中，AB>AC，D為BAC的中點(diǎn)，DEAB于E，求證：BD2-AD2=ABAC 17將三塊邊長(zhǎng)均為l0cm的正方形煎餅不重疊地平放在圓碟內(nèi)，則圓碟的直徑至少是多少?(不考慮其他因素，精確到01cm)18如圖，直徑為13的O，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，并且與軸、軸分別交于A、B兩點(diǎn)，線段OA、OB(OA>OB)的長(zhǎng)分別是方程的兩根 (1)求線段OA、OB的長(zhǎng)； (2)已知點(diǎn)C在劣弧OA上，連結(jié)BC交OA于D，當(dāng)OC2=CDCB時(shí)，求C點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在O，上是否存在點(diǎn)P，使SPOD=SABD?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 參考答案 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！