數(shù)學(xué)物理方程第四章二階線(xiàn)性偏微分方程的分類(lèi)與總結(jié).ppt

1二階線(xiàn)性偏微分方程的分類(lèi),第四章二階線(xiàn)性偏微分方程的分類(lèi)與總結(jié),3三類(lèi)方程的比較,在前面的章節(jié)中，我們分別討論了弦振動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程與拉普拉斯方程。這三類(lèi)方程的形狀很特殊，它們是二階線(xiàn)性偏微分方程的三個(gè)典型代表。一般形式的二階線(xiàn)性偏微分方程之間的共性和差異，往往可以從對(duì)這三類(lèi)方程的研究中得到。本章中，我們將以這三類(lèi)方程的知識(shí)為基礎(chǔ)，研究一般形式的二階線(xiàn)性偏微分方程，并對(duì)這三類(lèi)方程的性質(zhì)進(jìn)行比較深入的分類(lèi)和總結(jié)。,1.1兩個(gè)自變量的方程,1二階線(xiàn)性偏微分方程的分類(lèi),1.2兩個(gè)自變量的二階線(xiàn)性偏微分方程的化簡(jiǎn),1.3方程的分類(lèi),1二階線(xiàn)性偏微分方程的分類(lèi),遵循由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知規(guī)律，我們先研究?jī)蓚€(gè)自變量的二階線(xiàn)性偏微分方程的分類(lèi)問(wèn)題。前面遇到的一維熱傳導(dǎo)方程、弦振動(dòng)方程和二維拉普拉斯方程都是兩個(gè)自變量的二階線(xiàn)性偏微分方程。不過(guò)它們的形式特殊，若用(x,y)記自變量，一般的二階線(xiàn)性方程總可以寫(xiě)成如下的形狀,1-1兩個(gè)自變量的方程,在前面弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法(行波法)的學(xué)習(xí)中，我們已看到變量變換的意義。變換是研究微分方程的一個(gè)有效手段，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q往往可以把復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的，把不易求解的方程轉(zhuǎn)化為容易求解的。方程(4.1)的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)稱(chēng)為它的主部?，F(xiàn)在研究在什么樣的自變量變換下，方程的主部可以得到簡(jiǎn)化。,1-1兩個(gè)自變量的方程,1-2兩個(gè)自變量的二階線(xiàn)性偏微分方程的化簡(jiǎn),設(shè)(x0,y0)是區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)，在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)對(duì)方程(1)進(jìn)行簡(jiǎn)化。為此我們作下面的自變量變換,在高等數(shù)學(xué)中，我們已經(jīng)知道：如果上述變換是二次連續(xù)可微的，且雅可比行列式,在(x0,y0)點(diǎn)不為零，那么在點(diǎn)(x0,y0)的鄰域內(nèi)，變換(4.3)是可逆的，也就是存在逆變換,也就是說(shuō)，方程(4.1)可以采用新的自變量,表示為,運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,1-2兩個(gè)自變量的二階線(xiàn)性偏微分方程的化簡(jiǎn),注意到(4.7)的第一個(gè)和第三個(gè)等式形式完全相同，因此，如果我們能選擇到方程,的兩個(gè)函數(shù)無(wú)關(guān)的解1(x,y)和2(x,y)，那么，將變換取為=1(x,y)和=2(x,y)，方程(4.6)的系數(shù)。,這樣就達(dá)到了簡(jiǎn)化方程(4.1)的主部的目的。下面考察這種選取的可能性。,1-2兩個(gè)自變量的二階線(xiàn)性偏微分方程的化簡(jiǎn),我們知道，方程(4.8)的求解可以轉(zhuǎn)化為下述常微分方程在(x,y)平面上的積分曲線(xiàn)問(wèn)題：,設(shè)1(x,y)=c是方程(4.9)的一族積分曲線(xiàn)，則z=1(x,y)是方程(4.8)的一個(gè)解。稱(chēng)方程(4.9)的積分曲線(xiàn)為方程(4.8)的特征線(xiàn)，方程(4.9)有時(shí)也稱(chēng)為方程(4.8)的特征方程。,顯然方程(4.9)可以分解為兩個(gè)方程,1-2兩個(gè)自變量的二階線(xiàn)性偏微分方程的化簡(jiǎn),這樣根據(jù)的符號(hào)不同，我們可以選取相應(yīng)的變換代入方程(4.6)，從而得到不同的化簡(jiǎn)形式,這三個(gè)方程分別稱(chēng)為二階線(xiàn)性偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。,1-2兩個(gè)自變量的二階線(xiàn)性偏微分方程的化簡(jiǎn),由前面的討論可知，方程(4.1)通過(guò)自變量的可逆變換(4.3)化為那一種標(biāo)準(zhǔn)形式，主要決定于它的主部系數(shù)。也就是說(shuō)由l,m平面上的二次曲線(xiàn)的性質(zhì)而定。由于這個(gè)曲線(xiàn)可以是橢圓、雙曲線(xiàn)或拋物線(xiàn)，因此我們相應(yīng)地定義方程在一點(diǎn)的類(lèi)型如下：若方程(4.1)的主部系數(shù)在區(qū)域中某一點(diǎn)(x0，y0)滿(mǎn)足,則稱(chēng)方程在點(diǎn)(x0，y0)是雙曲型的；,則稱(chēng)方程在點(diǎn)(x0，y0)是橢圓型的。,則稱(chēng)方程在點(diǎn)(x0，y0)是拋物型的;,相應(yīng)地，(4.12)、(4.13)和(4.14)這三個(gè)方程分別稱(chēng)為雙曲型、拋物型和橢圓型(二階線(xiàn)性)偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。,1-3方程的分類(lèi),如果方程在區(qū)域中每一點(diǎn)上均為雙曲型，那么我們稱(chēng)方程在區(qū)域中是雙曲型的。類(lèi)似的，對(duì)橢圓型和拋物型也有同樣的定義。如果一個(gè)方程在區(qū)域中的一部分區(qū)域表現(xiàn)為雙曲型，在另一部分表現(xiàn)為橢圓型，而在分界面上表現(xiàn)為拋物型，那么，這樣的方程在在區(qū)域中稱(chēng)為混合型的。舉例：容易看出，如果點(diǎn)(x0，y0)上方程(4.1)表現(xiàn)為雙曲型或橢圓型，那么一定存在該點(diǎn)的一個(gè)領(lǐng)域，使方程在這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)是雙曲型或橢圓型的。但如果這個(gè)點(diǎn)上方程(4.1)表現(xiàn)為拋物型，則不一定存在一個(gè)領(lǐng)域，使方程在這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)表現(xiàn)為拋物型。按照剛才的分類(lèi)方法，很容易看出一維弦振動(dòng)方程是雙曲型的，一維熱傳導(dǎo)方程是拋物型的，二維拉普拉斯方程是橢圓型的。前面我們已經(jīng)知道，以上三種方程描述的自然現(xiàn)象的本質(zhì)不同，其解的性質(zhì)也各異。這也從側(cè)面說(shuō)明了我們對(duì)二階線(xiàn)性偏微分方程所進(jìn)行的分類(lèi)是有其深刻的原因的。例如，空氣動(dòng)力學(xué)中，對(duì)于定常Euler方程而言，它在亞音速流動(dòng)中表現(xiàn)為橢圓型方程，在超音速流動(dòng)中表現(xiàn)為雙曲型，在跨音速流動(dòng)中表現(xiàn)為混合型。而對(duì)于非定常Euler方程而言，它始終表現(xiàn)為雙曲型。,1-3方程的分類(lèi),例題：把方程,分類(lèi)并化為標(biāo)準(zhǔn)形式,解：該方程的,故該方程是拋物型的。,顯然，該方程的特征方程為：,從而得到方程的一族特征線(xiàn)為：,作自變量代換,(由于和必須函數(shù)無(wú)關(guān),所以宜取最簡(jiǎn)單的函數(shù)形式,即=x或=y),于是，原方程化簡(jiǎn)后的標(biāo)準(zhǔn)形式為：,1-3方程的分類(lèi),練習(xí)題：例1、2，P100101；習(xí)題2、3，P102103。,1.1線(xiàn)性方程的疊加原理,3三類(lèi)方程的比較,1.2解的性質(zhì)的比較,1.3定解問(wèn)題的提法比較,現(xiàn)在我們以前面各章對(duì)三類(lèi)典型方程的研究為基礎(chǔ)，就雙曲型方程、拋物型方程和橢圓型方程這三種不同類(lèi)型的方程的解的性質(zhì)、定解問(wèn)題的提法等方面進(jìn)行分析和總結(jié)。我們將看到：這三類(lèi)方程在其系數(shù)的代數(shù)性質(zhì)上的差別實(shí)際上反映著許多本質(zhì)的差異。,3三類(lèi)方程的比較,3三類(lèi)方程的比較,3-1線(xiàn)性方程的疊加原理共性,線(xiàn)性方程的共性是滿(mǎn)足疊加原理。前面的學(xué)習(xí)中，我們多次利用疊加原理把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行求解。分離變量法和齊次化原理實(shí)際上都是疊加原理的具體應(yīng)用。,（以熱傳導(dǎo)方程為例）,疊加原理I,疊加原理II,疊加原理III,疊加原理IV,三類(lèi)典型方程在數(shù)學(xué)性質(zhì)上的差異往往是相應(yīng)的物理現(xiàn)象的本質(zhì)差異在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)。下面我們以三類(lèi)典型方程(波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯方程)為例來(lái)敘述其差別。對(duì)于一般的變系數(shù)方程，情況更復(fù)雜一些，但類(lèi)似結(jié)論仍然成立。,3三類(lèi)方程的比較,3-2解的性質(zhì)的比較差異,1）解的光滑性對(duì)于不同類(lèi)型的方程來(lái)說(shuō)，解的光滑性可以很不相同。對(duì)于弦振動(dòng)方程來(lái)說(shuō)，如果初始條件中高階的導(dǎo)數(shù)不存在，那么解的高階導(dǎo)數(shù)也就不存在；對(duì)于熱傳導(dǎo)方程，只要初始條件是有界的，那么其解是無(wú)窮可微的；對(duì)于拉普拉斯方程，它的解的光滑性更好，其解在定義域內(nèi)都是解析函數(shù)。課本上從物理角度對(duì)上述解的光滑性差異進(jìn)行了解釋。下面的圖形形象地反映了不同類(lèi)型方程的解的光滑性。,2）解的極值性質(zhì)熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯方程都存在極值原理，但它們所采取的形式是有區(qū)別的。拉普拉斯方程解的極值只可能存在于邊界。至于熱傳導(dǎo)方程，區(qū)域內(nèi)部的最大值不能超過(guò)區(qū)域初始時(shí)刻和邊界面上的最大值。雙曲型方程通常不存在極值原理，這是因?yàn)椴ㄔ诏B加時(shí)可以出現(xiàn)擾動(dòng)增大的情況。,3）影響區(qū)和依賴(lài)區(qū)從影響區(qū)和依賴(lài)區(qū)來(lái)看，三類(lèi)方程也有很大區(qū)別。波動(dòng)方程的擾動(dòng)是以有限速度傳播的，因而其影響區(qū)和依賴(lài)區(qū)是錐體狀的。對(duì)熱傳導(dǎo)方程而言，其擾動(dòng)傳播進(jìn)行的十分迅速，某個(gè)點(diǎn)的其影響區(qū)是該點(diǎn)以上的整個(gè)上半平面，依賴(lài)區(qū)是整個(gè)初始值區(qū)間。拉普拉斯方程表示定常狀態(tài)或平衡狀態(tài)，因此不存在擾動(dòng)傳播的問(wèn)題。,4）關(guān)于時(shí)間的反演一物理狀態(tài)的變化是否可逆，在數(shù)學(xué)上反映為所歸結(jié)出來(lái)的方程關(guān)于時(shí)間變量是否是對(duì)稱(chēng)的，即以t代替t后方程是否不變化。拉普拉斯方程不存在此問(wèn)題，雙曲型方程是可逆的，熱傳導(dǎo)方程是不可逆的,橢圓型方程：定解問(wèn)題中只有邊界條件而沒(méi)有初始條件。故一般不提初邊值問(wèn)題和柯西問(wèn)題。拋物型方程：可以提初邊值問(wèn)題和柯西問(wèn)題，其初始條件只需給出一個(gè)。雙曲型方程：可以提初邊值問(wèn)題和柯西問(wèn)題，其初始條件需要給出兩個(gè)。定解問(wèn)題適定性：存在性、唯一性、穩(wěn)定性課本給出了不穩(wěn)定的定解問(wèn)題的例子。對(duì)于弦振動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程，一般我們是不能提出狄利克雷問(wèn)題（同時(shí)指定t0和tt0時(shí)刻的未知函數(shù)取值），因?yàn)檫@樣的定解問(wèn)題一般是無(wú)解的。,3-3定解問(wèn)題的提法比較差異,復(fù)習(xí)要點(diǎn)：1、達(dá)朗貝爾公式及其物理意義。2、齊次化原理（方程自由項(xiàng)、邊界條件齊次化的方法）。3、分離變量法求解弦振動(dòng)方程和一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題。（涉及常微分方程的內(nèi)容，注意復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容）4、從物理模型如何得出具體的定解問(wèn)題。5、定解條件和定解問(wèn)題的類(lèi)型、定解問(wèn)題適定性。6、二階線(xiàn)性偏微分方程的分類(lèi)與標(biāo)準(zhǔn)形式化簡(jiǎn)。,