彈性力學(xué)空間問題解答.ppt

第七章彈性力學(xué)空間問題,（參考教材第6、7章）,空間問題求解的基本思路與平面問題相同，只是問題的維數(shù)從二維擴(kuò)展到三維，求解更復(fù)雜。,7-1空間問題的基本方程,1.平衡微分方程方程,2.幾何方程,3.物理方程,各種彈性常數(shù)之間的關(guān)系,4.相容方程,5.邊界條件：,位移邊界條件：對于給定的表面Su，其上沿x，y，z方向給定位移為，則,應(yīng)力邊界條件：給定表面上的面力為,求解空間問題同樣有位移法、應(yīng)力法和應(yīng)力函數(shù)法三種方法。,1.位移法：將幾何方程代入物理方程，得到用位移表示的應(yīng)力分量，再將應(yīng)力分量代入平衡方程和應(yīng)力邊界條件，即得到空間問題的位移法控制方程。,2.應(yīng)力法：以應(yīng)力作為基本未知量。將相容方程用應(yīng)力表示應(yīng)力控制方程,3.應(yīng)力函數(shù)法：先引入應(yīng)力函數(shù)，滿足微分平衡方程。由微分平衡方程得應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系，再將用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量代入相容方程，得到一組用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，即應(yīng)力函數(shù)表示的控制方程。,7-2柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下的基本方程,一.柱坐標(biāo)系下的基本方程,直角坐標(biāo)系下，空間一點(diǎn)M的位置由（x,y,z）表示，在柱坐標(biāo)系下，空間一點(diǎn)M的位置由（r,q,z）表示。兩坐標(biāo)間的關(guān)系為：,在柱坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量為,應(yīng)變分量為,位移分量為,柱坐標(biāo)表示的基本方程,1.平衡方程,（7-1）,2.幾何方程,（7-2）,3.物理方程,（7-3）,或,（7-4）,當(dāng)物體的幾何形狀、約束情況以及外力都對稱于z軸時(shí)，則稱為空間軸對稱問題。在空間軸對稱問題中，有：,應(yīng)力分量、應(yīng)變分量、位移分量僅是r，z的函數(shù)，與q無關(guān)。,（7-5）,4.空間軸對稱問題的基本方程,(1)平衡方程：將式（7-5）代入式（7-1），得,（7-6）,(2)幾何方程：將式（7-5）代入式（7-2），得,（7-7）,(3)物理方程：將式（7-5）代入式（7-4），得,（7-8）,(4)空間軸對稱問題位移求解的基本方程,空間軸對稱問題共有四個(gè)應(yīng)力分量，兩個(gè)位移分量。以位移求解更方便。,將幾何方程（7-7）代入物理方程（7-8），得,（7-9）,將式（7-9）代入平衡方程（7-6），化簡后得,（7-10）,不計(jì)體力：,（7-11）,位移控制方程,為求得式（7-11）的解，拉甫（Love,A.E.H）引進(jìn)一個(gè)位移函數(shù)，它和位移分量有如下關(guān)系：,（7-12）,將式（7-12）代入式（7-11），其中第一式滿足，第二式為：,表明為雙調(diào)和函數(shù)，稱為拉甫位移函數(shù)。,（7-13）,將式（7-12）代入式（7-9）,得應(yīng)力分量與位移函數(shù)的關(guān)系式:,對空間軸對稱問題，只要找到滿足式（7-13）的位移函數(shù)，代入式（7-12）和式（7-14）求出位移和應(yīng)力分量。如能滿足邊界條件，即為問題的解。,（7-14）,拉甫位移函數(shù)的量綱比應(yīng)力分量高三次,球坐標(biāo)表示的基本方程（自學(xué)）,見教材P144145,7-3半空間體在邊界上受法向集中力,設(shè)有一半空間體，不計(jì)體力，在水平邊界受法向集中力P作用。,x,y,z,M(r，z),r,z,選P的作用點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，Oz軸與P的作用線重合。水平邊界面為xOy面。,應(yīng)力邊界條件：,在半空間體中過任一點(diǎn)M（r，z），作與邊界平面平行的水平截面，取半空間體的上部分，在z方向有平衡條件,（a）,（b）,由因次分析，設(shè)想體內(nèi)的應(yīng)力分量表達(dá)式是力P與坐標(biāo)r，z等長度坐標(biāo)的負(fù)二次冪相乘，即,位移函數(shù)比應(yīng)力分量高三次，即位移函數(shù)應(yīng)為P與r,z等長度坐標(biāo)的正一次相乘的形式。同時(shí)，隨M點(diǎn)離O點(diǎn)越遠(yuǎn)，位移越小，即與R成反比。為此，設(shè),代入式（7-12）和式（7-14），得位移分量和應(yīng)力分量,（c）,（d）,將應(yīng)力分量式（e）代入邊界條件（a），式（a）第一式滿足，但式（a）第二式不滿足。,（e）,（f）,為使邊界條件（a）的第二式滿足，應(yīng)疊加一個(gè)位移函數(shù)，它在z=0處有，且給出的能與式（f）抵消。疊加的位移函數(shù)應(yīng)是雙調(diào)和函數(shù)，且是長度坐標(biāo)的零次冪。由此條件，試算后，取,（g）,對應(yīng)的位移分量和應(yīng)力分量為：,（h）,兩個(gè)位移函數(shù)式(e)和式（h）疊加后，邊界條件（a）的第一式仍滿足，第二式為：,即,由平衡條件（b），得,（i）,（j）,由式（i）和式（j），得,最終的位移分量和應(yīng)力分量為：,（k）,（l）,由式（k）的第二式可見，水平邊界上任意一點(diǎn)的垂直位移（即工程中關(guān)心的地表沉陷量）為,