線性方程組的求解.ppt

1,第一節(jié)線性方程組的求解,一、克拉默法則二、線性方程組的消元法三、小結(jié),第二章線性方程組,2,一、克拉默法則,下面是行列式在一類特殊的線性方程組中的應(yīng)用,利用n階行列式求解方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)都是n，且系數(shù)行列式不為零的線性方程組,3,定理2.1.1(克拉默法則),如果線性方程組,的系數(shù)矩陣,的行列式,則方程組(2.1.1)有唯一解,(j=1,2,n).(2.1.2),4,其中,(j=1,2,n).,若線性方程組(2.1.1)無解或有兩個(gè)以上不同的解,則,齊次與非齊次線性方程組的概念,常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組,否則稱為非齊次線性方程組,推論2.1.1,5,對于n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組,(2.1.5),(i=1,2,n)為齊次線性方程組(2.1.5)的解,將其稱為該方程組的零解.,齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解.,6,若齊次線性方程組(2.1.5)的系數(shù)行列式，,推論2.1.2,則齊次線性方程組(2.1.5)只有零解.,推論2.1.3,若齊次線性方程組(2.1.5)有非零解,則其系數(shù),行列式.,7,例1解線性方程組,解因該方程組的系數(shù)行列式為,由推論2.1.2,該方程組僅有零解,8,例2解方程組,解方程組的系數(shù)行列式為,依克拉默法則知，該方程組的唯一解為,又,9,例3設(shè)齊次線性方程組,有非零解,試求常數(shù),的值.,有非零解,試求常數(shù),的值.,有非零解,試求常數(shù)k的值.,解由定理2.1.2知該方程組系數(shù)行列式必為零,即,k=3方程組有非零解.,10,二、線性方程組的消元解法,解方程組，就是要通過一系列能使方程組保持同解的變換，把原方程組化為容易看出是不是有解并在有解時(shí)容易求出解的線性方程組什么樣的變換能使變換前后的方程組滿足同解要求?同解變換能把方程組化為什么樣的簡單形式?,11,例4,解線性方程組,解,首先消去第二，三兩個(gè)方程中含x1的項(xiàng).為此，將第一個(gè)方程的-2倍加到第二個(gè)方程，第一個(gè)方程的-1倍加到第三個(gè)方程，得到同解方程組,12,然后將第二個(gè)方程的-4倍加到第三個(gè)方程，,交換后兩個(gè)方程,再將第三個(gè)方程等號(hào)兩邊同乘以1/3，得到,最后求得方程組的解為,x3=-6,x2=-1,x1=9,13,在例4的解題過程中使用了如下的三種變換,用一個(gè)非零數(shù)乘以某個(gè)方程將一個(gè)方程的k倍加到另一個(gè)方程上交換兩個(gè)方程的位置,上述三種變換稱為線性方程組的初等變換,14,用消元法解方程組實(shí)質(zhì)上是對方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，因此為了簡化運(yùn)算過程的表達(dá)形式，可以只把線性方程組的系數(shù)按順序?qū)懗梢粋€(gè)矩形的數(shù)表，方程組（2.1.6）的系數(shù)可寫成,15,對方程組作初等變換就相當(dāng)于對增廣矩陣作如下的行變換,用一個(gè)非零數(shù)乘以某一行將一行的k倍加到另一行上交換兩行的位置,系數(shù)矩陣,增廣矩陣,以上三種變換稱為矩陣的行初等變換,16,例4的消元求解過程可以用增廣矩陣的行初等變換來表示為,求得解為,其中B為行階梯形矩陣，C為行最簡形矩陣,x3=-6,x2=-1,x1=9,17,例5解線性方程組,解對增廣矩陣作行初等變換,將其化為行最簡形矩陣,18,原方程組同解的線性方程組為,即,19,線性方程組的解寫成下面的形式,其中k1,k2,k3為任意常數(shù),上述解的表達(dá)式通常稱為原線性方程組的通解,20,例6求解線性方程組,解對方程組的增廣矩陣作行初等變換,上式中最后一個(gè)矩陣的第三行所表示的方程是一個(gè)矛盾方程,故原方程組無解,21,非齊次線性方程組解的判別定理,設(shè)線性方程組(2.1.6)的系數(shù)矩陣A的秩為r,AX=的增廣矩陣通過行初等變換一定可以化為,(2.1.11),22,對應(yīng)（2.1.11）的方程組CX=為,方程組CX=與原方程組(2.1.6)AX=是同解方程組只討論同解方程組CX=解的情況,23,方程組CX=在有解的情況下,當(dāng)r=n時(shí)，方程組有唯一解x1=d1,x2=d2,xn=dn,(2)當(dāng)r<n時(shí),方程組有無窮多個(gè)解.把每行第一個(gè)非零元所對應(yīng)的未知量作為基本未知量.其余作為自由未知量,方程組AX=有解(即CX=有解)的充要條件是dr+1=0,24,解得,其中,為任意常數(shù),25,n元線性方程組,有解的充分必要條件是,定理2.1.3,設(shè),當(dāng)r=n時(shí)，原方程組有唯一解,當(dāng)r<n原方程組有無窮多解,下面通過例子說明這個(gè)定理的應(yīng)用,26,例7,t為何值時(shí),下列方程組無解;有唯一解;有無窮多解？并在方程組有解時(shí)求出解,解,對方程組的增廣矩陣作行初等變換,27,(1)當(dāng)t=-3時(shí),28,當(dāng)t=-3時(shí)，原方程組有無窮多解，同解方程組為,令自由未知量x3=k得原方程組的解為,其中k為任意常數(shù),29,(2)t=1時(shí),原方程組無解,(3)t-3且t1時(shí),原方程組有唯一解,30,齊次線性方程組的解,求解方法與非齊次線性方程組相同,(2.1.13),定理2.1.4,設(shè)n元齊次線性方程組AX=0的系數(shù)矩陣A的秩為r,那么,(1)當(dāng)r=n時(shí),方程組AX=0僅有零解(2)當(dāng)r<n時(shí),方程組AX=0有無窮多解,31,推論2.1.13,若齊次線性方程組中,方程的個(gè)數(shù)m小于未知量個(gè)數(shù)n，則必有無窮多解,定理2.1.5,設(shè)A為n階矩陣,則n元齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式|A|=0,32,試確定常數(shù)k的值,使3元齊次線性方程組,例8,有非零解,并求出它的所有非零解,對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換,將其化為行階梯形矩陣,解法一,33,當(dāng)b=-3時(shí)，R(A)=2<3原方程組有非零解,34,當(dāng)b=-3時(shí),與原方程組同解的線性方程組為,因此，原方程組的所有非零解為,其中k為任意常數(shù),35,該題的方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同可應(yīng)用定理2.1.5,當(dāng)b=-3時(shí),方程組有非零解再就b=-3求出方程組的解,解法二,36,克拉默法則只能求解特殊線性方程組方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)系數(shù)行列式不為零消元法對增廣矩陣作行初等變換將其化為階梯形矩陣然后判斷是否有解并在有解時(shí)求出解,三、小結(jié),