2021高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時(shí)集訓(xùn)：45 垂直關(guān)系 Word版含解析

垂直關(guān)系建議用時(shí)：45分鐘一、選擇題1(2019昆明模擬)已知直線l平面，直線m平面，若，則下列結(jié)論正確的是()Al或lBlmCmDlmA直線l平面，則l或l，A正確，故選A.2已知直線m，n和平面，則下列四個(gè)命題中正確的是()A若，m，則mB若m，n，則mnC若m，nm，則nD若m，m，則B對(duì)于A，若，m，則當(dāng)m與，的交線垂直時(shí)才有m，故A錯(cuò)；對(duì)于B，若n，則內(nèi)存在直線a，使得an，m，ma，mn，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)n時(shí)，顯然結(jié)論錯(cuò)誤，故C錯(cuò)；對(duì)于D，若l，則當(dāng)ml時(shí)，顯然當(dāng)條件成立時(shí)，結(jié)論不成立，故D錯(cuò)故選B.3.如圖，在四面體DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDEC因?yàn)锳BCB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.4.(2019寧夏模擬)如圖，AB是O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，PA平面ABC，則四面體PABC的四個(gè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)有()A4個(gè)B3個(gè)C2個(gè)D1個(gè)AAB是圓O的直徑， ACB90，即BCAC，ABC是直角三角形又PAO所在平面， PAC，PAB是直角三角形且PABC ，因此BC垂直于平面PAC中兩條相交直線， BC平面PAC, PBC是直角三角形從而PAB，PAC，ABC，PBC中，直角三角形的個(gè)數(shù)是4.故選A.5(2017全國卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1 DA1EACC如圖，A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，選項(xiàng)B，D錯(cuò)誤；A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故選項(xiàng)C正確；(證明：由條件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1.)A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤故選C.二、填空題6(2019北京高考)已知l，m是平面外的兩條不同直線給出下列三個(gè)論斷：lm；m；l.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：_.如果l，m，則lm(或若lm，l，則m)將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個(gè)命題：(1)如果l，m，則lm，正確；(2)如果l，lm，則m，正確；(3)如果lm，m，則l，錯(cuò)誤，有可能l與斜交或l.7.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為_連接A1C1，則AC1A1為AC1與平面A1B1C1D1所成的角因?yàn)锳BBC2，所以A1C1AC2，又AA11，所以AC13，所以sinAC1A1.8.(2019濰坊模擬)四面體PABC中，PAPBPC，底面ABC為等腰直角三角形，ACBC，O為AB中點(diǎn)，請從以下平面中選出兩個(gè)相互垂直的平面_(只填序號(hào))平面PAB；平面ABC；平面PAC；平面PBC；平面POC.(答案不唯一)四面體PABC中，PAPBPC，底面ABC為等腰直角三角形，ACBC，O為AB中點(diǎn)， COAB，POAB，COPOO，AB平面POC.AB平面ABC, 平面POC平面ABC，兩個(gè)相互垂直的平面為.三、解答題9(2019江蘇高考)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，ABBC.求證：(1)A1B1平面DEC1；(2)BEC1E.證明(1)因?yàn)镈，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，所以EDAB.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因?yàn)镋D平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.(2)因?yàn)锳BBC，E為AC的中點(diǎn)，所以BEAC.因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.又因?yàn)锽E平面ABC，所以CC1BE.因?yàn)镃1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CACC，所以BE平面A1ACC1.因?yàn)镃1E平面A1ACC1，所以BEC1E.10.如圖，三棱錐PABC中，底面ABC是邊長為2的正三角形，PAPC，PB2.(1)求證：平面PAC平面ABC；(2)若PAPC，求三棱錐PABC的體積解(1)證明：如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接BO，PO，因?yàn)锳BC是邊長為2的正三角形，所以BOAC，BO.因?yàn)镻APC，所以POAC1.因?yàn)镻B2，所以O(shè)P2OB2PB2，所以POOB.因?yàn)锳COPO，AC，OP平面PAC，所以BO平面PAC.又OB平面ABC，所以平面PAC平面ABC.(2)因?yàn)镻APC，PAPC，AC2，所以PAPC.由(1)知BO平面PAC，所以VPABCVBAPCSPACBO.1(2019武邑模擬)如圖所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，則點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在()A直線AB上B直線BC上C直線AC上DABC的內(nèi)部A連接AC1(圖略)，因?yàn)锳CAB，ACBC1，ABBC1B，所以AC平面ABC1，又AC平面ABC，所以平面ABC1平面ABC，所以點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上，故選A.2(2019南昌模擬)如圖所示，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H.下列說法錯(cuò)誤的是_(將符合題意的序號(hào)填到橫線上)AGEFH所在平面；AHEFH所在平面；HFAEF所在平面；HGAEF所在平面根據(jù)折疊前ABBE，ADDF可得折疊后AHHE，AHHF，可得AH平面EFH，即正確；過點(diǎn)A只有一條直線與平面EFH垂直，不正確；AGEF，AHEF，EF平面HAG，平面HAG平面AEF，過H作直線垂直于平面AEF，該直線一定在平面HAG內(nèi)，不正確；HG不垂直AG，HG平面AEF不正確，不正確，綜上，說法錯(cuò)誤的是.3(2019全國卷)已知ACB90，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC2，點(diǎn)P到ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為_如圖，過點(diǎn)P作PO平面ABC于O，則PO為P到平面ABC的距離再過O作OEAC于E，OFBC于F，連接PC，PE，PF，則PEAC，PFBC.又PEPF，所以O(shè)EOF，所以CO為ACB的平分線，即ACO45.在RtPEC中，PC2，PE，所以CE1，所以O(shè)E1，所以PO.4.在如圖所示的五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且DAB60，EAEDAB2EF2，EFAB，M為BC的中點(diǎn)(1)求證：FM平面BDE；(2)若平面ADE平面ABCD，求點(diǎn)F到平面BDE的距離解(1)證明：取BD的中點(diǎn)O，連接OM，OE，因?yàn)镺，M分別為BD，BC的中點(diǎn)，所以O(shè)MCD，且OMCD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以CDAB，又EFAB，所以CDEF，又ABCD2EF，所以EFCD，所以O(shè)MEF，且OMEF，所以四邊形OMFE為平行四邊形，所以MFOE.又OE平面BDE，MF平面BDE，所以MF平面BDE.(2)由(1)得FM平面BDE，所以點(diǎn)F到平面BDE的距離等于點(diǎn)M到平面BDE的距離取AD的中點(diǎn)H，連接EH，BH，因?yàn)镋AED，四邊形ABCD為菱形，且DAB60，所以EHAD，BHAD.因?yàn)槠矫鍭DE平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD，EH平面ADE，所以EH平面ABCD，所以EHBH，易得EHBH，所以BE，所以SBDE.設(shè)點(diǎn)F到平面BDE的距離為h，連接DM，則SBDMSBCD4，連接EM，由V三棱錐EBDMV三棱錐MBDE，得h，解得h，即點(diǎn)F到平面BDE的距離為.1(2018全國卷)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為()A. B.C.D.A記該正方體為ABCDABCD，正方體的每條棱所在直線與平面所成的角都相等，即共點(diǎn)的三條棱AA，AB，AD與平面所成的角都相等如圖，連接AB，AD，BD，因?yàn)槿忮FAABD是正三棱錐，所以AA，AB，AD與平面ABD所成的角都相等分別取CD，BC，BB，AB，AD，DD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，I，J，連接EF，F(xiàn)G，GH，IH，IJ，JE，易得E，F(xiàn)，G，H，I，J六點(diǎn)共面，平面EFGHIJ與平面ABD平行，且截正方體所得截面的面積最大又EFFGGHIHIJJE，所以該正六邊形的面積為62，所以截此正方體所得截面面積的最大值為，故選A.2如圖1，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB2CD，DEAB，沿DE將AED折起到A1ED的位置，連接A1B，A1C，M，N分別為A1C，BE的中點(diǎn)，如圖2.圖1圖2(1)求證：DEA1B；(2)求證：MN平面A1ED；(3)在棱A1B上是否存在一點(diǎn)G，使得EG平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，說明理由解(1)證明：在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB2CD，DEAB，沿DE將AED折起到A1ED的位置，DEA1E，DEBE，A1EBEE，DE平面A1BE，A1B平面A1BE，DEA1B.(2)證明：取CD中點(diǎn)F，連接NF，MF，M，N分別為A1C，BE的中點(diǎn)，MFA1D，NFDE，又DEA1DD，NFMFF，DE平面A1DE，A1D平面A1DE，NF平面MNF，MF平面MNF.平面A1DE平面MNF，MN平面A1ED.(3)取A1B的中點(diǎn)G，連接EG，A1EBE，EGA1B，由(1)知DE平面A1BE，DEBC，BC平面A1BE，EGBC，又A1BBCB，EG平面A1BC.故棱A1B上存在中點(diǎn)G，使得EG平面A1BC，此時(shí)1.