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2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 第三十五講《中位線及其應(yīng)用》教案1 北師大版.doc

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2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 第三十五講《中位線及其應(yīng)用》教案1 北師大版.doc

2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 第三十五講中位線及其應(yīng)用教案1 北師大版中位線是三角形與梯形中的一條重要線段,由于它的性質(zhì)與線段的中點及平行線緊密相連,因此,它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應(yīng)用例1 如圖2-53所示ABC中,ADBC于D,E,F(xiàn),ABC的面積分析 由條件知,EF,EG分別是三角形ABD和三角形ABC的中位線利用中位線的性質(zhì)及條件中所給出的數(shù)量關(guān)系,不難求出ABC的高AD及底邊BC的長解 由已知,E,F(xiàn)分別是AB,BD的中點,所以,EF是ABD的一條中位線,所以由條件AD+EF=12(厘米)得EF=4(厘米),從而 AD=8(厘米),由于E,G分別是AB,AC的中點,所以EG是ABC的一條中位線,所以BC=2EG=26=12(厘米),顯然,AD是BC上的高,所以例2 如圖 2-54 所示ABC中,B,C的平分線BE,CF相交于O,AGBE于G,AHCF于H(1)求證:GHBC;(2)若AB=9厘米,AC=14厘米,BC=18厘米,求GH分析 若延長AG,設(shè)延長線交BC于M由角平分線的對稱性可以證明ABGMBG,從而G是AM的中點;同樣,延長AH交BC于N,H是AN的中點,從而GH就是AMN的中位線,所以GHBC,進而,利用ABC的三邊長可求出GH的長度(1)證 分別延長AG,AH交BC于M,N,在ABM中,由已知,BG平分ABM,BGAM,所以ABGMBG(ASA)從而,G是AM的中點同理可證ACHNCH(ASA),從而,H是AN的中點所以GH是AMN的中位線,從而,HGMN,即HGBC(2)解 由(1)知,ABGMBG及ACHNCH,所以AB=BM=9厘米,AC=CN=14厘米又BC=18厘米,所以BN=BC-CN=18-14=4(厘米),MC=BC-BM=18-9=9(厘米)從而MN=18-4-9=5(厘米),說明 (1)在本題證明過程中,我們事實上證明了等腰三角形頂角平分線三線合一(即等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線)性質(zhì)定理的逆定理:“若三角形一個角的平分線也是該角對邊的垂線,則這條平分線也是對邊的中線,這個三角形是等腰三角形”(2)“等腰三角形三線合一定理”的下述逆命題也是正確的:“若三角形一個角的平分線也是該角對邊的中線,則這個三角形是等腰三角形,這條平分線垂直于對邊”同學(xué)們不妨自己證明(3)從本題的證明過程中,我們得到啟發(fā):若將條件“B,C的平分線”改為“B(或C)及C(或B)的外角平分線”(如圖2-55所示),或改為“B,C的外角平分線”(如圖2-56所示),其余條件不變,那么,結(jié)論GHBC仍然成立同學(xué)們也不妨試證例3 如圖2-57所示P是矩形ABCD內(nèi)的一點,四邊形BCPQ是平行四邊形,A,B,C,D分別是AP,PB,BQ,QA的中點求證:AC=BD分析 由于A,B,C,D分別是四邊形APBQ的四條邊AP,PB,BQ,QA的中點,有經(jīng)驗的同學(xué)知道ABCD是平行四邊形,AC與BD則是它的對角線,從而四邊形ABCD應(yīng)該是矩形利用ABCD是矩形的條件,不難證明這一點證 連接AB,BC,CD,DA,這四條線段依次是APB,BPQ,AQB,APQ的中位線從而ABAB,BCPQ,CDAB,DAPQ,所以,ABCD是平行四邊形由于ABCD是矩形,PCBQ是平行四邊形,所以ABBC,BCPQ從而ABPQ,所以 ABBC,所以四邊形ABCD是矩形,所以AC=BD 說明 在解題過程中,人們的經(jīng)驗??善鸬揭l(fā)聯(lián)想、開拓思路、擴大已知的作用如在本題的分析中利用“四邊形四邊中點連線是平行四邊形”這個經(jīng)驗,對尋求思路起了不小的作用因此注意歸納總結(jié),積累經(jīng)驗,對提高分析問題和解決問題的能力是很有益處的例4 如圖2-58所示在四邊形ABCD中,CDAB,E,F(xiàn)分別是AC,BD的中點求證:分析 在多邊形的不等關(guān)系中,容易引發(fā)人們聯(lián)想三角形中的邊的不形中構(gòu)造中位線,為此,取AD中點證 取AD中點G,連接EG,F(xiàn)G,在ACD中,EG是它的中位線(已知E是AC的中點),所以同理,由F,G分別是BD和AD的中點,從而,F(xiàn)G是ABD的中位線,所以在EFG中,EFEG-FG 由,例5 如圖2-59所示梯形ABCD中,ABCD,E為BC的中點,AD=DC+AB求證:DEAE分析 本題等價于證明AED是直角三角形,其中AED=90在E點(即直角三角形的直角頂點)是梯形一腰中點的啟發(fā)下,添梯形的中位線作為輔助線,若能證明,該中位線是直角三角形AED的斜邊(即梯形另一腰)的一半,則問題獲解證 取梯形另一腰AD的中點F,連接EF,則EF是梯形ABCD的中位線,所以因為AD=AB+CD,所以從而1=2,3=4,所以2+3=1+4=90(ADE的內(nèi)角和等于180)從而AED=2+3=90,所以 DEAE例6 如圖2-60所示ABC外一條直線l,D,E,F(xiàn)分別是三邊的中點,AA1,F(xiàn)F1,DD1,EE1都垂直l于A1,F(xiàn)1,D1,E1求證:AA1+EE1=FF1+DD1分析 顯然ADEF是平行四邊形,對角線的交點O平分這兩條對角線,OO1恰是兩個梯形的公共中位線利用中位線定理可證證 連接EF,EA,ED由中位線定理知,EFAD,DEAF,所以ADEF是平行四邊形,它的對角線AE,DF互相平分,設(shè)它們交于O,作OO1l于O1,則OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位線,所以即 AA1+EE1=FF1+DD1練習(xí)十四1已知ABC中,D為AB的中點,E為AC上一點,AE=2CE,CD,BE交于O點,OE=2厘米求BO的長2已知ABC中,BD,CE分別是ABC,ACB的平分線,AHBD于H,AFCE于F若AB=14厘米,AC=8厘米,BC=18厘米,求FH的長3已知在ABC中,ABAC,ADBC于D,E,F(xiàn),G分別是AB,BC,AC的中點求證:BFE=EGD4如圖2-61所示在四邊形ABCD中,AD=BC,E,F(xiàn)分別是CD,AB的中點,延長AD,BC,分別交FE的延長線于H,G求證:AHF=BGF5在ABC中,AHBC于H,D,E,F(xiàn)分別是BC,CA,AB的中點(如圖2-62所示)求證:DEF=HFE6如圖2-63所示D,E分別在AB,AC上,BD=CE,BE,CD的中點分別是M,N,直線MN分別交AB,AC于P,Q求證:AP=AQ7已知在四邊形ABCD中,ADBC,E,F(xiàn)分別是AB,CD

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