八年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 三角形的內(nèi)外角關(guān)系試題 （新版）青島版.doc

三角形的內(nèi)外角關(guān)系一、三角形的內(nèi)角和定理1. 定理：三角形的內(nèi)角和是180要點： 定理的證明根據(jù)是平行線的性質(zhì)。 定理的證明方法有多種，選取以下兩種方法加以掌握。證明方法把三個角“湊”到A處，過點A作直線PQ/BC，這樣就相當(dāng)于把B移到了1的位置，把C移到了2的位置。延長BC到D，過點C作射線CE/BA，這樣就相當(dāng)于把移到了1的位置，把移到了2的位置。2. 推論：直角三角形的兩個銳角互余。ABC180 又C90 AB90 A與B互余。 等邊三角形的每一個內(nèi)角都是60。DEF180，又D=E=F，3D180，D=E=F=60定理的應(yīng)用： 在三角形中，已知兩個內(nèi)角可以求出第三個內(nèi)角。如：在ABC中，C180（AB） 在三角形中，已知三個內(nèi)角和的比或它們之間的關(guān)系，求各內(nèi)角。如：在ABC中，已知A：B：C2：3：4，則可設(shè)A、B、C為2x、3x、4x，利用方程求得度數(shù)。二、三角形的外角1. 外角的定義：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。如ACD與BCE均為外角。2. 三角形外角的性質(zhì)（1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。（2）三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。提示：三角形每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角，所以三角形共有六個外角。通常每個頂點處取一個外角，因此，我們常說三角形有三個外角。因為三角形的每個外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補角，由三角形的內(nèi)角和是180，可推出三角形的外角和是360。三、三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系1. 三角形的一個外角與它相鄰的內(nèi)角互補，如圖：1與4是鄰補角，即14180；2. 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，如圖：123；3. 三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角，如圖：1>2，1>3。【拓展】兩種圖形的認(rèn)識（1）對頂三角形：有一個角是對頂角的兩個三角形。特點是：每個三角形中除對頂角外，另兩個角的和與另一個三角形中其余兩個角的和相等。如圖：ABDE（2）圖形的折疊：將圖形沿某條線折疊，使其一部分與圖形中某部分重合，可以形成邊、角等多個相等關(guān)系。如圖：123方法歸納：三角形的內(nèi)、外角關(guān)系的知識點應(yīng)注意以下幾點：（1）實際應(yīng)用中，題目中往往把ABC180這個條件隱藏，要時時注意想到這個條件。（2）外角關(guān)系強調(diào)的是“不相鄰”三個字，不要被題目偷換概念。（3）應(yīng)用三角形的內(nèi)、外角關(guān)系解題時，經(jīng)常要使用到高、角平分線，注意二者定義中，高有垂直的結(jié)論，即有角是90，角平分線的作用是將一個角平分成兩個相等的角，有角的數(shù)值存在。（4）三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證時常使用的理論依據(jù)，另外，在證明角的不等關(guān)系時也常想到外角的性質(zhì)。技巧歸納：解決本部分習(xí)題時要注意幾種數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用：方程的思想根據(jù)角與角之間的關(guān)系求角的度數(shù)時可列方程（或方程組）求解。如：A：B：C1：2：3，求三角形的形狀。整體運用的思想將待解決的問題看作一個整體，通過研究問題做整體處理后，達到解決問題的目的。如：A40，求34BC的度數(shù)。轉(zhuǎn)化的思想求較復(fù)雜的圖形中多個角的度數(shù)和的問題。解題的關(guān)鍵是利用有關(guān)性質(zhì)把這些角集中到一個三角形中，再利用三角形內(nèi)角和的性質(zhì)解決。如：求五角星的內(nèi)角和問題?？偨Y(jié)：1. 學(xué)會綜合運用內(nèi)、外角關(guān)系解決圖形的角度計算問題。 2. 將各種解題思想及方法掌握好，有利于今后幾何的學(xué)習(xí)。 例題1 如圖，將三角尺的直角頂點放在直線a上，ab，150，260，則3的度數(shù)為（）A. 50B. 60 C. 70D. 80解析：先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出4的度數(shù)，由對頂角的性質(zhì)可得出5的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論。答案：在BCD中，150，260，418012180506070，5470，ab，3570。故選C。點撥：本題考查的是平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理。解答此類題目時往往用到三角形的內(nèi)角和是180這一隱藏條件。例題2 如圖，在ABC中，ACB90，沿CD折疊CBD，使點B恰好落在AC邊上的點E處。若A22，則BDC等于（）A. 44B. 60C. 67D. 77解析：由ABC中，ACB90，A22，可求得B的度數(shù)。由折疊的性質(zhì)可得：CEDB68，BDCEDC。由三角形外角的性質(zhì)，可求得ADE的度數(shù)，繼而求得答案。答案：在ABC中，ACB90，A22，B90A68，由折疊的性質(zhì)可得：CEDB68，BDCEDC，ADECEDA46，BDC67。故選C。點撥：此題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)。此題注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。1. 幾何圖形變換的研究幾何圖形的變換，核心內(nèi)容是首圖形的證明基本思路，變換后的圖形與首圖形的總體證明方法相同。但要注意的是這種題中所蘊含的數(shù)學(xué)思想：通過變換掌握舉一反三的能力，將知識學(xué)活、用活。通過變換，提高面對試題的研讀能力，從而做到一會百會。（1）充分分析首圖形的條件，在此基礎(chǔ)上將其應(yīng)用到后面的圖形中；（2）在變換時，認(rèn)清本質(zhì)，對變換后的結(jié)果依照首圖形結(jié)論加以書寫，注意與第一個結(jié)論保持格式上的一致，避免評卷老師的誤判。（3）注意變換后，結(jié)論的變與不變：基本規(guī)律是線段與角相等的一般來說結(jié)論都會不變，但和、差類的變換最后其結(jié)論都會發(fā)生變化。例題 如圖所示，在ABC中，A，ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線交于點P，且P，試探求下列各圖中與的關(guān)系，并選擇一個加以說明。解析：本題沒有給出具體角度，所以最后形成的將是一個關(guān)系式。主要考查角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理以及外角的性質(zhì)，分析可知圖（1）90；（2）、（3）變換后圖形道理類似，但過程略有不同，可參考（1）應(yīng)用的定理加以說明。答案：解：（1）90；（2）；（3）90。選擇（1）進行證明。在圖（1）中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得：ABCACB180A。BP與CP是ABC的角平分線，PBC ABC，PCB ACB，PBCPCB （ABCACB）90。在PBC中，BPC180（PCBPBC）180（90）90。90 。2. 化歸思想及對頂三角形的應(yīng)用化歸思想是指將不同圖形中的條件轉(zhuǎn)化到同一圖形中，三角形內(nèi)角和的轉(zhuǎn)化是利用有關(guān)性質(zhì)把不同圖形中的角集中到一個三角形中，再利用三角形的內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)進行解決。對頂三角形的其他應(yīng)用包含整體應(yīng)用的思想，將不同三角形的內(nèi)角和整體轉(zhuǎn)化到一個圖形中，從而解決復(fù)雜圖形中的求值問題。例題 （1）如圖所示，線段AD、BC相交于點O，所組成的ABO與CDO叫做“對頂三角形”。已知A70，B25，求CD的度數(shù)。（2）如圖所示，求ABCDE的度數(shù)。（3）如圖所示，求ABCDEF的度數(shù)。解析：先根據(jù)對頂三角形的性質(zhì)求得圖中 ABCD 702595，圖中考慮連接BC，則可將問題轉(zhuǎn)化為對頂三角形的問題，總和為180；圖 中圖形將三個三角形中的AB、CD、EF轉(zhuǎn)化到GIH中，利用對頂三角形的性質(zhì)得到2（GIHGHIHGI）360答案：解：（1）在ABO與CDO中因為 ABAOBCDCOD180AOBCOD所以ABCD因為A70，B25所以CD702595（2）連接BC因為EOD與BOC為對頂三角形，所以DEOBCOCB所以ABCDE180（3）因為ABG與GIH、EFI與GIH、CHD與GIH都是對頂三角形，ABGIHGHICDGIH HGIEFGHIHGI所以ABCDEF2（GIHGHIHGI）360（答題時間：45分鐘）一、選擇題1. 在給定的下列條件中，不能判定三角形是直角三角形的是（）A. ABC123 B. ABCC. ABC D. A2B3C2. 已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足關(guān)系式BC3A，則此三角形中（ ）A. 一定有一個內(nèi)角為45 B. 一定有一個內(nèi)角為60C. 一定是直角三角形 D. 一定是鈍角三角形*3. 如圖，在ABC中，C70，沿圖中虛線截去C，則12（ ）A. 360 B. 250 C. 180 D. 140*4. 已知ABC中，ABC和ACB的平分線交于點O，則BOC一定（ ）A. 小于直角B. 等于直角C. 大于直角D. 不能確定*5. 如圖ABC中，BADCBEACF，ABC50，ACB62，則DFE的大小是（ ）A. 50 B. 62 C. 68 D. 70*6. 如圖，在折紙活動中，小明制作了一張ABC紙片，點D、E分別在邊AB、AC上，將ABC沿著DE折疊壓平，A與A重合，若A75，則12（）A. 150B. 210C. 105D. 75二、填空題*7. 如圖，已知ABC的B和C的外角平分線交于點D，A40，那么D_。*8. 如圖，在ABC中，BC，F(xiàn)DBC，DEAB，AFD158， 則EDF _。*9. 如圖，ACD是ABC的外角，ABC的平分線與ACD的平分線交于點A1，A1BC的平分線與A1CD的平分線交于點A2，An1BC的平分線與An1CD的平分線交于點An。設(shè)A。則：（1）A1；（2）An。三、解答題10. 判斷適合下列條件的ABC是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形？（1）A20，B75；（2）AB30，BC30；（3）ABC*11. 一個零件的形狀如圖，按規(guī)定A應(yīng)等于90，B、D應(yīng)分別是20和30，李叔叔量得BCD142就判定這個零件不合格，你能說出道理嗎?*12. 如圖，已知在ABC中，B70，BACBCA32，CDAD于D，且ACD35，求BAE的度數(shù)。*13. 如圖，點C為RtABE的邊AE延長線上的一點，BEAC，點D為邊AB上一點，DC交BE于點F，已知ADC80，B35，求C的度數(shù)。*14. 如圖所示，已知12，34，C32，D28，（1）求P的度數(shù)。（2）請推斷P與C、D的關(guān)系。*15. 已知ABC中，BAC100。（1）若ABC和ACB的平分線交于點O，如圖所示，試求BOC的大??；（2）若ABC和ACB的三等分線（即將一個角平均分成三等份的射線）相交于O、O1，如圖所示，試求BOC的大??；（3）以此類推，若ABC和ACB的n等分線自下而上依次相交于O、O1、O2、，如圖所示，試探求BOC的大小與n的關(guān)系，并判斷當(dāng)BOC170時，是幾等分線的交線所成的角。1. C 解析：利用比例設(shè)方程，A、B、D中都有直角，C選項中三角相等則每一角為60，則選C。2. A 解析：題目中隱含的條件為ABC180，將BC3A代入，則可知A45。3. B 解析：利用整體運用的思想，C70，則1、2外角的和為110，12360110250。4. C 解析：ABCACBBAC180，ABCACB180BAC，ABC和ACB的平分線交于點O，則BOC180（180BAC）90BAC，所以選C。5. C 解析：因為DFEACFCAF，BADCBEACF，所以DFEBAC，因為ABC50，ACB62，則BAC180506268。6. A 解析：連接A A，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，122A，所以12150。7. 70 解析：因為AABCACB180，A40，所以ABCACB140，所以ABC與ACB的外角和 360140220，因為CD、BD是角平分線，所以BCDCBD110，所以D70。8. 68 解析：因為AFD158，所以CFD22，因為FDBC，所以C68，又因為BC，所以B68，因為DEAB，所以BDE22，所以EDF180902268。9. （1），（2） 解析：（1）A1B是ABC的平分線，A2B是A1BC的平分線，A1BCABC，A1CDACD，又ACDAABC，A1CDA1BCA1，AABC2（A1BCA1），A1A，A，A1；（2）同理可得A2A1 ，所以An。10. 解：（1）因為C180AB，A20，B75；所以C180AB180207585，所以三角形為銳角三角形。（2）因為AB30，BC30，所以A30B，CB30，因為ABC180，所以30BBB30180，所以B60，A90，C30，所以此三角形為直角三角形。（3）因為ABC，所以設(shè)Ax，B2x，C6x，因為ABC180，所以x2x6x180，所以x20，所以6x120，所以該三角形為鈍角三角形。11. 解：這個零件不合格。道理如下：延長DC交AB與點E，因為DEB為ADE的外角，所以DEBAD，因為DCB為BEC外角，所以DCBCEBB，因為A應(yīng)等于90，B、D應(yīng)分別是20和30，所以BCD140，所以這個零件不合格。12. 解： B70 （已知） BACBCA110 BAC：BCA3：2（已知） BAC110/5366 BCA110/5244 CDAD（已知） ADC90又ACD35（已知）DAC180ADCACD55BAE180DACBAC18055665913. 解：因為BEAC，所以AEB90，因為B35，所以A180903555，因為ADC80，所以C180ADCA180805545。14. 解：（1）因為1、C和3、P是對頂三角形中的兩對角所以，1C3P；因為4、D和2、P是對頂三角形中的兩對角所以，4D2P所以1C4D3P2P又因為12、34、C32、D28得到32282P所以P30（2）同理：P。15. 解：BAC100，ABCACB80，（1）點O是ABC與ACB的角平分線的交點，OBCOCB40，BOC140。（2）點O是ABC與ACB的三等分線的交點，OBCOCBBOC（3）點O是ABC與ACB的n等分線的交點，OBCOCBBOC180當(dāng)BOC170時，是八等分線的交線所成的角。