九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 幾何基本圖形：一線三等角試題 （新版）青島版.doc

幾何基本圖形：一線三等角1. 基本模型注意：利用同角的余角相等證明ACDBEC2. 模型擴(kuò)展（1）銳角相似依據(jù)：運(yùn)用三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和尋找相等的角度，得出兩個(gè)三角形相似并加以運(yùn)用。（2）鈍角注意：（1）相似三角形中對應(yīng)邊要找準(zhǔn)。（2）熟練記憶“一線三等角”的基本模型，根據(jù)三角形相似可得：；（3）此模型中共有三組相似三角形，一般考查BEDCDF。例題 （歷城區(qū)三模）如圖，在ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，將DEF與ABC重合在一起，ABC不動(dòng)，DEF運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)。（1）若BE=2，求CM的長；（2）探究：在DEF運(yùn)動(dòng)過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；（3）當(dāng)線段AM最短時(shí)，求重疊部分的面積。解析：（1）由AB=AC，根據(jù)等邊對等角，可得B=C，又由ABCDEF與三角形外角的性質(zhì)，易證得CEM=BAE，則可證得ABEECM，就有，即可以得出答案；（2）分別從AE=AM，AE=EM與AM=EM去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；（3）首先設(shè)BE=x，由ABEECM，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得，繼而求得AM的值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得線段AM的最小值，繼而求得重疊部分的面積。答案：（1）AB=AC，B=C，ABCDEF，AEF=B，又AEF+CEM=AEC=B+BAE，CEM=BAE，ABEECM；，；（2）能。當(dāng)AE=EM時(shí)，則ABEECM，CE=AB=5，BE=BCEC=65=1，當(dāng)AM=EM時(shí)，則MAE=MEA，MAE+BAE=MEA+CEM，即CAB=CEA，C=C，CAECBA，=，；當(dāng)AE=AM時(shí)，此時(shí)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合，M點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即BE=0。BE=1或或0。（3）設(shè)BE=x，又ABEECM，即：，當(dāng)x=3時(shí)，AM最短為，又當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，AEBC，此時(shí)，EFAC，。點(diǎn)撥：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題。關(guān)鍵是利用“一線三等角”判斷出兩三角形相似。此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵?！痉椒w納】1. 平面直角坐標(biāo)系中，常作點(diǎn)到坐標(biāo)軸的垂線，構(gòu)造“一線三直角”。把點(diǎn)的坐標(biāo)和線段的長度建立聯(lián)系，解決問題。2. 矩形中的翻折問題發(fā)現(xiàn)“一線三等角”，常用方程的思想解決。3. 動(dòng)態(tài)幾何中圖形的存在性問題應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用，不重不漏。例題 在平面直角坐標(biāo)系中，一張矩形紙片按圖所示放置。已知，將這張紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上，記作點(diǎn)，折痕與邊（含端點(diǎn)）交于點(diǎn)，與邊（含端點(diǎn)）或其延長線交于點(diǎn)。請回答：（1）如圖，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將矩形沿直線折疊，求點(diǎn)的坐標(biāo)；解析：（1）利用折疊的性質(zhì)，可得AE=OE=4，根據(jù)勾股定理就可以求出線段DA的長；（2）如圖，根據(jù)，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，n），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2n，0），OE=n，OF=2n，由AEFOEF可知OE=AE=n，AF=OF=2n，得出DEAGAF所以，由FG=CB=6解得DA=3，從而求得A點(diǎn)的坐標(biāo)。答案：（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2）如圖，過點(diǎn)F作FGDC于GEF的解析式為，E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，n），OE=nF點(diǎn)的坐標(biāo)為（2n，0），OF=2nAEF與OEF全等，OE=AE=n，AF=OF=2n點(diǎn)A在DC上，且EAF=901+3=90又3+2=901=2在DEA與GAF中， DEAGAF FG=CB=6 DA=3 A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，6）。點(diǎn)撥：這是一道有關(guān)折疊的問題，主要考查一次函數(shù)、四邊形、相似形等知識，在矩形折疊問題中要善于發(fā)現(xiàn)“一線三等角”的模型，并利用該知識點(diǎn)解決問題。（答題時(shí)間：30分鐘）一、選擇題1. （濟(jì)南）已知直線l1l2l3l4，相鄰的兩條平行直線間的距離均為h，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在這四條直線上，放置方式如圖所示，AB=4，BC=6，則tan的值等于（）A. B. C. D. *2.（溫州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形紙片ABCO的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），沿著直線折疊紙片，使點(diǎn)C落在OA邊上的點(diǎn)F處，折痕為DE，則b等于。A. 2 B. 3 C. 4 D. 5*3. （蘇州模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，當(dāng)直角三角板MPN的直角頂點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)時(shí)，直角邊MP始終經(jīng)過點(diǎn)A，設(shè)直角三角板的另一直角邊PN與邊CD相交于點(diǎn)Q。則CQ的最大值為（）A.4 B. C. D. *4. （道里區(qū)一模）如圖，ABC中，AB=5，BC=11，點(diǎn)D在BC上，ADE=90，DAE=ACB，ED=EC，AE的長為（ ）A. B.6 C. D.8 二、填空題*5. （潤州區(qū)二模）如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，且OAOB，A=30，則k的值是 。*6. （海南）直線l1l2l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45角的直角三角形如圖放置，頂點(diǎn)A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點(diǎn)D，則線段BD的長度為 。*7. 如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，BC=4AD=，B=45。直角三角板含45角的頂點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，一直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)A，斜邊與CD交于點(diǎn)F。若ABE為等腰三角形，則CF的長等于 。*8.（本溪一模）如圖所示，正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn)，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)P重合，并保證其一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)C，另一條直角邊與AD交于點(diǎn)Q，若，則；若，則。三、解答題*9.（鹽城）情境觀察：將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到ABC和ACD，如圖1所示。將ACD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A（A）、B在同一條直線上，如圖2所示。觀察圖2可知：與BC相等的線段是 ，CAC= 問題探究：如圖3，ABC中，AGBC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q。試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。拓展延伸：如圖4，ABC中，AGBC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H。若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。 *10.（相城區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M是線段AC的中點(diǎn)。把線段AM進(jìn)行以A為旋轉(zhuǎn)中心、向順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90的旋轉(zhuǎn)變換得到AB。過B作x軸的垂線、過點(diǎn)C作y軸的垂線，兩直線交于點(diǎn)D，直線DB交x軸于一點(diǎn)E。設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，（1）若t=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ，若t=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；（2）若t0，BCD的面積為S，則t為何值時(shí)，BCD的面積為6？（3）是否存在t，使得以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似？若存在，求此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由。*11. （咸寧）閱讀理解：如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)。解決問題：（1）如圖1，A=B=DEC=55，試判斷點(diǎn)E是不是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說明理由；（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)E；拓展探究：（3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處。若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系。*12. （揚(yáng)州）已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處。（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連結(jié)AP、OP、OA。求證：OCPPDA；若OCP與PDA的面積比為1：4，求邊AB的長；（2）若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求OAB的度數(shù)；（3）如圖2，在（1）的條件下，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP。動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作MEBP于點(diǎn)E。試問當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度。1. C 解析：如圖，過點(diǎn)C作CEl4于點(diǎn)E，延長EC交l1于點(diǎn)F在矩形ABCD中，BCD=90，+BCE=90，BCE+DCF=18090=90，又BEC=CFD=90，BECCFD，即，。在RtBCE中，BEC=90，。2. B 解析：作EHOA于H，如圖，把x=0代入，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），而四邊形ABCO為矩形，E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，把y=8代入得，解得，E點(diǎn)坐標(biāo)為，OD=b，EH=8，矩形紙片ABCO沿著直線折疊，使點(diǎn)C落在OA邊上的點(diǎn)F處，折痕為DE，DFE=DCE=90，DFO+EFH=90，而DFO+ODF=90，ODF=EFH，即，OF=4，F(xiàn)H=2b，b=3. 3. B 解析：設(shè)BP=x，CQ=y，,又，則；，即整理得： CQ的最大值為：。 4. A 解析：作AMBC，ENBC，垂足分別為M，N。又AB=5，BC=11，AM=4，BM=3，CM=113=8，DAE=ACB，又ADE=90，AMDDNE，又ED=EC，ENBC，MD=DC=4，由勾股定理得：，5. 解析：過點(diǎn)B作BCx軸于點(diǎn)C，ADx軸于點(diǎn)D，OAOB，1+2=90，1+OAD=90，2=OAD，又BCO=ADO=90，OBCAOD，A=30，BOA=90，設(shè)， ，。6. 解析：分別過點(diǎn)A、B、D作，ABC是等腰直角三角形，AC=BC，EBC+BCE=90，BCE+ACF=90，ACF+CAF=90，EBC=ACF，BCE=CAF，在BCE與ACF中，BCEACF（ASA）CF=BE，CE=AF，與的距離為1，與的距離為3，CF=BE=3，CE=AF=3+1=4，在RtACF中，AF=4，CF=3，CDGCAF，解得，在RtBCD中，BC=5，。 7. 解析：作AMBC，DNBC，根據(jù)已知條件可得，=在直角三角形ABM中，B=45，則AB=，當(dāng) 時(shí)，如圖2，則在中，故。易得FEC為等腰直角三角形，故。當(dāng)時(shí)，如圖3AB=3， ， 為等腰三角形，；當(dāng)時(shí)，如圖4和是等腰Rt，。8. 解析：四邊形ABCD是正方形，A=B=90，BC=AB。設(shè)AP=k。（1），BC=AB=2k，BP=k。在AQP與BPC中，AQPBPC，；（2），。在AQP與BPC中，AQPBPC，。9. 解：觀察圖形即可發(fā)現(xiàn)，即BC=AD，；故答案為：AD，90。FQ=EP，理由如下：FAQ+CAG=90，F(xiàn)AQ+AFQ=90，AFQ=CAG，同理ACG=FAQ，又AF=AC，AFQCAG，F(xiàn)Q=AG，同理EP=AG，F(xiàn)Q=EP。HE=HF。理由：過點(diǎn)E作EPGA，F(xiàn)QGA，垂足分別為P、Q。四邊形ABME是矩形，BAE=90，BAG+EAP=90，又AGBC，BAG+ABG=90，ABG=EAP。AGB=EPA=90，ABGEAP，AG：EP=AB：EA。同理ACGFAQ，AG：FQ=AC：FA。AB=kAE，AC=kAF，AB：EA=AC：FA=k，AG：EP=AG：FQ。EP=FQ。又EHP=FHQ，EPH=FQH，RtEPHRtFQH（AAS）。HE=HF。10.（1）C的坐標(biāo)為（0，4），t=3或3，由勾股定理得：AC=5，AOCBEA且相似比為，AO=3，OC=4 AE=2，BE=1.5點(diǎn)B的坐標(biāo)為或； （2）當(dāng)0t8時(shí)，如圖（1）AOCBEA且相似比為，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為，解得t=2或4，當(dāng)t8時(shí)，如圖（2），解得t=10或t=4（舍去）t=2，t=4，t=10（3）當(dāng)0t8時(shí)，如圖（1）若AOCCDB 即： t無解若AOCBDC，同理，解得或（不合題意舍去），當(dāng)t8時(shí)，如圖（2）若AOCCDB，即：，解得，取t=4+8，若AOCBDC，同理，t無解，當(dāng)2t0時(shí)，如圖（3），若AOCCDB，即：解得（不合題意舍去）或，若AOCBDC，同理，t無解當(dāng)t2時(shí)，如圖（4）若AOCCDB，即：，則t無解，若AOCBDC，同理，解得（不合題意舍去）或（不合題意舍去）；則，。 11. 解：（1）點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)。理由：A=55，ADE+DEA=125。DEC=55，BEC+DEA=125。ADE=BEC。 A=B，ADEBEC。點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)。（2）作圖如下：（3）點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，AEMBCEECM，BCE=ECM=AEM。由折疊可知：ECMDCM，ECM=DCM，CE=CD，。在RtBCE中，12. 解：（1）如圖1，四邊形ABCD是矩形，AD=BC，DC=AB，DAB=B=C=D=90。由折疊可得：AP=AB，PO=BO，PAO=BAO，APO=B。APO=90。APD=90CPO=POC。D=C，APD=POC。OCPPDA。OCP與PDA的面積比為1：4，。PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP。AD=8，CP=4，BC=8。設(shè)OP=x，則OB=x，CO=8x。在RtPCO中，C=90，CP=4，OP=x，CO=8x，。解得：x=5。AB=AP=2OP=10。 邊AB的長為10。（2）如圖1，P是CD邊的中點(diǎn)，。DC=AB，AB=AP，。D=90，。DAP=30。DAB=90，PAO=BAO，DAP=30，OAB=30。OAB的度數(shù)為30。（3）作MQAN，交PB于點(diǎn)Q，如圖2。AP=AB，MQAN，APB=ABP，ABP=MQP。APB=MQP。MP=MQ。MP=MQ，MEPQ，。BN=PM，MP=MQ，BN=QM。MQAN，QMF=BNF。在MFQ和NFB中， MFQNFB。 QF=BF。 。由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，C=90。在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF的長度不變，長度為。