2019高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題七 概率與統(tǒng)計(jì) 專題能力訓(xùn)練20 概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 理.doc

專題能力訓(xùn)練20概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例一、能力突破訓(xùn)練1.某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30 之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是()A.B.C.D.2.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù):x0123ym35.57已求得關(guān)于y與x的線性回歸方程為y=2.1x+0.85,則m的值為()A.1B.0.85C.0.7D.0.53.某市2016年各月的平均氣溫()數(shù)據(jù)的莖葉圖如下:則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()A.19B.20C.21.5D.234.(2018全國(guó),理8)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.1185.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系,隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表:收入x/萬(wàn)元8.28.610.011.311.9支出y/萬(wàn)元6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程y=bx+a,其中b=0.76,a=y-b x.據(jù)此估計(jì),該社區(qū)一戶年收入為15萬(wàn)元家庭的年支出為()A.11.4萬(wàn)元B.11.8萬(wàn)元C.12.0萬(wàn)元D.12.2萬(wàn)元6.如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4),函數(shù)f(x)=x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于.7.有一個(gè)底面圓的半徑為1,高為2的圓柱,點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心,在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為.8.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為200,400,300,100件.為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn),則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取件.9.一輛小客車有5個(gè)座位,其座位號(hào)為1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位號(hào)分別為1,2,3,4,5,他們按照座位號(hào)從小到大的順序先后上車,乘客P1因身體原因沒有坐1號(hào)座位,這時(shí)司機(jī)要求余下的乘客按以下規(guī)則就座:如果自己的座位空著,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在這5個(gè)座位的剩余空位中任意選擇座位.(1)若乘客P1坐到了3號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就座,則此時(shí)共有4種坐法.下表給出了其中兩種坐法,請(qǐng)?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就座的座位號(hào)填入表中空格處);乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)3214532451(2)若乘客P1坐到了2號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就座,求乘客P5坐到5號(hào)座位的概率.10.(2018全國(guó),理18)某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng),提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由.(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82811.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(單位:t)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(單位:噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù).x3456y2.5344.5(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a;(3)已知該廠技術(shù)改造前生產(chǎn)100 t甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100 t甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?(參考數(shù)值:32.5+43+54+64.5=66.5)二、思維提升訓(xùn)練12.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬(wàn)人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月,波動(dòng)性更小,變化比較平穩(wěn)13.某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價(jià)x(單位:元)與每天的銷售量y(單位:個(gè))的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示:由表可得回歸直線方程y=bx+a中的b=-4,據(jù)此模型預(yù)測(cè)零售價(jià)為15元時(shí),每天的銷售量為()x16171819y50344131A.51個(gè)B.50個(gè)C.49個(gè)D.48個(gè)14.從分別標(biāo)有1,2,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次,每次抽取1張.則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()A.518B.C.D.15.從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1,x2,xn,y1,y2,yn,構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè),則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn16.如圖,在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率為.17.記集合A=(x,y)|x2+y24和集合B=(x,y)|x+y-20,x0,y0表示的平面區(qū)域分別為1和2,若在區(qū)域1內(nèi)任取一點(diǎn)M(x,y),則點(diǎn)M落在區(qū)域2的概率為.18.(2018全國(guó),理18)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線圖.為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,17)建立模型:y=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,7)建立模型:y=99+17.5t.(1)分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值;(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠?并說明理由.19.A,B,C三個(gè)班共有100名學(xué)生,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時(shí)):A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù);(2)從A班和C班抽出的學(xué)生中,各隨機(jī)選取一人,A班選出的人記為甲,C班選出的人記為乙.假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立,求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率;(3)再?gòu)腁,B,C三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生,他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是7,9,8.25(單位:小時(shí)),這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為1,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為0,試判斷0和1的大小.(結(jié)論不要求證明)20.某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查,在高三的全體1 000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表,并得到如下直方圖:(1)若直方圖中前三組的頻數(shù)成等比數(shù)列,后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列,試估計(jì)全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù);(2)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn),學(xué)習(xí)成績(jī)突出的學(xué)生,近視的比較多,為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績(jī)是否有關(guān)系,對(duì)年級(jí)名次在150名和9511 000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):年級(jí)名次是否近視1509511 000近視4132不近視918根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系?(3)在(2)中調(diào)查的100名學(xué)生中,按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人,進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣,并且在這9人中任取3人,記名次在150名的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:P(K2k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.專題能力訓(xùn)練20概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例一、能力突破訓(xùn)練1.B解析 這是幾何概型問題,總的基本事件空間如圖所示,共40分鐘,等車時(shí)間不超過10分鐘的時(shí)間段為7:50至8:00和8:20至8:30,共20分鐘,故他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率為P=2040=12,故選B.2.D解析 由題意,得x=1.5,y=14(m+3+5.5+7)=m+15.54,將(x,y)代入線性回歸方程y=2.1x+0.85,得m=0.5.3.B解析 由莖葉圖可知,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為20+202=20.4.C解析 不超過30的素?cái)?shù)有“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29”共10個(gè).其中和為30的有7+23,11+19,13+17共3種情況,故P=3C102=115.5.B解析 x=8.2+8.6+10+11.3+11.95=10,y=6.2+7.5+8+8.5+9.85=8,a=y-0.76x=8-0.7610=0.4.y=0.76x+0.4.當(dāng)x=15時(shí),y=0.7615+0.4=11.8.6.512解析 S陰影=12 (4-x2)dx=,S矩形ABCD=4,P=S陰影S矩形ABCD=512.7.23解析 設(shè)“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為事件A,則A表示事件“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于或等于1”.在圓柱內(nèi)以O(shè)為球心,以1為半徑作半球,則半球的體積V半球=124313=23,又V圓柱=122=2,由幾何概型,P(A)=V半球V圓柱=13.故所求事件A的概率P(A)=1-P(A)=1-13=23.8.18解析 抽取比例為601 000=350,故應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取300350=18(件),答案為18.9.解 (1)當(dāng)乘客P1坐在3號(hào)位置上,此時(shí)P2的位置沒有被占,只能坐在2位置,P3位置被占,可選剩下的任何一個(gè)座位,即可選1,4,5;當(dāng)P3選1位置,P4位置沒被占,只能選4位置,P5選剩下的,只有一種情況;當(dāng)P3選4位置,P4可選5位置也可選1位置,P5選剩下的,有兩種情況;當(dāng)P3選5位置,P4只可選4位置,P5選剩下的,有一種情況,填表如下:乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)32145324513241532541(2)若乘客P1坐到了2號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就坐,則所有可能的坐法可用下表表示:于是,所有可能的坐法共8種.設(shè)“乘客P5坐到5號(hào)座位”為事件A,則事件A中的基本事件的個(gè)數(shù)為4,所以P(A)=48=12.所以乘客P5坐到5號(hào)座位的概率是12.10.解 (1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下:由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多,關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多,關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同,故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.以上給出了4種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.(2)由莖葉圖知m=79+812=80.列聯(lián)表如下:超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)由于K2=40(1515-55)220202020=10>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.11.解 (1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù),可得散點(diǎn)圖如圖.(2)由對(duì)照數(shù)據(jù),計(jì)算得i=14xi2=86,x=3+4+5+64=4.5(t),y=2.5+3+4+4.54=3.5(t).已知i=14xiyi=66.5,所以由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為b=i=14xiyi-4xyi=14xi2-4x2=66.5-44.53.586-44.52=0.7,a=y-bx=3.5-0.74.5=0.35.因此,所求的線性回歸方程為y=0.7x+0.35.(3)由(2)的回歸方程及技術(shù)改造前生產(chǎn)100 t甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗,得降低的生產(chǎn)能耗為90-(0.7100+0.35)=19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤).二、思維提升訓(xùn)練12.A解析 由題圖可知2014年8月到9月的月接待游客量在減少,故A錯(cuò)誤.13.C解析 由題意知x=17.5,y=39,代入回歸直線方程得a=109,即得回歸直線方程y=-4x+109,將x=15代入回歸方程,得y=-415+109=49,故選C.14.C解析 從分別標(biāo)有1,2,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次,每次抽取1張,共有A92種不同情況.其中2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的有(A51A41+A41A51)種情況,則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率P=A51A41+A41A51A92=59.故選C.15.C解析 利用幾何概型求解,由題意可知,14S圓S正方形=141212=mn,所以=4mn.16.2e2解析 S陰=201 (e-ex)dx=2(ex-ex)|01=2,S正方形=e2,P=2e2.17.12解析 作圓O:x2+y2=4,區(qū)域1就是圓O內(nèi)部(含邊界),其面積為4.區(qū)域2就是圖中OAB內(nèi)部(含邊界),且SOAB=1222=2.由幾何概型,點(diǎn)M落在區(qū)域2的概率P=SOABS圓O=12.18.解 (1)利用模型,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為y=-30.4+13.519=226.1(億元).利用模型,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為y=99+17.59=256.5(億元).(2)利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠.理由如下:(i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì),利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì),因此利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠.(ii)從計(jì)算結(jié)果看,相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理,說明利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠.(以上給出了2種理由,答出其中任意一種或其他合理理由均可得分)19.解 (1)由題意知,抽出的20名學(xué)生中,來(lái)自C班的學(xué)生有8名.根據(jù)分層抽樣方法,C班的學(xué)生人數(shù)估計(jì)為100820=40.(2)設(shè)事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個(gè)人”,i=1,2,5,事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個(gè)人”,j=1,2,8.由題意可知,P(Ai)=15,i=1,2,5;P(Cj)=18,j=1,2,8.P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=1518=140,i=1,2,5,j=1,2,8.設(shè)事件E為“該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)”.由題意知,E=A1C1A1C2A2C1A2C2A2C3A3C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4.因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15140=38.(3)1<0.20.解 (1)設(shè)各組的頻率為fi(i=1,2,3,4,5,6),由前三組的頻數(shù)成等比數(shù)列,后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列,可得前三組的頻率成等比數(shù)列,后四組的頻率成等差數(shù)列,則f1=0.150.2=0.03,f2=0.450.2=0.09,f3=f22f1=0.27,所以由(f3+f6)42=1-(0.03+0.09)得f6=0.17,所以視力在5.0以下的頻率為1-0.17=0.83,故全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù)約為1 0000.83=830.(2)K2的觀測(cè)值k=100(4118-329)250507327=300734.110>3.841.因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系.(3)依題意9人中年級(jí)名次在150名和9511 000名分別有3人和6人,X可取0,1,2,3,P(X=0)=C63C93=521;P(X=1)=C62C31C93=1528,P(X=2)=C61C32C93=314;P(X=3)=C33C93=184.X的分布列為X0123P5211528314184X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0521+11528+2314+3184=1.