2019春九年級數(shù)學(xué)下冊 第一章 直角三角形的邊角關(guān)系章末小結(jié)與提升課時作業(yè) （新版）北師大版.doc

直角三角形的邊角關(guān)系章末小結(jié)與提升直角三角形的邊角關(guān)系銳角三角函數(shù)定義sinA=A的對邊斜邊=accosA=A的鄰邊斜邊=bctanA=A的對邊A的鄰邊=ab銳角三角函數(shù)間關(guān)系sinA=cosB,tanAtanB=1sin2A+cos2A=1,tanA=sinAcosA特殊角的三角函數(shù)值sin30=12,sin45=22,sin60=32cos30=32,cos45=22,cos60=12tan30=33,tan45=1,tan60=3解直角三角形解直角三角形定義:由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的過程常用關(guān)系式三邊之間的關(guān)系a2+b2=c2兩銳角間的關(guān)系A(chǔ)+B=90邊角之間的關(guān)系(銳角三角函數(shù))應(yīng)用舉例基本概念仰角、俯角坡度、坡角方位角應(yīng)用直角三角形解決實際問題的步驟審題建模解題答題類型1銳角三角函數(shù)典例1如圖,方格中的每個小正方形的邊長均為1,已知ABC的三個頂點均在小正方形的頂點上,則sin B的值為()A.33B.233C.253D.55【解析】如圖,連接CD,由勾股定理得CD=2,BC=10,BD=22,則CD2+BD2=BC2,CDB=90,sinB=CDBC=210=55.【答案】 D【針對訓(xùn)練】1.如圖,由6個形狀、大小完全相同的小矩形組成矩形網(wǎng)絡(luò),小矩形的頂點稱為這個矩形網(wǎng)絡(luò)的格點,已知小矩形較短邊長為1,點A,B,C,D都在格點上,則sin BAD的值為(A)A.55B.12C.255D.22.如圖,RtABC中,BAC=90,ADBC于點D,設(shè)ABC=,則下列結(jié)論錯誤的是(D)A.BC=ACsinB.CD=ADtanC.BD=ABcosD.AC=ADcos3.(舟山中考)如圖,把n個邊長為1的正方形拼接成一排,求得tan BA1C=1,tan BA2C=13,tan BA3C=17,計算tan BA4C=113,按此規(guī)律,寫出tan BAnC=1n2-n+1.(用含n的代數(shù)式表示)類型2特殊角的三角函數(shù)值典例2已知,均為銳角,且滿足sin-12+(tan-1)2=0,則+=.【解析】sin-12+(tan-1)2=0,sin=12,tan=1,=30,=45,+=30+45=75.【答案】 75【針對訓(xùn)練】1.在ABC中,三邊之比為BCACAB=132,則sin A+tanA等于(A)A.3+236B.12+3C.332D.3+122.在ABC中,A,B為銳角,且有|tan B-3|+(2sin A-3)2=0,則ABC的形狀是等邊三角形.3.計算:2tan45-sin23023tan60-sin260-2sin60+1.解:原式=21-122233-32-12=2-146-1-32=724-1+32=32-1724.類型3解直角三角形1.在ABC中,已知C=90,BC=4,sin A=23,那么AC邊的長是(B)A.6B.25C.35D.2132.如圖,在ABC中,ACB=90,sin A=45,BC=8,D是AB的中點,過點B作直線CD的垂線,垂足為E.(1)求線段CD的長;(2)求cosABE的值.解:(1)在ABC中,ACB=90,sin A=BCAB=45,又BC=8,AB=10,D是AB的中點,CD=12AB=5.(2)在RtABC中,AB=10,BC=8,AC=AB2-BC2=6,D是AB的中點,BD=5,SBDC=12SABC,即12CDBE=1212ACBC,BE=245,在RtBDE中,cosDBE=BEBD=2425.3.如圖所示,把一張長方形卡片ABCD放在每格寬度為12 mm的橫格紙中,恰好四個頂點都在橫格線上,已知=36,求長方形卡片的周長.(結(jié)果精確到1 mm,參考數(shù)據(jù):sin 360.60,cos 360.80,tan 360.75)解:作BEl于點E,DFl于點F.+DAF=180-BAD=90,ADF+DAF=90,ADF=36.根據(jù)題意得BE=24 mm,DF=48 mm.在RtABE中,sin =BEAB,AB=BEsin3640 mm.在RtADF中,cosADF=DFAD,AD=DFcos3660 mm.長方形卡片的周長為2(40+60)=200 mm.類型4解直角三角形的應(yīng)用典例3(煙臺中考)某中學(xué)廣場上有旗桿如圖1所示,在學(xué)習(xí)解直角三角形以后,數(shù)學(xué)興趣小組測量了旗桿的高度.如圖2,某一時刻,旗桿AB的影子一部分落在平臺上,另一部分落在斜坡上,測得落在平臺上的影長BC為4米,落在斜坡上的影長CD為3米,ABBC,同一時刻,光線與水平面的夾角為72,1米的豎立標(biāo)桿PQ在斜坡上的影長QR為2米,求旗桿的高度.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin 720.95,cos 720.31,tan 723.08)【解析】如圖,作CMAB交AD于點M,MNAB交AB于點N.由題意得CMCD=PQQR,即CM3=12,解得CM=32,在RtAMN中,ANM=90,MN=BC=4,AMN=72,tan72=ANMN,AN12.3,MNBC,ABCM,四邊形MNBC是平行四邊形,BN=CM=32,AB=AN+BN=13.8米.【針對訓(xùn)練】1.如圖,大海中某島C的周圍25 km范圍內(nèi)有暗礁.一艘海輪沿正東方向航行,在A處望見C在北偏東60處,前進(jìn)20 km后到達(dá)點B,測得C在北偏東45處.如果該海輪繼續(xù)沿正東方向航行,有無觸礁危險?請說明理由.(參考數(shù)據(jù):21.41,31.73)解:沒有觸礁危險.理由:過點C作CDAB,交AB的延長線于點D.由題意可知ACD=60,BCD=45,設(shè)CD=x.在RtACD中,tanACD=ADCD,AD=3x.在RtBCD中,tanBCD=BDCD,BD=x.AD-BD=AB,3x-x=20,x=203-127.4 km.27.4>25,該海輪繼續(xù)沿正東方向航行,沒有觸礁危險.2.(安徽中考)為了測量豎直旗桿AB的高度,某綜合實踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿CD,并在地面上水平放置一個平面鏡E,使得點B,E,D在同一水平線上,如圖所示,該小組在標(biāo)桿的F處測得旗桿頂A的仰角為39.3,平面鏡E的俯角為45,FD=1.8米,問旗桿AB的高度約為多少米?(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):tan 39.30.82,tan 84.310.02)解:方法一:由題意知AEB=FED=45,AEF=90.在RtAEF中,tanAFE=AEFE,AEFE=tan 84.310.02,在ABE和FDE中,ABE=FDE=90,AEB=FED.ABEFDE,ABFD=AEFE,則ABFD=10.02,AB=10.02FD=18.03618(米).答:旗桿AB的高度約為18米.方法二:作FGAB于點G,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8,由題意知ABE和FDE均為等腰直角三角形,AB=BE,DE=FD=1.8,FG=DB=DE+BE=AB+1.8.在RtAFG中,tanAFG=AGFG,即AGFG=tan 39.3,AB-1.8AB+1.80.82,解得AB=18.218米.答:旗桿AB的高度約為18米.3.如圖,直線l與t軸垂直,垂足為D,它與從原點出發(fā)的三條射線分別交于點A,B,C.射線OA,OB,OC分別表示正常行走的人,站在自動扶梯上不走的人,在自動扶梯上同時正常行走的人所移動的路程s(m)與時間t(min)的函數(shù)關(guān)系,在這些關(guān)系中,正常行走的人的速度相同,自動扶梯的速度也相同.(1)猜想線段AD,BD,CD之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(2)已知COD=60,BOD=45,正常行走的人的速度是自動扶梯的速度的多少倍?解:(1)CD-BD=AD.理由:在時間相同的情況下,AD=tv人,BD=tv自動扶梯,CD=tv人+自動扶梯.CD-BD=tv人+自動扶梯-tv自動扶梯=t(v人+自動扶梯-v自動扶梯)=tv人=AD.(2)在RtCOD中,tanCOD=CDOD,CD=3OD.在RtBOD中,tanBOD=BDOD,BD=OD,AD=CD-BD=(3-1)OD,v人v自動扶梯=ADODBDOD=(3-1)ODODODBD=3-1,即正常行走的人的速度是自動扶梯的速度的(3-1)倍.4.美麗的黃河宛如一條玉帶穿城而過,沿河兩岸的濱河路風(fēng)情線是蘭州最美的景觀之一.數(shù)學(xué)課外實踐活動中,小林在南濱河路上的A,B兩點處,利用測角儀分別對北岸的一個觀景亭D進(jìn)行了測量.如圖,測得DAC=45,DBC=65.若AB=132米,求觀景亭D到南濱河路AC的距離約為多少米?(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):sin 650.91,cos 650.42,tan 652.14)解:過點D作DEAC,垂足為E,設(shè)BE=x.在RtDEB中,tan DBE=DEBE,DBC=65,DE=xtan 65.又DAC=45,AE=DE,132+x=xtan 65,解得x115.8,DE248米.答:觀景亭D到南濱河路AC的距離約為248米.