九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題突破講練 剖析與圓有關(guān)的計(jì)算試題 （新版）青島版.doc

剖析與圓有關(guān)的計(jì)算圓中有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題主要涉及以下三個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1. 利用勾股定理：要想利用勾股定理解題，必須確定出直角三角形，根據(jù)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方求出未知線段；或者用同一字母表示出三條邊長(zhǎng)，并根據(jù)勾股定理列出方程求解；2. 利用三角函數(shù)：利用三角函數(shù)求線段長(zhǎng)也必須在直角三角形中才能實(shí)施，在直角三角形中知道一角一邊即可解此直角三角形得出未知的角和邊，因此熟記特殊角的三角函數(shù)值是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)；注意：在圓中，往往利用垂徑定理和直徑所對(duì)的圓周角以及切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形。3. 利用相似三角形：利用相似三角形求線段長(zhǎng)是圓中最重要的一種解題方法和思路。因此要善于發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造相似三角形。常見(jiàn)的相似三角形模型有：例題 （南充）如圖，已知AB是O的直徑，BP是O的弦，弦CDAB于點(diǎn)F，交BP于點(diǎn)G，E在CD的延長(zhǎng)線上，EPEG，（1）求證：直線EP為O的切線；（2）點(diǎn)P在劣弧AC上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，若BG2BFBO。試證明BGPG；（3）在滿足（2）的條件下，已知O的半徑為3，sinB。求弦CD的長(zhǎng)。解析：（1）連結(jié)OP，先由EPEG，證出EPGBGF，再由BFGBGFOBP90，推出EPGOPB90來(lái)求證。（2）連結(jié)OG，由BG2BFBO，得出BFGBGO，得出BGOBFG90，根據(jù)垂線定理可得出結(jié)論。（3）連結(jié)AC、BC、OG，由sinB，求出OG，由（2）得出BOGF，求出OF，再求出BF，F(xiàn)A，利用直角三角形來(lái)求斜邊上的高，再乘以2得出CD長(zhǎng)度。解答：（1）證明：連結(jié)OP，EPEG，EPGEGP，又EGPBGF，EPGBGF，OPOB，OPBOBP，CDAB，BFGBGFOBP90，EPGOPB90，直線EP為O的切線；（2）證明：如圖，連結(jié)OG，OP，BG2BFBO，BFGBGO，BGOBFG90，由垂線定理知：BGPG；（3）解：如圖，連結(jié)AC、BC、OG、OP，sinB，OBr3，OG，由（2）得EPGOPB90，BBGFOGFBGF90，BOGF，sinOGFOF1，BFBOOF312，F(xiàn)AOFOA134，在RtBCA中，CF2BFFA，CF。CD2CF。點(diǎn)撥：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線，找準(zhǔn)角之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用直角三角形中的正弦值?！窘忸}技巧】1. 充分利用直徑，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理，建立方程。2. 已知條件中的三角函數(shù)值，要轉(zhuǎn)化為直角三角形中對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系。3. 善于利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例解決問(wèn)題。例題 （北京）如圖，AB是O的直徑，PA，PC分別與O 相切于點(diǎn)A，C，PC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，DEPO交PO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。（1）求證：EPDEDO；（2）若PC6，tanPDA，求OE的長(zhǎng)。解析：（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)即可證明：EPDEDO；（2）連接OC，利用，可求出CD4，再證明OEDDEP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出OE的長(zhǎng)。答案：（1）證明：PA，PC與O分別相切于點(diǎn)A，CPAPC，APOEPDAB是O的直徑PAABDEPOAE90POADOEAPOEDOEPOEDO（2）解：連結(jié)OC，則OCPD在RtPAD中，A90，PAPC6，tanPDA可得AD8，PD10CD4在RtOCD中，OCD90，CD4，tanODC可得OC3，OD5在RtPCO中，由勾股定理得PO可證RtDEORtPCO，即OE點(diǎn)撥：本題綜合考查了切線長(zhǎng)定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。（答題時(shí)間：30分鐘）一、選擇題1. （張家港市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，0），O與x軸的負(fù)半軸交于B（2，0）。點(diǎn)P是O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PA的中點(diǎn)為Q。當(dāng)點(diǎn)Q也落在O上時(shí)，cosOQB的值等于（）A. B. C. D. 2. （梧州一模）如圖，過(guò)等腰ABC三邊的中點(diǎn)D、F、G作O，并與兩腰AB、AC分別相交于點(diǎn)H、E，若B72，則BDH（）A. 32B. 34 C. 36 D. 723. 已知在ABC中，BAC90，M是邊BC的中點(diǎn)，BC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)N滿足AMAN。ABC的內(nèi)切圓與邊AB、AC的切點(diǎn)分別為E、F，延長(zhǎng)EF分別與AN、BC的延長(zhǎng)線交于P、Q，則（）A. 1B. 0.5C. 2D. 1.5*4. 一張半徑為2的半圓圖紙，沿它的一條弦折疊，使其弧與直徑相切，如圖所示，O為半圓圓心，如果切點(diǎn)分直徑之比為3：1，則折痕長(zhǎng)為（）A. 3B. C. D. *5.（北塘區(qū)二模）如圖，扇形OMN的半徑為1，圓心角是90。點(diǎn)B是弧MN上一動(dòng)點(diǎn)，BAOM于點(diǎn)A，BCON于點(diǎn)C，點(diǎn)D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點(diǎn)，GF與CE相交于點(diǎn)P，DE與AG相交于點(diǎn)Q。當(dāng)四邊形EPGQ是矩形時(shí)，OA的長(zhǎng)為（）A. B. C. D. 二、填空題6. （甘孜州）如圖，兩個(gè)半圓外切，它們的圓心都在x軸的正半軸上，并都與直線yx相切。若半圓O1的半徑為1，則半圓O2的半徑R。7.（相城區(qū)模擬）如圖，直線l與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P。若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），PB3PA，則直線l的解析式為。8.（西湖區(qū)一模）如圖，已知ABC，ACBC，C90。O是AB的中點(diǎn)，O與AC，BC分別相切于點(diǎn)D與點(diǎn)E。點(diǎn)F是O與AB的一個(gè)交點(diǎn)，連DF并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。則CDG，若AB，則BG。9.（上城區(qū)二模）如圖，O的半徑OD經(jīng)過(guò)弦AB（不是直徑）的中點(diǎn)C，OEAB交O于點(diǎn)E，PEOD，延長(zhǎng)直徑AG，交PE于點(diǎn)H，直線DG交OE于點(diǎn)F，交PE于K。若EF2，F(xiàn)O1，則KH的長(zhǎng)度等于。三、解答題10. （遵義）如圖，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，且ABC60，ABBC，ACD的外接圓O交BC于E點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)，交AC于P點(diǎn)，交AB的延長(zhǎng)線于F。（1）求證：CFDB；（2）當(dāng)AD時(shí)，試求E點(diǎn)到CF的距離。*11. （襄陽(yáng)）如圖，A，P，B，C是O上的四個(gè)點(diǎn)，APCBPC60，過(guò)點(diǎn)A作O的切線交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。（1）求證：ADPBDA；（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若AD2，PD1，求線段BC的長(zhǎng)。*12. （荊門(mén)）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，P是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與M、C重合），以AB為直徑作O，過(guò)點(diǎn)P作O的切線，交AD于點(diǎn)F，切點(diǎn)為E。（1）求證：OFBE；（2）設(shè)BPx，AFy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（3）延長(zhǎng)DC、FP交于點(diǎn)G，連接OE并延長(zhǎng)交直線DC于H（圖2），問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使EFOEHG（E、F、O與E、H、G為對(duì)應(yīng)點(diǎn)）？如果存在，試求（2）中x和y的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。一、選擇題1. C 解析：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到恰好點(diǎn)Q落在O上，連接QO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)C，連接QB，OP，BC，則CBQ90（直徑所對(duì)的圓周角是直角）B、Q分別是OA、AP的中點(diǎn)，BQOP，點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，0），O與x軸的負(fù)半軸交于B（2，0）。OPOBBAOA2，QB1在RtCQB中，CBQ90cosOQB。2. C 解：如圖，連接AD、GD，ABAC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，ADBC，B72，BAD90B907218，G是AB的中點(diǎn)，DGAG，BADADG，BGDBADADG181836，G、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，GF是ABC的中位線，AD垂直平分GF，AD經(jīng)過(guò)圓心O，BDHBGD36。3. A 解：取ACB的內(nèi)切圓的圓心是O，連接OE、OF，作NA的延長(zhǎng)線AG，則OEAB，OFAC，OEOF，BAC90，四邊形AEOF是正方形，AEAF，AEFAFE，BAC90，M為斜邊BC上中線，AMCMBM，MACMCA，BAC90，ANAM，BACMAGMAN90，GAEEAM90，EAMMAC90，MACCAN90，GAEMACMCA，EAMCAP，GAEAPEAEP，MCAQCFQ，AEFAFECFQ，EPANPQ，QNPQ，PNQN，14. C 解：過(guò)O作弦BC的垂線OP，垂足為D，與弧的交點(diǎn)分別為A、G，過(guò)切點(diǎn)F作PF半徑OE交OP于P點(diǎn)，如圖，OPBC，BDDC，即OP為BC的中垂線，OP必過(guò)弧BGC所在圓的圓心，又OE為弧BGC所在圓的切線，PFOE，PF必過(guò)弧BGC所在圓的圓心，點(diǎn)P為弧BGC所在圓的圓心，弧BAC沿BC折疊得到弧BGC，P的半徑等于O的半徑，即PFPGOE2，并且ADGD，OGAP，而F點(diǎn)分O的直徑為3：1兩部分，OF1，在RtOPF中，設(shè)OGx，則OPx2，OP2OF2PF2，即（x2）21222，解得x2，AG2（2）4，DG2，ODOGDG22，在RtOBD中，BD2OB2OD2，即BD222（）2，BD，BC2BD。5. A 解：如圖，連結(jié)OB。四邊形EPGQ是矩形。AEDCEB90。又DAEEBC90，AEDBCE。AEDBCE，設(shè)OAx，ABy，則：x，得y22x2，又OA2AB2OB2，即x2y212。x22x21，解得：x。即當(dāng)四邊形EPGQ是矩形時(shí)，OA的長(zhǎng)度為。二、填空題6. 32解析：作O1A直線yx于A，作O2B直線yx于B，O1CO2B于C，如圖，則O1C直線yx，CO1O2AOO1，直線yx平分xOy，AOO145，CO1O245，CO1O2為等腰直角三角形，O1和O2與直線yx相切，O1A1，O2BR，BC1，O2CR1，而O1和O2外切，O1O2R1，O1O2O2C，即R1（R1），R32。7. yx2 解析：過(guò)A作ADx軸于D，BEy軸于E，AD與BE相交于C，連結(jié)OA、OB，如圖，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），OD1，AD3，EC1，ACPE，PA：PBCE：BE，而PB3PA，BE3CE3，在RtOAD中，OA，OBOA，在RtOBE中，OEB點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），設(shè)直線AB的解析式為ykxb，把A（1，3）和B（3，1）代入得，解得，直線l的解析式為yx2。8. 67.5，2 解析：連接OD。CD切O于點(diǎn)D，ODA90，DOA45，ODOF，ODFOFDDOA22.5，CDGCDOODF9022.567.5。AC為圓O的切線，ODAC，又O為AB的中點(diǎn)，AOBOAB2，圓的半徑DOFOAOsinA22，BFOBOF22。GCAC，ODAC，ODCG，ODFG，又OFDBFG，ODFBGF，即，BG22。9. 2 解析：EF2，OF1，EODO3，PEOD，KEODOE，KODG，OFDEFK，EF：OFKE：OD2：1KE6，ACBC，AB不是直徑，ODAB，PCO90，PEOD，P90，EOAB，PEO90，OGOD，OGDODG，PEOD，KODG，OGDHGK，KHGK，HKHG，設(shè)KHHGx，則HE6x，HO3x，EO3，則EO2HE2HO2，即32（6x）2（3x）2，解得：x2，故KH的長(zhǎng)度等于2。三、解答題10.（1）證明：連結(jié)AE，如圖，ABC60，ABBC，ABC為等邊三角形，ABCD，DAB90，ADCDAB90，AC為O的直徑，AEC90，即AEBC，BECE，CDBF，DCEFBE，在DCE和FBE中，DCEFBE（ASA），DEFE，四邊形BDCF為平行四邊形，CFDB；（2）解：作EHCF于H，如圖，ABC為等邊三角形，BAC60，DAC30，在RtADC中，AD，DC1AC2CD2，ABAC2，BFCD1，AF3，在RtABD中，BD，在RtADF中，DF2，CFBD，EFDF，AEBC，CAEBAE30，EDCCAE30，而DCABAC60，DPC90，在RtDPC中，DC1，CDP30，PCDC，HFEPFC，RtFHERtFPC，即，EH，即E點(diǎn)到CF的距離為。11. （1）證明：作O的直徑AE，連接PE，AE是O的直徑，AD是O的切線，DAEAPE90，PADPAEPAEE90，PADE，PBAE，PADPBA，PADPBA，ADPBDA，ADPBDA；（2）PAPBPC，證明：在線段PC上截取PFPB，連接BF，PFPB，BPC60，PBF是等邊三角形，PBBF，BFP60，BFC180PFB120，BPAAPCBPC120，BPABFC，在BPA和BFC中，BPABFC（AAS），PAFC，PAPBPFFCPC；（3）解：ADPBDA，AD2，PD1，BD4，AB2AP，BPBDDP3，APD180BPA60，APDAPC，PADE，PCAE，PADPCA，ADPCAP，AP2CPPD，AP2（3AP）1，解得：AP或AP（舍去），BCAB2AP1。12. （1）證明：連接OEFE、FA是O的兩條切線FAOFEO90在RtOAF和RtOEF中，RtFAORtFEO（HL），AOFEOFAOE，AOFABE，OFBE（2）解：過(guò)F作FQBC于QPQBPBQxyPFEFEPFABPxy在RtPFQ中FQ2QP2PF222（xy）2（xy）2化簡(jiǎn)得：（1x2）（3）解：存在這樣的P點(diǎn)，理由：EOFAOF，EHGEOA2EOF，當(dāng)EFOEHG2EOF時(shí)，即EOF30時(shí)，RtEFORtEHG，此時(shí)RtAFO中，yAFOAtan30，當(dāng)時(shí)，EFOEHG。