九年級數(shù)學上冊 專題突破講練 相似中的“射影定理”試題 （新版）青島版.doc

相似中的“射影定理”1. 射影定理直角三角形射影定理（又叫歐幾里德（Euclid）定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。如圖，RtABC中，BAC90，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：（1）（2）（3）ABCABDDAC注意：（1）在RtABC中，AD為斜邊BC上的高，圖中共有6條線段：AC、BC、CD、AD、DB、AB，已知任意兩條，便可求出其余四條；（2）射影定理的每個乘積式中含三條線段，若已知兩條線段，可求第三條；（3）平方項一定是兩相似三角形的公共邊。2. 定理推論在ABC中，D是BC邊上的一點，且滿足，則有。ABDCBA例題1 已知CD是ABC的高，DECA，DFCB，求證：CEFCBA。解析：根據(jù)CDECAD和CDBCFD得和利用等量代換和變形，即可證明CEFCBA。答案：證明：在RtADC中，由射影定律得，在RtBCD中，CEFCBA點撥：本題主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的應用。做題時要善于發(fā)現(xiàn)相似，找出等量關系，進行適當?shù)淖冃?。例題2 已知：如圖，AB為O的直徑，AC為弦，CDAB于D。若AEAC，BE交O于點F，連接CF、DE。求證：（1） （2）解析：（1）根據(jù)AEAC，可以把結論轉化為證明，只需連接BC，證明ACDABC即可。（2）根據(jù)（1）中的結論，即可證明三角形ADE相似于三角形AEB，得到AEDB，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可證明。答案：（1）連接BC，AB為O的直徑，ACB90CDAB，ACDABC，ACAE，（2），EADBAE，ADEAEB，AEDBACFB，ACFAED點撥：本題主要考查了對相似三角形的判定和性質的掌握和應用，注意轉化思想的應用是解決本題的關鍵?！疽c總結】射影定理是相似三角形中的特殊形式，經常結合圓、矩形、平面直角坐標系和函數(shù)考查，因此要善于在復雜的圖形中發(fā)現(xiàn)滿足射影定理的模型，并對其進行代數(shù)式的變形，以及等量代換，從而達到解題目的。例題 如圖，在RtABC中，CD，CE分別是斜邊AB上的高和中線，BCa，ACb（ba），若，求的值。解析：在RtABC中，利用射影定理得到，進而得到BD的表達式，由面積法可求出CD的長，根據(jù)CE為中線，建立關系式DEBEBD，再根據(jù)正切函數(shù)的定義，建立關于a、b的關系式。答案：在RtABC中，ACB90，CDAB，即：。由等面積法知：，。又因為CE是中線，則。在RtCDE中， 得：，解得，于是有或（舍負值）。點撥：本題考查了射影定理、勾股定理、解直角三角形，綜合性較強，要認真對待。（答題時間：30分鐘）一、選擇題1. 在RtABC中，C90，CDAB，垂足為點D，若AD：BD9：4，則AC：BC的值為（ ）A. 9：4 B. 3：2 C. 4：9 D. 2：3*2. 在RtABC中，BAC90，ADBC于點D，若，則（ ）A. B. C. D. *3. 已知：在ABC中，BAC90，ADBC于D，M為BC中點。下列關系式中正確的是（ ）A. B. C. D. *4. 若正實數(shù)x，y，z滿足， 。則下列關系式中正確的是（ ）A. B. C. D. 無法確定二、填空題*5. 如圖，ABC中，點D在BC上，以為直徑作O，恰過A點，若AC與O相切，則AB的長為 。*6. 如圖，矩形ABCD中， ，點E在BC上，點F在CD上，且，F(xiàn)GAE于G，則AG：GE 。*7. 兩個任意大小的正方形，都可以適當剪開，拼成一個較大的正方形，如用兩個邊長分別為a，b的正方形拼成一個大正方形。圖中RtABC的斜邊AB的長等于 （用a，b的代數(shù)式表示）。*8. RtABC中，BAC90，AD是斜邊BC上的高，則 三者之間的等量關系式為 。三、解答題*9. 如圖，AB為O的直徑，C為O上一點，CDAB于點D，交AE于點G，弦CE交AB于點F，求證：。*10. （沈陽模擬）已知RtABC中，BAC90，ADBC，垂足為D，DFAC，垂足為F，DEAB，垂足為E。求證：（）（）*11. 已知：如圖，BD、CE是ABC的高，DGBC與CE交于F，GD的延長線與BA的延長線交于點H。求證：。*12. （莆田）（1）如圖1，在RtABC中，ABC90，BDAC于點D。求證：；（2）如圖2，在RtABC中，ABC90，點D為BC邊上的點，BEAD于點E，延長BE交AC于點F。，求的值；（3）在RtABC中，ABC90，點D為直線BC上的動點（點D不與B、C重合），直線BEAD于點E，交直線AC于點F。若，請?zhí)骄坎⒅苯訉懗龅乃锌赡艿闹担ㄓ煤琻的式子表示），不必證明。1. B 解析：由射影定理得，又，故選B。2. C 解析：由勾股定理得： ，可得：ABCDBADAC，選C。3. A 解析：由BAC90，ADBC， ABCDBADAC，可得，。又M為BC中點，可得，。4. B 解析：如圖，由條件可構造RtABC，由條件聯(lián)想到射影定理，作斜邊z上的高r，由三角形的面積可得：，即。5. 解析：連接AD，作于H點，設， 由CADCBA得：由射影定理得：，故，又知H為BC中點，故，即由、解得：。6. 41 解析：矩形ABCD中，點E在BC上，點F在CD上，且，F(xiàn)GAE于G，又ECFFDA，CEFDFA，AFDFEC，AFDCFEFECCFE90，AFE90又FGAE，AFEAGF，AFGFEG，則AG2FG，2，AG4EG，AG：GE4：1。 7. 解析：RtABC的邊BC在斜邊AB上的射影為a，由BC2aAB可得。8. 解析：由射影定理可得：，；，化簡可得。9. 證明：延長CG，交O于點M，ABCM，ACGE又CAGEAC CAGEAC 10. 證明：（）因為RtABC中，BAC90，ADBC。顯然ABDCBA，即（）由射影定理知又由三角形相似可知，且DFAE，結合射影定理 11. 證明：BDAC，DGBC，DGCDGB90，CDB90，由射影定理得：CGDDGB， ，CEAB，ECBCBE90，又HGBH90，ECBH，F(xiàn)GCHGB90，CGFHGB， 12. （1）證明：如圖，BDAC，ABC90，ADBABC，又AA，ADBABC，。（2）解：方法一：如圖，過點C作CGAD交AD的延長線于點G，BEAD，CGDBED90，CGBF。，ABBC2BD2DC，BDDC，又BDECDG，BDECDG，由（1）可得：，AE4DE，。CGBF，。方法二：如圖，過點D作DGBF，交AC于點G，ABBC。DGBF，F(xiàn)C2FG。由（1）可得：，DGBF，。（3）解：點D為直線BC上的動點（點D不與B、C重合），有三種情況：（I）當點D在線段BC上時，如圖所示：過點D作DGBF，交AC邊于點G。，DGBF，由（1）可得：，；DGBF，即，化簡得：；（）當點D在線段BC的延長線上時，如圖所示：過點D作DGBE，交AC邊的延長線于點G。同理可求得：；（）當點D在線段CB的延長線上時，如圖所示：過點D作DGBF，交CA邊的延長線于點G。同理可求得：。