九年級數(shù)學下冊 專題突破講練 二次函數(shù)在幾何圖形中的應用試題 （新版）青島版.doc

二次函數(shù)在幾何圖形中的應用二次函數(shù)在幾何圖形中的應用1. 可用二次函數(shù)解決的幾何問題特點：與面積相關。2. 可用二次函數(shù)解決的幾何問題類型：三角形、四邊形、圓等。3. 建立二次函數(shù)模型的依據(jù)：三角形、四邊形、圓的面積公式。方法歸納（1）在圓的問題中，設半徑或直徑為自變量，則圓面積是半徑或直徑的二次函數(shù)。（2）在矩形中，設一邊為自變量，另一邊用自變量表示，則其面積是這一邊長的二次函數(shù)。（3）在三角形或一般四邊形中，通常設一邊為自變量，用自變量表示這條邊上的高，則其面積是這一邊長的二次函數(shù)?？偨Y(jié)：1. 能夠根據(jù)幾何圖形的特點建立二次函數(shù)模型。2. 會利用二次函數(shù)解決與幾何圖形相關的實際應用問題。例題1 如圖所示，有一塊直角三角形的鐵板，要在其內(nèi)部作一個長方形ABCD，其中AB和BC分別在兩直角邊上，設ABx m，長方形的面積為y m2，要使長方形的面積最大，其邊長x應為（ ）A. 4mB. 3mC. 2mD. m解析：根據(jù)長方形的面積大三角形的面積兩個小三角形的面積確定x與y之間的函數(shù)關系式，求出函數(shù)值y最大時自變量x的取值即可。答案：根據(jù)題意得：y30（5x）x（12），整理得yx212xx25x（）2（x）2150，長方形面積有最大值，當長方形面積最大時，邊長x應為m，故選D。點撥：求二次函數(shù)的最大（?。┲涤腥N方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法，當二次項系數(shù)a的絕對值是較小的整數(shù)時，用配方法較好，如yx22x5，y3x26x1等用配方法求解比較簡單。例題2 某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長（圖中所有黑線的長度和）為15m當半圓的半徑等于多少時，窗戶通過的光線最多？（結(jié)果精確到0.01m）此時，窗戶的面積是多少？（精確到0.01m2）解析：先將圖形分割成半圓和矩形，分別表示各部分的面積，建立函數(shù)關系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。本題的突破口是找出圓的半徑與小矩形豎直邊長之間的關系。答案：設半圓的半徑為r m，小矩形的豎直邊長為y m，大矩形水平邊長為2rm。則4y7rr15，y。設窗戶的面積為S，則Sr22ryr22r3.5r27.5r，因為3.50，所以S有最大值。當r1.07（m）時，S最大值4.02（m2）。即當半徑約為1.07m時，窗戶通過的光線最多，此時窗戶的面積約為4.02m2。點撥：二次函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合時，往往題目并未明確表示二次函數(shù)的關系式，二次函數(shù)的關系式可能隱藏在幾何圖形中，這時我們需要根據(jù)題中所給的信息設出自變量和函數(shù)，推導出函數(shù)關系式，再求出相應最值。建立三角形或四邊形的面積與邊長之間的二次函數(shù)關系時，關鍵是找出三角形或四邊形的高，用面積公式建立二次函數(shù)關系，當所給幾何圖形的邊長與高之間的關系不明顯時，常常把幾何圖形分割成三角形或四邊形，或利用等積式將問題轉(zhuǎn)化，滿分訓練 某水渠的橫截面呈拋物線形，水面的寬度為AB（單位：米），現(xiàn)以AB所在直線為x軸，以拋物線的對稱軸為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設坐標原點為O。已知AB8米，設拋物線解析式為yax24。（1）求a的值；（2）點C（1，m）是拋物線上一點，點C關于原點O的對稱點為點D，連接CD，BC，BD，求BCD的面積。解：（1）AB8，由拋物線的性質(zhì)可知OB4，B（4，0），把B點坐標代入解析式得：16a40，解得：a；（2）過點C作CEAB于E，過點D作DFAB于F，a，yx24，令x1，m（1）24，C（1，），C關于原點的對稱點為D，D的坐標為（1，），則CEDF，SBCDSBODSBOCOBDFOBCE4415，BCD的面積為15平方米。分析：本題考查了二次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法函數(shù)解析式。解答這類問題時注意充分利用圖象中的某些特殊點，如頂點、拋物線與x軸的交點等。理解線段的長度與點的坐標之間的關系是解題關鍵。一、選擇題1. 設等邊三角形的邊長為x（x0），面積為y，則y與x的函數(shù)關系式是（ ）A. yx2B. yx2C. yx2D. yx22. 長方形的周長為24cm，其中一邊為x（其中x0），面積為ycm2，則這樣的長方形中y與x的關系可以寫為（ ）A. yx2B. y（12x2）C. y（12x）xD. y2（12x）3. 如圖，在平面直角坐標系中，點A是拋物線ya（x3）2k與y軸的交點，點B是這條拋物線上的另一點，且ABx軸，則以AB為邊的等邊三角形ABC的周長為（ ）A. 9B. 12C. 18D. 20*4. 在平面直角坐標系中，如果橫坐標與縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點，將二次函數(shù)yx26x的圖象與x軸所圍成的封閉圖形染成紅色，則在此紅色區(qū)域內(nèi)部及其邊界上的整點的個數(shù)是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8*5. 如圖，在矩形ABCD中，ABa，BCb，a3b，AEAHCFCG，則四邊形EFGH的面積的最大值是（ ）A. （ab）2B. （ab）2C. （ab）2D. （ab）2*6. 數(shù)學活動課上，老師向同學們講學校正在規(guī)劃籌建周長為400m的跑道的消息，鼓勵同學們試著給要建的跑道畫一個示意圖。要求跑道的兩端是半圓形，中間是直線跑道，且跑道中間矩形面積最大。下面是四位同學給出的示意圖，你認為正確的是（ ）二、填空題7. 在半徑為4cm的圓中，挖去一個半徑為x cm的圓面，剩下一個圓環(huán)的面積為y cm2，則y與x的函數(shù)關系式為_。8. 如圖，已知等腰直角ABC的直角邊長與正方形MNPQ的邊長均為20厘米，AC與MN在同一直線上，開始時點A與點N重合。讓ABC以每秒2厘米的速度向左運動，最終點A與點M重合，則重疊部分面積y（厘米2）與時間t（秒）之間的函數(shù)關系式為_。*9. 如圖，ABC是直角三角形，A90，AB8cm，AC6cm，點P從點A出發(fā)，沿AB方向以2cm/s的速度向點B運動；同時點Q從點A出發(fā)，沿AC方向以1cm/s的速度向點C運動，其中一個動點到達終點，則另一個動點也停止運動，則三角形APQ的最大面積是_。 *10. 如圖所示，從邊長為5的正方形紙片ABCD中剪去直角EBF（點E在邊AB上，點F在邊BC上）。若EBBF，則五邊形AEFCD的面積的最小值是_。三、解答題11. 某高中學校為高一新生設計的學生單人桌的抽屜部分是長方體。其中，抽屜底面周長為180cm，高為20cm。請通過計算說明，當?shù)酌娴膶抶為何值時，抽屜的體積y最大？最大為多少？（材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計）。12. 已知拋物線yx22xm1與x軸只有一個交點，且與y軸交于A點，如圖，設它的頂點為B。（1）求m的值；（2）過A作x軸的平行線，交拋物線于點C，求證：ABC是等腰直角三角形。*13. 如圖，四邊形ABCD是矩形，A、B兩點在x軸的正半軸上，C、D兩點在拋物線yx26x上。設OAm（0m3），矩形ABCD的周長為l，求l與m的函數(shù)解析式。*14. 用長為12m的籬笆，一邊利用足夠長的墻圍出一塊苗圃。如圖，圍出的苗圃是五邊形ABCDE，AEAB，BCAB，CDE。設CDDEx m，五邊形ABCDE的面積為S m2。問：怎樣設計才能使圍出的苗圃面積最大，最大面積是多少？*15. 用長度為20m的金屬材料制成如圖所示的金屬框，下部為矩形，上部為等腰直角三角形，其斜邊長為2x m。當該金屬框圍成的圖形面積最大時，圖形中矩形的相鄰兩邊長各為多少？請求出金屬框圍成的圖形的最大面積。1. D 解析：作出BC邊上的高AD。ABC是等邊三角形，邊長為x，CDx，ADx，yxADx22. C 解析：長方形的周長為24cm，其中一邊為x（其中x0），長方形的另一邊長為12x，y（12x）x故選C。3. C 解析：由題意可知拋物線的對稱軸為x3，所以AB6，所以等邊三角形ABC的周長為18。*4. C 解析：拋物線與x軸兩交點坐標分別為（，0）、（，0），當x2時y412，所以紅色區(qū)域內(nèi)在直線x2上的整點有（2，0）和（2，1）；當x3時y，且拋物線的對稱軸是x3，所以紅色區(qū)域內(nèi)在直線x3上的整點有（3，0）、（3，1）、（3，2）；由拋物線的對稱性可知在紅色區(qū)域內(nèi)直線x4上的整點有兩個。所以滿足題意的整點共7個。本題可用數(shù)形結(jié)合法，畫出圖象，結(jié)果一目了然。*5. B 解析：設AEAHCFCGx，則BEDGax，BFDHbx，設四邊形EFGH的面積為y，依題意，得yabx2（ax）（bx），即y2x2（ab）x，20，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值為（ab）2。故選B。*6. B 解析：設矩形的長為x m，半圓的半徑是r m，中間的矩形區(qū)域面積是S m2，根據(jù)題意知2x2r400。所以S2rxr（4002r）2r2400r，即S是r的二次函數(shù)，其圖象開口向下，當r時，S取得最大值。此時x100（m），所以，應設計矩形的長為100m，寬約為2r63.7m時，矩形面積最大，故選B。7. yx216 解析：半徑為4的圓的面積是16，半徑為x的圓的面積是x2，所以函數(shù)解析式為yx216。8. y（202t）2 解析：由題意可知重疊部分為等腰直角三角形，且AM202t，所以重疊部分的面積y（202t）2。9. 16cm2 解析：根據(jù)題意，點P沿AB方向以2cm/s的速度向點B運動；同時點Q從點A出發(fā)，沿AC方向以1cm/s的速度向點C運動，AP2t，AQt，SAPQt2，0t4，三角形APQ的最大面積是16。10. 23 解析：本題即是求EBF面積的最大值，設其面積為y，yBEBF，因為EBBF，設BEx，則BFx，所以yx（x）x2x。由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當x時y取得最大值為y。所以五邊形AEFCD的面積的最小值是25。11. 解：已知抽屜底面寬為x cm，則底面長為1802x（90x）cm。由題意得：yx（90x）2020（x290x）20（x45）240500，當x45時，y有最大值，最大值為40500。答：當抽屜底面寬為45cm時，抽屜的體積最大，最大體積為40500cm3。12. 解：（1）拋物線與x軸只有一個交點，說明0，即（2）24（m1）0，m2。（2）由（1）得拋物線的解析式是yx22x1，A（0，1），B（1，0），AOB是等腰直角三角形。又ACOB，BACOAB45，A，C是拋物線上一對對稱點，ABBC，ABC是等腰直角三角形。*13. 解：把xm代入拋物線yx26x中，得ADm26m，把ym26m代入拋物線yx26x中，得m26mx26x，解得x1m，x26m，C的橫坐標是6m，故AB6mm62m，矩形的周長l2（m26m）2（62m），即l2m28m12。*14. 解：連接EC，作DFEC，垂足為F，DCBCDEDEA，EABCBA90，DCBCDEDEA120，DECD，DECDCE30，CEAECB90，四邊形EABC為矩形，DEx m，AE6x，DFx，ECx，Sx26x（0x6）。當x4m時，S最大12m2。*15. 解：根據(jù)題意等腰直角三角形的直角邊長為x m，矩形的一邊長為2x m。所以S2x102xxxx（32）x220x，（0x105）。當x3020時，金屬框圍成的面積最大，此時矩形的一邊長2x6040（m），相鄰邊長為10（2）10（32）1010（m），S最大100（32）300200（m2）。