江蘇省徐州市2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提分專練05相似三角形綜合問題習(xí)題.doc

提分專練(五)相似三角形綜合問題|類型1|平面直角坐標(biāo)系中的相似1.xx鄂州 如圖T5-1,已知直線y=12x+12與拋物線y=ax2+bx+c相交于A(-1,0),B(4,m)兩點(diǎn),拋物線y=ax2+bx+c交y軸于 點(diǎn)C0,-32,交x軸正半軸于D點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為M. (1)求拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo); (2)設(shè)點(diǎn)P為直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PAB的面積最大時(shí),求PAB的面積及點(diǎn)P的坐標(biāo); (3)點(diǎn)Q為x軸上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是拋物線上一點(diǎn),當(dāng)QMNMAD(點(diǎn)Q與點(diǎn)M對(duì)應(yīng))時(shí),求Q點(diǎn)的坐標(biāo).圖T5-1|類型2|相似三角形與四邊形2.xx大連 如圖T5-2,四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,BC=n,ABD+ADB=ACB. (1)填空:BAD與ACB的數(shù)量關(guān)系為; (2)求mn的值; (3)將ACD沿CD翻折,得到ACD(如圖),連接BA,與CD相交于點(diǎn)P.若CD=5+12,求PC的長.圖T5-2|類型3|相似三角形與平行四邊形3.xx重慶A卷 如圖T5-3,在ABCD中,點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn),點(diǎn)E是BC上一點(diǎn),且AB=AE,連接EO并延長交AD 于點(diǎn)F.過點(diǎn)B作AE的垂線,垂足為H,交AC于點(diǎn)G. (1)若AH=3,EH=1,求ABE的面積; (2)若ACB=45,求證:DF=2CG.圖T5-3|類型4|相似三角形與圓4.xx蘇州 如圖T5-4,已知ABC內(nèi)接于O,AB是直徑,點(diǎn)D在O上,ODBC,過點(diǎn)D作DEAB,垂足為E,連接CD 交OE邊于點(diǎn)F. (1)求證:DOEABC; (2)求證:ODF=BDE; (3)連接OC,設(shè)DOE的面積為S1,四邊形BCOD的面積為S2,若S1S2=27,求sinA的值.圖T5-4|類型5|相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題5.xx宿遷 如圖T5-5,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,4),直線y=34x-3與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)M是直線 AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PM長的最小值為.圖T5-56.如圖T5-6,在RtABC中,C=90,AC=4 cm,BC=3 cm.動(dòng)點(diǎn)M,N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),均以每秒1 cm的速度分別沿CA,CB 向終點(diǎn)A,B移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2 cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng),連接PM,PN,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(單 位:s,0<t<2.5). (1)當(dāng)t為何值時(shí),以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似? (2)是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值?若存在,求出S的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.圖T5-6參考答案1.解析 (1)將B(4,m)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的關(guān)系式即可解得點(diǎn)B的坐標(biāo),再將A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)關(guān)系式即可求出其關(guān)系式,再將其化為頂點(diǎn)式就能得到點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)過點(diǎn)P作PEx軸,交AB于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BFx軸于點(diǎn)F,則SPAB=12PEAF.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為n,12n2-n-32,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為n,12n+12,即可得到SPAB的函數(shù)關(guān)系式,將其化為頂點(diǎn)式即可求出最大值;(3)由勾股定理的逆定理可證得MAD是等腰直角三角形,則QMN也是等腰直角三角形,從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo).解:(1)將B(4,m)的坐標(biāo)代入y=12x+12,得m=124+12=52,B4,52.將A(-1,0),B4,52,C0,-32的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c得a-b+c=0,16a+4b+c=52,c=-32,解得a=12,b=-1,c=-32,拋物線的解析式為y=12x2-x-32,y=12(x2-2x)-32=12(x-1)2-2,故頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-2).(2)如圖,過點(diǎn)P作PEx軸,交AB于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BFx軸于點(diǎn)F.A(-1,0),B4,52,AF=4(1)=5.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為n,12n2-n-32,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為n,12n+12.點(diǎn)P在直線AB下方,PE=12n+12-12n2-n-32=-12n2+32n+2,SPAB=SAPE+SBPE=12PEAG+12PEFG=12PE(AG+FG)=12PEAF=125-12n2+32n+2=-54n-322+12516,當(dāng)n=32時(shí),PAB的面積最大,且最大面積為12516,當(dāng)n=32時(shí),12n2-n-32=12322-32-32=-158,故此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為32,-158.(3)拋物線的解析式為y=12x2-x-32=12x-12-2,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1.又A(-1,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,0),又M的坐標(biāo)為(1,-2),AD=3(1)=4,AD2=42=16,AM2=1-(-1)2+(-2)2=8,DM2=(13)2+(20)2=8,AD2=AM2+DM2,且AM=DM,MAD是等腰直角三角形,AMD=90,又QMNMAD,QMN也是等腰直角三角形且QM=QN,MQN=90,QMN=45,又AMD=90,AMQ=QMD=45,此時(shí)點(diǎn)D(或點(diǎn)A)與點(diǎn)N重合(如圖),此時(shí)MQx軸,故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,0).2.解:(1)由于ABD+ADB=ACB,所以BAD+ACB=BAD+ABD+ADB=180,故答案為:BAD+ACB=180.(2)作DEAB,交AC于點(diǎn)E,則DEA=BAE,OBA=ODE,又OB=OD,OABOED(AAS),AB=DE,OA=OE,設(shè)AB=DE=CE=x,OA=OE=y,EDA+DAB=180,BAD+ACB=180,EDA=ACB.DEA=EAB,EDAACB,EDAC=AEAB=DACB=mn,即xx+2y=2yx,4y2+2xy-x2=0,2yx2+2yx-1=0,解得2yx=-1+52(舍負(fù)),mn=5-12.(3)作DEAB交AC于E.易知DE=CE,EDC=ECD,DCA=DCA,EDC=DCA,DECA,ABDE,ABCA,ABC+ACB=180,EADABC,DAE=ABC=DAC,DAC+BCA=180,ADBC,PADPBC,ADBC=PDPC=5-12,PD+PCPC=5+12,即CDPC=5+12,CD=5+12,PC=1.3.解:(1)BHAE于點(diǎn)H,AB=AE,AH=3,EH=1,AE=AH+EH=4=AB.在RtABH中,由勾股定理,得BH=AB2-AH2=7.SABE=12AEBH=1247=27.(2)證明:O是AC的中點(diǎn),OA=OC.在ABCD中,ADBC,AD=BC,AOFCOE.AFCE=AOCO=1,從而AF=CE.DF=BE.過點(diǎn)A作AMBC,過點(diǎn)G作GNBC,垂足分別為M,N,AM交BH于點(diǎn)K,如圖.AB=AE,AMBC,BM=ME=12BE,BAM=EAM,AMB=AHK=90.又BKM=AKH,KBM=BAM.AMC=90,ACB=45,GNC=90,MAC=45=GCN.AGB=GBC+GCN,BAG=BAM+MAC,AGB=BAG.AB=BG.又AMB=BNG=90,MAB=GBN,ABMBGN.BM=NG.又BE=2BM,GN=22GC,BE=222GC=2GC.DF=2CG.4.解:(1)證明:AB是O的直徑,ACB=90.DEAB,DEO=90.DEO=ACB.ODBC,DOE=ABC,DOEABC.(2)證明:DOEABC,ODE=A.A和BDC都是BC所對(duì)的圓周角,A=BDC,ODE=BDC.ODF=BDE.(3)DOEABC,SDOESABC=ODAB2=14,即SABC=4SDOE=4S1,OA=OB,SBOC=12SABC,即SBOC=2S1.S1S2=27,S2=SBOC+SDOE+SDBE=2S1+S1+SDBE,SDBE=12S1,BE=12OE,即OE=23OB=23OD,sinA=sinODE=OEOD=23.5.285解析 根據(jù)垂線段最短,所以PM長的最小值就是當(dāng)PMAB時(shí)PM的長.根據(jù)直線y=34x-3與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,令x=0,求得y=-3,所以B(0,-3),即OB=3;令y=0,求得x=4,所以A(4,0),即OA=4.在RtAOB中,根據(jù)勾股定理得:AB=OA2+OB2=42+32=5.在RtPMB與RtAOB中,PBM=ABO,PMB=AOB,RtPMBRtAOB,PMAO=PBAB,即PM4=75.PM=285.6.解:在RtABC中,C=90,AC=4,BC=3.根據(jù)勾股定理,得AB=AC2+BC2=5.(1)以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似,分兩種情況:當(dāng)AMPABC時(shí),APAC=AMAB,即5-2t4=4-t5,解得t=32.當(dāng)APMABC時(shí),AMAC=APAB,即4-t4=5-2t5,解得t=0(不合題意,舍去).綜上所述,當(dāng)t=32時(shí),以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似.(2)存在某一時(shí)刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值.理由如下:假設(shè)存在某一時(shí)刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值.如圖,過點(diǎn)P作PHBC于點(diǎn)H.則PHAC,PHAC=BPBA,即PH4=2t5,PH=85t,S=SABC-SBPN=1234-12(3-t)85t=45t-322+215(0<t<2.5).45>0,S有最小值.當(dāng)t=32時(shí),S最小值=215.即當(dāng)t=32時(shí),四邊形APNC的面積S有最小值,其最小值是215 cm2.