八年級數(shù)學(xué)下冊 專題突破講練 巧用三角形中位線試題 (新版)青島版.doc
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八年級數(shù)學(xué)下冊 專題突破講練 巧用三角形中位線試題 (新版)青島版.doc
巧用三角形中位線1. 三角形中位線定義連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫中位線。注意:(1)要把三角形的中位線與三角形的中線區(qū)分開。(2)三角形有三條中位線。2. 定理三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半。如果EF為ABC的中位線,則EFBC且EF=BC。注意:位置關(guān)系平行數(shù)量關(guān)系等于第三邊的一半3. 三角形中位線定理的應(yīng)用:(1)證明角相等關(guān)系;(2)證明線段的倍分以及相等關(guān)系;(3)證明線段平行關(guān)系。例題1 如圖,自ABC的頂點A,向B和C的平分線作垂線,垂足分別為D、E。求證:DEBC。解析:欲證ED/BC我們可想到有關(guān)平行的判定,但要找到有關(guān)角的關(guān)系很難,這時只要通過延長AD、AE,交BC與CB的延長線于G與H,通過證明三線合一易證D是AG的中點,同理E為AH的中點,故,ED是AHG的中位線,當(dāng)然有DEBC。答案:證明:延長AD、AE交BC、CB的延長線于G、H,BD平分ABC,1=2,又BDAD,ADB=BDG=90ABG為等腰三角形AD=DG,同理可證,AE=GE,D,E分別為AG,AH的中點,EDBC點撥:本題巧妙地應(yīng)用了等腰三角形的三線合一,但最終還是利用中位線的性質(zhì)得出結(jié)論。例題2 如圖,已知平行四邊形ABCD中,BD為對角線,點E、F分別是AB、BC的中點,連結(jié)EF,交BD于M點。求證:(1)BM=BD;(2)ME=MF。解析:(1)由E、F分別為AB、BC的中點想到連結(jié)AC,由平行線等分線段定理可證得BM=MO。又因為平行四邊形的對角線互相平分,可得BO=OD,即BM=BD。(2)由問題(1)中的輔助線,即連結(jié)AC,由三角形中位線定理可得,又由平行四邊形對角線互相平分即可得到問題(2)的結(jié)論。答案:證明:(1)連結(jié)AC,交BD于O點,E、F分別為AB、BC中點,EFAC,BM=MO= BO又四邊形ABCD是平行四邊形BO=OD=BD,AO=OC=AC,BM=BO=BD;(2)M是BO的中點,E、F分別是AB、BC的中點。ME=AO,MF=OC,又AOOC,MEMF。點撥:問題(1)運用了三角形中位線的位置關(guān)系,即三角形的中位線平行于底邊,而問題(2)直接運用了三角形中位線的數(shù)量關(guān)系。三角形中位線定理及其應(yīng)用,在初中數(shù)學(xué)中占有很重要的地位,如何正確添加輔助線構(gòu)造三角形中位線是一個重點也是一個難點。要善于覺察圖形中的有關(guān)定理的基本圖形,涉及到中點問題時要及時聯(lián)想到有關(guān)定理。例題 如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,E、F分別是CD、AB的中點,直線EF分別交BC、AD的延長線于S、T兩點,求證:ATF=BSF。解析:連結(jié)AC,取AC的中點H,連結(jié)EH、FH,根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EHAD,EH=AD,F(xiàn)HBC,F(xiàn)H=BC,然后求出EH=FH,根據(jù)等邊對等角可得EFH=FEH,再根據(jù)兩直線平行,同位角相等可得ATF=FEH,兩直線平行,內(nèi)錯角相等可得BSF=EFH,然后等量代換即可得證。答案:證明:如圖,連結(jié)AC,取AC的中點H,連結(jié)EH、FH,E、F分別是CD、AB的中點,EH、FH分別是ACD和ABC的中位線,EHAD,EH=AD,F(xiàn)HBC,F(xiàn)H=BCAD=BC,EH=FH,EFH=FEH,又EHAD,F(xiàn)HBC,ATF=FEH,BSF=EFH,ATF=BSF。點撥:本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半,平行線的性質(zhì),等邊對等角的性質(zhì),熟記各性質(zhì)并作輔助線,考慮利用三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵。(答題時間:30分鐘)一、選擇題1.(宜昌)如圖,A,B兩地被池塘隔開,小明通過下列方法測出了A、B間的距離:先在AB外選一點C,然后測出AC,BC的中點M,N,并測量出MN的長為12m,由此他就知道了A、B間的距離。有關(guān)他這次探究活動的描述錯誤的是()A. AB=24mB. MNABC. CMNCABD. CM:MA=1:22.(瀘州)如圖,等邊ABC中,點D、E分別為邊AB、AC的中點,則DEC的度數(shù)為()A. 30B. 60C. 120D. 1503.(泰安)如圖,ACB=90,D為AB的中點,連結(jié)DC并延長到E,使CE=CD,過點B作BFDE,與AE的延長線交于點F。若AB=6,則BF的長為()A. 6B. 7C. 8D. 104. (福州模擬)如圖,ABC的中線BD、CE交于點O,連結(jié)OA,點G、F分別為OC、OB的中點,BC=4,AO=3,則四邊形DEFG的周長為()A. 6B. 7C. 8D. 125.(邢臺二模)如圖,四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD互相垂直,A1B1C1D1是四邊形ABCD的中點四邊形,如果AC=8,BD=10,那么四邊形A1B1C1D1的面積為()A. 20B. 40C. 36D. 10二、填空題6. (懷化)如圖,D、E分別是ABC的邊AB、AC上的中點,則SADE:SABC=_。7.(邵陽)如圖,在RtABC中,C=90,D為AB的中點,DEAC于點E。A=30,AB=8,則DE的長度是_。8.(沈陽)如圖,ABC三邊的中點D,E,F(xiàn)組成DEF,DEF三邊的中點M,N,P組成MNP,將FPM與ECD涂成陰影。假設(shè)可以隨意在ABC中取點,那么這個點取在陰影部分的概率為_。9.(天橋區(qū)一模)如圖,在菱形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AC的中點,如果EF=2,那么菱形的周長為_。10.(海門市模擬)如圖,在ABC中,ACB=52,點D,E分別是AB,AC的中點。若點F在線段DE上,且AFC=90,則FAE的度數(shù)為_。三、解答題11.(南京)如圖,在ABC中,D、E分別是AB、AC的中點,過點E作EFAB,交BC于點F。(1)求證:四邊形DBFE是平行四邊形;(2)當(dāng)ABC滿足什么條件時,四邊形DBFE是菱形?為什么?12.(鞍山一模)(1)如圖1所示,在四邊形ABCD中,E、F分別是BC、AD的中點,連接FE并延長,分別與BA、CD的延長線交于點M、N,則BME=CNE,求證:AB=CD。(提示取BD的中點H,連結(jié)FH,HE作輔助線)(2)如圖2所示,在ABC中,且O是BC邊的中點,D是AC邊上一點,E是AD的中點,直線OE交BA的延長線于點G,若AB=DC=5,OEC=60,求OE的長度。一、選擇題1. D 解析:M、N分別是AC,BC的中點,MNAB,MN=AB,AB=2MN=212=24m,CMNCAB,M是AC的中點,CM=MA,CM:MA=1:1,故描述錯誤的是D選項。2. C 解析:由等邊ABC得C=60,由三角形中位線的性質(zhì)得DEBC,DEC=180C=18060=120,3. C 解析:如圖,ACB=90,D為AB的中點,AB=6,CD=AB=3。又CE=CD,CE=1,ED=CE+CD=4。又BFDE,點D是AB的中點,ED是AFB的中位線,BF=2ED=8。4.B 解析:BD,CE是ABC的中線,EDBC且ED=BC,F(xiàn)是BO的中點,G是CO的中點,F(xiàn)GBC且FG=BC,ED=FG=BC=2,同理GD=EF=AO=1.5,四邊形DEFG的周長為1.5+1.5+2+2=7。5. A 解:A1B1C1D1是四邊形ABCD的中點四邊形,AC=8,BD=10,A1D1=B1C1=BD=5,A1B1=C1D1=AC=4,A1D1BDB1C1,A1B1ACC1D1,四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD互相垂直,四邊形A1B1C1D1是矩形,SA1B1C1D1=54=20。二、填空題6. 1:4 解析:D、E是邊AB、AC上的中點,DE是ABC的中位線,DEBC且DE=BC,ADEABC,SADE:SABC=(1:2)2=1:4。7. 2 解析:D為AB的中點,AB=8,AD=4,DEAC于點E,A=30,DE=AD=2。8. 解析:D、E分別是BC、AC的中點,DE是ABC的中位線,EDAB,且DE=AB,CDECBA,=,SCDE=SCBA。同理,SFPM=SFDE=SCBA,SFPM+SCDE=SCBA,則=。9. 16 解析:菱形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AC的中點,EF=2,BC=2EF=22=4。即AB=BC=CD=AD=4。故菱形的周長為4BC=44=16。10. 64 解析:D,E分別是AB,AC的中點,DE是三角形ABC的中位線,DEBC,AED=ACB,AFC=90,E為AC的中點,EF=AC,AE=CE,EF=CE,EFC=ECF,ECF=EFC=ACB=26,F(xiàn)AE的度數(shù)為9026=64,三、解答題11. 解:(1)證明:D、E分別是AB、AC的中點,DE是ABC的中位線,DEBC,又EFAB,四邊形DBFE是平行四邊形;(2)解:當(dāng)AB=BC時,四邊形DBFE是菱形。理由如下:D是AB的中點,BD=AB,DE是ABC的中位線,DE=BC,AB=BC,BD=DE,又四邊形DBFE是平行四邊形,四邊形DBFE是菱形。12.(1)證明:連結(jié)BD,取DB的中點H,連結(jié)EH、FH。E、F分別是BC、AD的中點,EHAB,EH=AB,F(xiàn)HCD,F(xiàn)H=CD,BME=CNE,BME=HEF,CNE=HFE,HEF=HFE。HE=HF,AB=CD;(2)解:連結(jié)BD,取DB的中點H,連結(jié)EH、OH,EHAB,EH=AB,HODC,HO=DC。AB=CD,HO=HE,HOE=HEO,OEC=60,HEO=AGO=60,OEH是等邊三角形,AB=DC=5,OE=。