八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 專題突破講練 巧用中點(diǎn)解決問題試題 （新版）青島版.doc

巧用中點(diǎn)解決問題一、中位線定理1. 三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。2. 三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。如圖，在ABC中，D、E分別是AB、AC兩邊中點(diǎn)，求證DE平行且等于。利用全等和平行四邊形進(jìn)行證明。強(qiáng)調(diào)理解：（1）要把三角形的中位線與三角形的中線區(qū)分開。三角形中線是連接一頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段，而三角形中位線是連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段。（2）三角形有三條中位線，首尾相接時(shí)，小三角形面積等于原三角形的四分之一，這四個(gè)三角形都互相全等。二、直角三角形斜邊中線如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。如圖，在RtABC中，ACB90，D是AB的中點(diǎn)，求證。利用矩形性質(zhì)進(jìn)行證明?？偨Y(jié)：（1）當(dāng)圖形中有一個(gè)中點(diǎn)的時(shí)候考慮倍長中線，當(dāng)圖形中有兩個(gè)中點(diǎn)的時(shí)候考慮連接后用中位線；（2）計(jì)算中經(jīng)常使用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，特別要注意等腰直角三角形。例題1 如圖，M是ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分BAC，且BNAN，垂足為N，且AB6，BC10，MN1.5，則ABC的周長是（）A. 28 B. 32 C. 18 D. 25解析：延長線段BN交AC于E，從而構(gòu)造出全等三角形，（ABNAEN），進(jìn)而證明MN是中位線，從而求出CE的長。答案：延長線段BN交AC于E。AN平分BAC，BANEAN，ANAN，ANBANE90，ABNAEN，ABAE6，BNEN，又M是ABC的邊BC的中點(diǎn)，CE2MN21.53，ABC的周長是ABBCAC6106325，故選D。例題2 如圖，以邊長為1的正方形的四邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形，再以所得四邊形四邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形，依次作下去，圖中所作的第三個(gè)四邊形的周長為 ；所作的第n個(gè)四邊形的周長為 。解析：根據(jù)正方形的性質(zhì)以及三角形中位線的定理，求出第二個(gè)，第三個(gè)四邊形的周長，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求出第n個(gè)四邊形的周長。答案：根據(jù)三角形中位線定理得，第二個(gè)四邊形的邊長為，周長為2，第三個(gè)四邊形的周長為42，第n個(gè)四邊形的周長為4（）n1，故答案為2，4（）n1。利用中點(diǎn)判斷三角形形狀示例 如圖，在線段AE同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形ABC和CDE（ACE120），點(diǎn)P、點(diǎn)M分別是線段BE、AD的中點(diǎn)，則CPM是（）A. 鈍角三角形 B. 直角三角形 C. 等邊三角形 D. 非等腰三角形解析：首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出ACBC，CDCE，ACBECD60，則BCEACD，從而根據(jù)SAS證明BCEACD，得CBECAD，BEAD；再由點(diǎn)P、點(diǎn)M分別是線段BE、AD的中點(diǎn)，得BPAM，根據(jù)SAS證明BCPACM，得PCMC，BCPACM，則PCMACB60，從而證明該三角形是等邊三角形。答案：ABC和CDE都是等邊三角形，ACBC，CDCE，ACBECD60。BCEACD。BCEACD。CBECAD，BEAD。又點(diǎn)P、點(diǎn)M分別是線段BE、AD的中點(diǎn)，BPAM。BCPACM。PCMC，BCPACM。PCMACB60。CPM是等邊三角形。故選C。轉(zhuǎn)化三角形構(gòu)造中位線示例 已知兩個(gè)共頂點(diǎn)的等腰RtABC，RtCEF，ABCCEF90，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME。（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MBCF；（2）如圖1，若CBa，CE2a，求BM，ME的長；（3）如圖2，當(dāng)BCE45時(shí)，求證：BMME。解析：（1）如答圖1所示，延長AB交CF于點(diǎn)D，證明BM為ADF的中位線即可；（2）如答圖2所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線；（3）如答圖3所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BMDF，MEAG；然后證明ACGDCF，得到AGDF，從而證明BMME。答案：（1）證明：如答圖1，延長AB交CF于點(diǎn)D，則易知ABC與DBC均為等腰直角三角形，ABBCBD，點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn)，又點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn)，BM為ADF的中位線，BMCF。（2）解：如答圖2所示，延長AB交CF于點(diǎn)D，則易知DBC與ABC為等腰直角三角形，ABBCBDa，ACDCa，點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，BMDF。分別延長FE與CA交于點(diǎn)G，則易知CEF與CEG均為等腰直角三角形，CEEFGE2a，CGCF2a，點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，MEAG。CGCF2a，CACDa，AGDFa，BMMEaa。（3）證明：如答圖3，延長AB交CE于點(diǎn)D，連接DF，則易知ABC與DBC均為等腰直角三角形，ABBCDB，ACDC，點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，BMDF。延長FE與CB交于點(diǎn)G，連接AG，則易知CEF與CEG均為等腰直角三角形，CEEFEG，CFCG，點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，MEAG。在ACG與DCF中，ACGDCF（SAS），AGDF，MEBM。（答題時(shí)間：45分鐘）一、選擇題1. 直角三角形ABC的周長為2，斜邊上的中線長為1，則該三角形的面積等于（）A. 1 B. C. D. 2. 如圖，MON90，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB2，BC1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為（）A. 1 B. C. D. *3. 如圖，BE、CF分別是ABC的高，M為BC的中點(diǎn)，EF5，BC8，則EFM的周長是（）A. 21 B. 18 C. 13 D. 15*4. 如圖，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，且ABCD。下列結(jié)論：EGFH，四邊形EFGH是矩形，HF平分EHG，EG（BCAD），四邊形EFGH是菱形。其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)*5. 在正方形ABCD中，P為AB的中點(diǎn)，BEPD的延長線于點(diǎn)E，連接AE、BE、FAAE交DP于點(diǎn)F，連接BF，F(xiàn)C。下列結(jié)論：ABEADF；FBAB；CFDP；FCEF，其中結(jié)論正確的是（）A. B. C. D. 二、填空題*6. 如圖，ABC的周長為26，點(diǎn)D，E都在邊BC上，ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC10，則PQ的長為。*7. 如圖，將菱形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A恰好落在菱形的對(duì)稱中心O處，折痕為EF，若菱形ABCD的邊長為2cm，A120，則EFcm。*8. 如圖，在ABC中，ABAC，M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，D，E為BC上的點(diǎn)，連接DN，EM。若AB13cm，BC10cm，DE5cm，圖中陰影部分的面積為。*9. 命題：如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，AFBE，CE、BF交于點(diǎn)H，BF交AC于點(diǎn)M，O為AC的中點(diǎn)，OB交CE于點(diǎn)N，連接OH。下列結(jié)論中：BFCE；OMON；OHCN； OHBHCH。其中正確的結(jié)論有_。三、解答題*10. 如圖，直線a、b相交于點(diǎn)A，C、E分別是直線b、a上兩點(diǎn)且BCa，DEb，點(diǎn)M、N分別是CE、BD的中點(diǎn)。求證：（1）DMBM；（2）MNBD。*11. 已知：在ABC中，ABC90，點(diǎn)E在直線AB上，ED與直線AC垂直，垂足為D，且點(diǎn)M為EC中點(diǎn)，連接BM，DM。（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段AB上，探究線段BM與DM及BMD與BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你得到的結(jié)論；（2）如圖2，若點(diǎn)E在BA延長線上，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明；（3）若點(diǎn)E在AB延長線上，請(qǐng)你根據(jù)條件畫出相應(yīng)的圖形，并直接寫出線段BM與DM及BMD與BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系。*12. 已知：在ABC中，BCAC，動(dòng)點(diǎn)D繞ABC的頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且ADBC，連接DC。過AB、DC的中點(diǎn)E、F作直線，直線EF與直線AD、BC分別相交于點(diǎn)M、N。（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到BC的延長線上時(shí)，點(diǎn)N恰好與點(diǎn)F重合，取AC的中點(diǎn)H，連接HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論AMFBNE（不需證明）；（2）當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時(shí)，AMF與BNE有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)分別寫出猜想，并任選一種情況證明。1. B 解析：CD是直角三角形ABC斜邊上的中線，AB2CD2，直角三角形ABC的周長是2，ACBC，兩邊平方得：AC22ACBCBC26，由勾股定理得：AC2BC2AB24，2ACBC2，ACBC1，SABCACBC1。故選B。2. A 解析：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，ODOEDE，當(dāng)O、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，此時(shí)，AB2，BC1，OEAEAB1，DE，OD的最大值為：1。3. C 解析：BE、CF分別是ABC的高，M為BC的中點(diǎn)，在RtBCE中，EMBC4，在RtBCF中，F(xiàn)MBC4，EFM的周長EMFMEF44513。故選C。4. C 解析：E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，EFCD，F(xiàn)GAB，GHCD，HEAB，ABCD，EFFGGHHE，四邊形EFGH是菱形，EGFH，正確；四邊形EFGH是矩形，錯(cuò)誤；HF平分EHG，正確；當(dāng)ADBC，如圖所示：E，G分別為BD，AC中點(diǎn)，連接CD，延長EG到CD上一點(diǎn)N，ENBC，GNAD，EG（BCAD），只有ADBC時(shí)才可以成立，而本結(jié)論中AD與BC很顯然不平行，故本結(jié)論錯(cuò)誤；四邊形EFGH是菱形，正確。綜上所述，共3個(gè)正確。故選C。5. D 解析：正方形ABCD，BEED，EAFA，ABADCDBC，BADEAF90BEF，APDEPB，EABDAF，EBAADP，ABAD，ABEADF，正確；AEAF，BEDF，AEFAFE45，取EF的中點(diǎn)M，連接AM，AMEF，AMEMFM，BEAM，APBP，AMBEME，EMBEBM45，AMB9045135FMB，BMFM，AMFM，ABMFBM，ABFB，正確；BAMBFM，BEF90，AMEF，BAMAPM90，EBFEFB90，APFEBF，ABCD，APDFDC，EBFFDC，BEDF，BFDC，BEFDFC，F(xiàn)ECF，F(xiàn)EBCFD90，正確，正確；故選D。6. 3 解析：BQ平分ABC，BQAE，BAE是等腰三角形，同理CAD是等腰三角形，點(diǎn)Q是AE中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD中點(diǎn)（三線合一），PQ是ADE的中位線，BECDABAC26BC261016，DEBECDBC6，PQDE3。7. 解：連接BD、AC，四邊形ABCD是菱形，ACBD，AC平分BAD，BAD120，BAC60，ABO906030，AOB90，AOAB21，由勾股定理得：BODO，A沿EF折疊與O重合，EFAC，EF平分AO，ACBD，EFBD，EF為ABD的中位線，EFBD（），故答案為：。8. 30cm2 解析：連接MN。M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，MN是ABC的中位線，MNBC，且MNBC5cm；過點(diǎn)A作AFBC于F。則AFMN，AF12cm（勾股定理）。圖中陰影部分的三個(gè)三角形的底長都是5cm，且高的和為12cm；S陰影51230cm2。9. 解析：AFBE，ABBC，BADABC90，ABFBCE，BCEABF，BFACEB，BECBCEBEHABF90，BHE90，即BFEC，正確；四邊形ABCD是正方形，BOAC，BOOC，由題意，正方形ABCD中，ABOBCO，已證BCEABF，ECOFBO，OBMOCN，OMON，即正確；OBMOCN，BMCN，只有當(dāng)H為BM的中點(diǎn)時(shí)，OH等于CN的一半，故錯(cuò)誤；過O點(diǎn)作OG垂直于OH，OG交CH于點(diǎn)G，在OGC與OHB中，故OGCOHB，OHOG，OHG是等腰直角三角形，所以結(jié)論正確。綜上所述，正確。10. 證明：（1）BCa，DEb，CBECDB90，CBE，CDE為直角三角形，點(diǎn)M是CE的中點(diǎn)，DMBMEC，DMBM；（2）DMBM，MDB為等腰三角形，又N為BD的中點(diǎn)，MN為BD邊上的中線，MNBD（三線合一）。11. 解：（1）結(jié)論：BMDM，BMD2BCD。理由如下：BM、DM分別是RtEBC、RtDEC的斜邊上的中線，BMDMCE；又BMMC，MCBMBC，即BME2BCM；同理可得DME2DCM；BMEDME2（BCMDCM），即BMD2BCD。（2）在（1）中得到的結(jié)論仍然成立。即BMDM，BMD2BCD。證明：點(diǎn)M是RtBEC的斜邊EC的中點(diǎn)，BMECMC，又點(diǎn)M是RtDEC的斜邊EC的中點(diǎn)，DMECMC，BMDM；BMMC，DMMC，CBMBCM，DCMCDM，BMDEMBEMD2BCM2DCM2（BCMDCM）2BCD，即BMD2BCD。（3）所畫圖形如圖所示：圖1中有BMDM，BMD2BCD；圖2中BCD不存在，有BMDM；圖3中有BMDM，BMD3602BCD。解法同（2）。12. 解：圖1：AMFBNE；圖2：AMFBNE；圖3：AMFENB180。證明：如答圖2，取AC的中點(diǎn)H，連接HE、HF。F是DC的中點(diǎn)，H是AC的中點(diǎn)，HFAD，HFAD，AMFHFE，同理，HECB，HECB，BNEHEF。ADBC，HFHE，HEFHFE， BNEAMF。如答圖3：取AC的中點(diǎn)H，連接HE、HF。F是DC的中點(diǎn)，H是AC的中點(diǎn)，HFAD，HFAD，AMFHFE180，同理，HECB，HECB，ENBHEF。ADBC，HFHE，HEFHFE，AMFENB180。答圖2 答圖3