九年級數學上冊 專題突破講練 四點共圓問題大盤點試題 （新版）青島版.doc

四點共圓問題大盤點1. 四點共圓的性質：（1）共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角度數相等；（2）圓內接四邊形的對角互補；（3）圓內接四邊形的外角等于內對角。2. 四點共圓常用的判定方法：判定1：到定點的距離等于定長的點在同一圓上。 如果：OA=OB=OC=OD，則A、B、C、D四點共圓。判定2：若兩個直角三角形共斜邊，則四個頂點共圓，且直角三角形的斜邊為圓的直徑。 如果：ABD和BCD是直角三角形，則A、B、C、D四點共圓。判定3：共底邊的兩個三角形頂角相等，且在底邊的同側，則四個頂點共圓。 如果：A、D在公共邊BC同側，且A=D，則A、B、C、D四點共圓。判定4：對于凸四邊形ABCD，若對角互補或一個外角等于其鄰補角的內對角，則A、B、C、D四點共圓。 如果：1+2=180或1=3，則A、B、C、D四點共圓。判定5：對于凸四邊形ABCD其對角線AC、BD交于點P，若PAPC=PBPD，則A、B、C、D四點共圓。（相交弦定理的逆定理）例題 （鄭州模擬）如圖，在正ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于點F。（1）求證：A、E、F、D四點共圓；（2）若正ABC的邊長為2，求A、E、F、D所在圓的半徑。解析：（1）依題意，可證得BADCBE，從而得到ADB=BECADF+AEF=180，即可證得A，E，F，D四點共圓；（2）取AE的中點G，連接GD，可證得AGD為正三角形，GA=GE=GD=，即點G是AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為。答案：（1）證明：AE=AB，BE=AB，在正ABC中，AD=AC，AD=BE，又AB=BC，BAD=CBE，BADCBE，ADB=BEC，即ADF+AEF=180，所以A，E，F，D四點共圓。 （2）解：如圖，取AE的中點G，連接GD，則AG=GE=AE，AE=AB，AG=GE=AB=，AD=AC=，DAE=60，AB=ACAGD為正三角形，GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，所以點G是AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為，由于A，E，F，D四點共圓，即A，E，F，D四點共圓G，其半徑為。點撥：本題著重考查全等三角形的證明與四點共圓的證明，突出推理能力與分析運算能力的考查，屬于難題?！痉椒ǘㄎ弧繉⒁阎獥l件、欲求的結論以及所給圖形的特點三個方面認真分析、思考，即可發(fā)現，適當利用四點共圓的有關性質以及定理，就能巧妙地找到解決問題的途徑。也就是說，四點共圓有時在解（證）題中起著“搭橋鋪路”的作用。例題 （河南模擬）如圖：AB是O的直徑，G是AB延長線上的一點，GCD是O的割線，過點G作AG的垂線，交直線AC于點E，交直線AD于點F，過點G作O的切線，切點為H。（1）求證：C，D，E，F四點共圓；（2）若GH=6，GE=4，求EF的長。解析：（1）連接DB，利用AB是O的直徑，可得ADB=90，在RtABD和RtAFG中，ABD=AFE，又同弧所對的圓周角相等可得ACD=ABD，進而得到ACD=AFE即可證明四點共圓；（2）由C，D，E，F四點共圓，利用共線定理可得GEGF=GCGD。由GH是O的切線，利用切割線定理可得GH2=GCGD，進而得到GH2=GEGF。即可答案：證明：（1）連接DB，AB是O的直徑，ADB=90，在RtABD和RtAFG中，ABD=AFE，又ABD=ACD，ACD=AFE。C，D，E，F四點共圓；（2）C，D，E，F四點共圓，GEGF=GCGD。GH是O的切線，GH2=GCGD，GH2=GEGF。又因為GH=6，GE=4，所以GF=9。EF=GFGE=94=5。點撥：熟練掌握圓的切線的性質、同弧所對的圓周角相等、四點共圓的判定方法、切割線定理等是解題的關鍵。此題綜合性較強，涉及知識點較全面。（答題時間：30分鐘）一、選擇題 1. 銳角ABC的三條高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七個點中。能組成四點共圓的組數是（） A. 4組 B. 5組C. 6組D. 7組2. 如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD為對角線，點M、E、N、F分別為AD、AB、BC、CD邊的中點，下列說法：當AC=BD時，M、E、N、F四點共圓。當ACBD時，M、E、N、F四點共圓。當AC=BD且ACBD時，M、E、N、F四點共圓。其中正確的是（）A. B. C. D. 3. 如圖，A，B，C，D是圓上四點，AD，BC的延長線交于點P，弧AB、弧CD分別為100、40，則P的度數為（）A. 40B. 35 C. 60D. 304. （高青縣模擬）如圖，四邊形ABCD內接于O，AB為O的直徑，CM切O于點C，BCM=60，則B的正切值是（） A. B. C. D. 5. 已知Pi（i=1，2，3，4）是拋物線y=x2+bx+1上共圓的四點，它們的橫坐標分別為xi（i=1，2，3，4），又xi（i=1，2，3，4）是方程（x24x+m）（x24x+n）=0的根，則二次函數y=x2+bx+1的最小值為（）A. 1 B. 2C. 3D. 4二、填空題6. 如圖，在ABC中，AD，BE分別是A，B的角平分線，O是AD與BE的交點，若C，D，O，E四點共圓，DE=3，則ODE的內切圓半徑為 。7. （濟寧）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若CAD=76，則CBD=度。8. 已知ABC的中線AD、BE交于K，AB=，且K，D，C，E四點共圓，則CK= 。*9. 如圖，CD為ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E，F分別為弦AB與弦AC上的點，且BCAE=DCAF，B，E，F，C四點共圓。若DB=BE=EA，則過B，E，F，C四點的圓的面積與ABC外接圓面積的比值為 。三、解答題10. （太原模擬）如圖，已知AB為半圓O的直徑，BE、CD分別為半圓的切線，切點分別為B、C，DC的延長線交BE于F，AC的延長線交BE于E。ADDC，D為垂足。（1）求證：A、D、F、B四點共圓；（2）求證：EF=FB。*11. （貴陽模擬）如圖，AP是圓O的切線，A是切點，ADOP于D點，過點P作圓O的割線與圓O相交于B，C兩點。（1）證明：O、D、B、C四點共圓。（2）設OPC=30，ODC=40，求DBC的大小。*12. （長春模擬）如圖，在ABC中，C為鈍角，點E，H分別是邊AB上的點，點K和M分別是邊AC和BC上的點，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM。（1）求證：E、H、M、K四點共圓；（2）若KE=EH，CE=3，求線段KM的長。一、選擇題1. C 解析：如圖，以AH為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（A、F、H、E），以BH為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（B、F、H、D），以CH為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（C、D、H、E），以AB為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（A、E、D、B），以BC為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（B、F、E、C），以AC為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（A、F、D、C），共6組。故選C。2. C 解析：連接EM、MF、FN、NE，連接EF、MN，交于點O，如圖所示，點M、E、N、F分別為AD、AB、BC、CD邊的中點，EMBDNF，ENACMF，EM=NF=BD，EN=MF=AC，四邊形ENFM是平行四邊形，當AC=BD時，則有EM=EN，所以平行四邊形ENFM是菱形，而菱形的四個頂點不一定共圓，故不一定正確；當ACBD時，由EMBD，ENAC可得：EMEN，即MEN=90，所以平行四邊形ENFM是矩形，則有OE=ON=OF=OM。所以M、E、N、F四點共圓，故正確；當AC=BD且ACBD時，同理可得：四邊形ENFM是正方形。則有OE=ON=OF=OM。所以M、E、N、F四點共圓，故正確。故選C。3. D解：連接BD，=100，ADB=100=50，又=40，B=20，在DBP中，P=ADBB=5020=30。故選D。4. B解：連接BD，AB是直徑，則ADB=90，CDB=BCM=60，CDA=CDB+ADB=150，CBA=180CDA=30，tanABC=tan30=，故選B。5. C解：拋物線與圓的四個交點，上下兩組點的連線的中點位于拋物線的對稱軸上。所以由（x24x+m）（x24x+n）=0可知，該拋物線的對稱軸為x=2。則b=4。所以最小值為。二、填空題6. 解：作OFED于點F，AD，BE分別是A，B的角平分線，AOB=90+C，CO平分ACB，又DOE=AOB，DOE+C=180，C=60，DOE=AOB=120，90+CC=180在AB上截取AM=AE，可得AOEAOMOE=OM，DOE=120，EOA=AOM=DOB=BOM =60，BOMBODOD=OM，OD=OE，OED=ODE=30，FD=，tan30=，FO=，OD=OE=，ODE的周長為：2+3，ODE的面積為：3=，ODE的內切圓半徑為，故答案為：。7. 解：AB=AC=AD，點B，C，D可以看成是以點A為圓心，AB為半徑的圓上的三個點，CBD是弧CD所對的圓周角，CAD是弧CD所對的圓心角；CAD=76，CBD=CAD=76=38。8. 解：作ABC的外接圓，延長CK交圓于點H，交AB于F，則K，D，C，E四點共圓，DEBABHC=BAC=DEC=DKC，AKHB，D為BC的中點點K是CH的中點，即CK=KH，又K是重心，FK=HF=CF，由相交弦定理，得BFFA=CFFH，=CF2，CF=，CK=1，故答案為1。9. 解：如圖所示，連接EF。DC是ABC的外接圓的切線，DCB=EAF，BCAE=DCAF，BCDFAE，CBD=AFE，B、E、F、C四點共圓，AFE=CBE，CBD=CBE，又CBD+CBE=180，CBE=90，AC是ABC的外接圓的直徑，CE是E，F，C四點所在圓的直徑。不妨設DB=1，則BE=EA=DB=1，由切割線定理可得：DC2=DBDA=13，在DCE中，由DB=BE，CBDE。CE=DC=，在RtCBE中，BC2=CE2BE2=，在RtABC中，AC2=BC2+AB2=2+22=6。過B，E，F，C四點的圓的面積與ABC外接圓面積的比值=。故答案為。三、解答題10. 證明：（1）FB是半圓O的切線，ABF=90，又ADDC，ADF=90，A，D，F，B四點共圓。（2）解：連接BC，則BCAC，DF是半圓的切線，DCA=ABC，DCA=ECF，ECF=ABC，在RtABE中，BCAE，ABC=E，ECF=E，EF=FC，FC，FB是半圓的切線，FC=FB，EF=FB。11. 解：（1）證明：AP是圓O的切線，A是切點，OAAP，ADOP，AP2=PDPO，AP是圓O的切線，PBC是圓O的割線，AP2=PBPC，PDPO=PBPC，DPB=CPO，DPBCPO，PDB=PCO，O，D，B，C四點共圓；（2）解：連接OB，則OBC=ODC=40，OCB=40，O，D，B，C四點共圓，PDB=OCB=40，DBC=30+40=70。12. （1）證明：連接CH，AC=AH，AK=AE，四邊形CHEK為等腰梯形，注意到等腰梯形的對角互補，故C，H，E，K四點共圓， 同理C，E，H，M四點共圓，即E，H，M，K均在點C，E，H所確定的圓上。 （2）解：連接EM，由（1）得E，H，M，C，K五點共圓，CEHM為等腰梯形，EM=HC，故MKE=CEH，由KE=EH可得KME=ECH，故MKECEH，即KM=EC=3。