流體力學(xué)第四章課件.ppt

1,第四章量綱分析和相似理論,第四章量綱分析和相似理論,對于一個復(fù)雜的流動現(xiàn)象進行實驗研究，實驗中的可變因素很多，另外受實驗條件的限制，多數(shù)不可能在實物上進行。因此，在進行一項實驗時，就會碰到諸如：如何更有效地設(shè)計和組織實驗，如何正確處理實驗數(shù)據(jù)，以及如何把模型實驗結(jié)果推廣到原型等一系列問題。本章的量綱分析和相似理論為這些問題的解決提供了理論依據(jù)。,量綱分析和相似理論不僅在流體力學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，而且也廣泛地應(yīng)用于其它力學(xué)、傳熱傳質(zhì)、燃燒等許多物理化學(xué)過程的研究中。故掌握量綱分析和相似理論，對于一個自然科學(xué)工作者來說是十分必要的。,2,第四章量綱分析和相似理論,量綱是物理量的類別和本質(zhì)屬性。同一物理量，可以用不同的單位來度量，但只有唯一的量綱，例如長度可以用米、厘米、英尺、英寸等不同單位度量，但作為物理量的種類，它屬于長度量綱。其它物理量，如時間、速度、密度、力等也各屬一種量綱。這里約定在物理量的代表符號前面加“dim”表示量綱，例如速度量綱表示為dimv。,由于許多物理量的量綱之間有一定的聯(lián)系，在量綱分析中常需選定少數(shù)幾個物理量的量綱作為基本量綱，其它的物理量的量綱就都可以由這些基本量綱導(dǎo)出，稱為導(dǎo)出量綱。基本量綱應(yīng)當(dāng)是互相獨立的，即不能互相表達，在流體力學(xué)中常用長度時間質(zhì)量(L-T-M)為基本量綱。,4-1量綱分析的概念和原理,一、量綱,3,第四章量綱分析和相似理論,長度時間質(zhì)量(L-T-M)作為基本量綱時有如下的導(dǎo)出量綱:,對于任何物理量(如以A表示)的量綱可寫作,速度,加速度,密度,力,壓強,(4-1),4,第四章量綱分析和相似理論,在量綱分析中，把一個物理過程當(dāng)中那些彼此互相獨立的物理量稱為基本量，其它物理量可由這些基本量導(dǎo)出，稱為導(dǎo)出量，基本量與導(dǎo)出量之間可以組合成無量綱量，無量綱量具有如下的特點:量綱表示式中的指數(shù)均為零；沒有單位；數(shù)值與所采用的單位制無關(guān)，故無量綱量也稱為無量綱數(shù)。,設(shè)A、B、C為三個基本量，它們成立的條件是Ax、By、Cz的冪乘積不是無量綱量，即不能找到不全為0的x、y、z來滿足下式,二、無量綱量,(4-2),5,第四章量綱分析和相似理論,(4-3),而滿足下式，且b1、b2、b3不全為0。,采用式(4-1)來表示物理量A、B、C的量綱,代入式(4-2)和(4-3)，對照兩邊的指數(shù)，可寫出如下方程,(4-4),6,第四章量綱分析和相似理論,方程組(4-4)和(4-5)的系數(shù)行列式,(4-6),因此變量A、B、C是互相獨立的，它們可以作為基本變量。,(4-5),是使方程組(4-4)為全零解的充分必要條件，也是方程組(4-5)存在一組非零解的充分必要條件。,7,第四章量綱分析和相似理論,三、物理方程的量綱一致性,在自然現(xiàn)象當(dāng)中，互相聯(lián)系的物理量可構(gòu)成物理方程。物理方程可以是單項式或多項式，同一方程中各項又可以由不同量組成，但是各項的單位必定相同，量綱也必然一致；另一方面，由于物理方程的量綱具有一致性，可以用任意一項去除等式兩邊，使方程每一項變?yōu)闊o量綱量，這樣原方程就變?yōu)闊o量綱方程，但所表達的物理現(xiàn)象與原方程相同，這一點極為重要，這也是量綱分析的理論依據(jù)。例如，動能方程,可改寫為,8,第四章量綱分析和相似理論,理想流體伯努利方程,a1=a2=1，也可改寫為,可以驗證各項也都是無量綱量。,9,第四章量綱分析和相似理論,相似的概念最早出現(xiàn)于幾何學(xué)中，即假如兩個幾何圖形的對應(yīng)邊成一定的比例，那么這兩個圖形便是幾何相似的?？梢园堰@一概念推廣到某個物理現(xiàn)象的所有物理量上。例如，對于兩個流動相似，則兩個流動的對應(yīng)點上同名物理量(如線性長度、速度、壓強、各種力等)應(yīng)具各自的比例關(guān)系。分類說明的話，就是應(yīng)滿足兩個流動的幾何相似、運動相似和動力相似以及初始條件和邊界條件的相似。,4-3流動相似性原理,為了便于理解和掌握相似的基本概念，定義Cq表示原型(prototype)與模型(model)對應(yīng)物理量q的比例，稱之為比尺，即,10,第四章量綱分析和相似理論,一、幾何相似,如果兩個流動的線性變量間存在著固定的比例關(guān)系，即原型和模型對應(yīng)的線性長度的比值相等，則這兩個流動稱為幾何相似的。,如以l表示某一線性尺度，則有長度比尺,由此可推得其它有關(guān)幾何量的比尺，例如面積和體積，比尺分別為,11,第四章量綱分析和相似理論,二、運動相似,運動相似是指流體運動的速度場相似。也就是指兩個流動各對應(yīng)點(包括邊界上各點)的速度u方向相同，其大小成一固定的比尺Cu。即,注意到流速是位移對時間t的微商dl/dt，則時間比尺為,同理，在運動相似的條件下，流場中對應(yīng)點處流體質(zhì)點的加速度比尺為,12,第四章量綱分析和相似理論,三、動力相似,若兩流動對應(yīng)點處流體質(zhì)點所受同名力F的方向相同，其大小之比均成一固定的比尺CF，則這兩個流動是動力相似。所謂同名力是指具有同一物理性質(zhì)的力。例如，重力FG、粘性力F、壓力FP、彈性力FE、表面張力FT等。,如果作用在流體質(zhì)點上的合力不等于零，根據(jù)牛頓第二定理，流體質(zhì)點產(chǎn)生加速度，此時可根據(jù)理論力學(xué)中的達倫貝爾原理，引進流體質(zhì)點的慣性力，那么慣性力與質(zhì)點所受諸力平衡，形式上構(gòu)成封閉力多邊形，這樣，動力相似又可表征為兩相似流動對應(yīng)質(zhì)點上的封閉力多邊形相似。,例如，假定兩流動具有流動相似，作用在流體任一質(zhì)點的力有重力FG、壓力FP，粘性力F和慣性力FI，見圖4-1。那么兩流動動力相似就要求,13,第四章量綱分析和相似理論,成立。式中的腳標(biāo)p、m分別表示原型和模型。,(4-9),14,第四章量綱分析和相似理論,根據(jù)各種力的定義，可以將各種力寫成最簡單的形式：,4-4相似準則,重力,壓力,粘性力,彈性力,表面張力,慣性力,在實際流動問題中，這些力有的不存在或者作用效果微小而可忽略。,15,第四章量綱分析和相似理論,兩流動相似，應(yīng)具有幾何相似、運動相似、動力相似以及初始條件和邊界條件一致這些要求，一般來說，幾何相似是運動相似和動力相似的前提和依據(jù)，動力相似是決定兩流動相似的主導(dǎo)因素，運動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)。因此，在幾何相似的前提下，要保證流動相似，主要看動力相似，即應(yīng)滿足式(4-9)，由于慣性力相似與運動相似直接相關(guān)，因此，將(4-9)變?yōu)?現(xiàn)將前面已給出的各種力的最簡表達代入式(4-10)中，先來看,(4-10),16,第四章量綱分析和相似理論,因為FI=v2l2，F(xiàn)G=l3g，代入上式得,上式等號兩邊均為無量綱數(shù)，稱為弗汝德相似準則數(shù)(簡稱弗汝德數(shù))，由推導(dǎo)過程知道弗汝德數(shù)是慣性力與重力的比值，即,那么原型和模型流動慣性力和重力的相似關(guān)系可以表達為,或,即原型流動和模型流動的弗汝德數(shù)相等。,17,第四章量綱分析和相似理論,以同樣的方法討論式(4-10)的第二個等式,將FI=v2l2，F(xiàn)p=(p)l2代入并整理得出,括號中的組合量也是無量綱數(shù)，稱為歐拉數(shù)，即,歐拉數(shù)Eu是流動壓力與慣性力的比值。,18,第四章量綱分析和相似理論,那么壓力與慣性力的相似關(guān)系可寫為,或,即原型流動和模型流動的歐拉數(shù)相等。,再來分析式(4-10)的第三個等式。,將FI=v2l2和F=vl代入并整理得出,19,第四章量綱分析和相似理論,上式等號兩邊的無量綱數(shù)已在前面提過，它就是雷諾數(shù),它是慣性力與粘性力的比值，式(4-19)說明原型流動與模型流動粘性力相似，要求原型流動與模型流動的雷諾數(shù)相等，即,或,我們仿照前面的方法還可以討論其它力相似的相似準則數(shù)。例如，在高速氣流中，彈性力的作用不能忽略，慣性力與彈性力的比值定義為馬赫數(shù)M，這是因為,20,第四章量綱分析和相似理論,將FI=v2l2，F(xiàn)E=El2代入并整理得出,根據(jù)氣體動力學(xué)(見第十章)知道音速,因此相似關(guān)系可化為,流速與音速的比值就是馬赫數(shù)M=v/a，那么彈性力相似，原型流動和模型流動的馬赫數(shù)必相等，即,21,第四章量綱分析和相似理論,在進行模型設(shè)計時，怎樣根據(jù)原型的物理量確定模型的量值，這就是模型律的選擇，模型律的選擇應(yīng)依據(jù)上節(jié)所述相似準則數(shù)相等來確定。理論上講流動相似要求所有作用力都相似。,4-5模型律,現(xiàn)在僅考慮粘性阻力與重力同時滿足相似，也就是說要保證模型和原型中雷諾數(shù)和弗汝德數(shù)一一對應(yīng)相等。由式(4-22)和式(4-14)分別得到,和,通常Cg=1，則式(4-25)成為,(4-24),(4-25),22,第四章量綱分析和相似理論,顯然，要同時滿足以上兩個條件，必須取,這就是說，要實現(xiàn)兩流動相似，一是模型的流速應(yīng)為原型流速的倍;二是必須按來選擇流體運動粘性系數(shù)的比值，但通常對后一條件難以實現(xiàn)。,另一方面，若模型與原型采用同一種介質(zhì)，即Cv=1，根據(jù)粘性力和重力的相似，有如下的條件,和,顯然，Cl與Cv的關(guān)系要同時滿足以上兩個條件，則Cl=1，即模型不能縮小，失去了模實驗的價值。,23,第四章量綱分析和相似理論,從上述分析可見，一般情況下同時滿足兩個或兩個以上作用力相似是很難實現(xiàn)的。實際中，常常要對所研究的流動問題作深入的分析，找出影響流動問題的主要作用力，滿足一個主要力的相似，而忽略其它次要力的相似。例如，對于管中的有壓流動及潛體繞流等，只要流動的雷諾數(shù)不是特別大，一般其相似條件都依賴于雷諾準則數(shù)。而如行船引起的波浪運動、明渠水流、繞橋墩的水流、容器壁小孔射流等則主要受重力影響，相似條件要保證弗汝德數(shù)相等。,24,第四章量綱分析和相似理論,例.為了研究在油液中水平運動的小潛體的運動特性，用放大8倍的模型在15水中進行實驗。物體在油液中運動速度13.72m/s，油的密度油=864kg/m3，粘性系數(shù)=0.0258Ns/m2。(1)為保證模型與原型流動相似，模型潛體的速度應(yīng)取多大?(2)實驗測定出模型的阻力為3.56N，試推求原型潛體所受阻力。,解：(1)因物體在液面一定深度之下運動，在忽略波浪運動的情況下，相似條件應(yīng)滿足雷諾準則數(shù)，即,因為Dp/Dm=1/8，查表1-8，vm=1.141l0-6m2/s,25,第四章量綱分析和相似理論,(2)因為Fv2l2，所以,26,第四章量綱分析和相似理論,例.用1:50的模型船在實驗室中進行實驗，當(dāng)模型船速為1.0m/s時，測得波浪阻力為0.02N。試求:(1)在滿足波浪阻力相似的前提下，與實驗船速相對應(yīng)的原型船的速度;(2)此時原型船的發(fā)動機功率。,解：對于船舶運動，一般波浪的運動影響很大，也就是說主要受重力與慣性力制約，故相似條件應(yīng)滿足弗汝德準則數(shù)，即,由于gp=gm，則,27,第四章量綱分析和相似理論,又因為Fv2l2，所以,則,功率,所以,