甘肅省蘭州一中高三上學(xué)期期中考試 文科數(shù)學(xué)試題及答案

1蘭州一中蘭州一中 2015-2016-12015-2016-1 學(xué)期高三年級期中考試試題學(xué)期高三年級期中考試試題數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）說明說明: :本試卷分第本試卷分第卷卷( (選擇題選擇題) )和第和第卷卷( (非選擇題非選擇題) )兩部分兩部分。 滿滿分分 150150 分分, ,考試時(shí)間考試時(shí)間 120120 分鐘。答案寫在答題卡上分鐘。答案寫在答題卡上, ,交卷時(shí)只交答交卷時(shí)只交答題卡。題卡。第第卷（選擇題卷（選擇題 共共 6060 分）分）一一、選擇題選擇題：本大題共本大題共 1212 小題小題，每小題每小題 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小題在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. .1.1.已知集合已知集合A A= =|1 ,| 12 ,x xBxx 則（則（C CR RA A）B B=(=(B B) )A A|1x x B B| 11xx C C| 12xx D D|12xx2.2.已知函數(shù)已知函數(shù)( )(cos2 cossin2 sin )sin ,f xxxxxxxR, ,則則( )f x是是( (A A) ). A最小正周期為最小正周期為的奇函數(shù)的奇函數(shù).B最小正周期為最小正周期為的偶的偶函數(shù)函數(shù).C最小正周期為最小正周期為2的奇函數(shù)的奇函數(shù).D最小正周期為最小正周期為2的偶的偶函數(shù)函數(shù)3 3. .下列說法中，正確的是（下列說法中，正確的是（B B）A A. .命題命題“若若ab，則，則22ambm”的否命題是假命題的否命題是假命題B B. .設(shè)設(shè), 為兩不同平面為兩不同平面，直線直線l，則則“l(fā)”是是 “” 成立成立的充分不必要條件的充分不必要條件C C. .命題命題“存在存在2,0 xR xx”的否定是的否定是“對任意對任意2,0 xR xx”D D. .已知已知xR，則，則“1x ”是是“2x ”的充分不必要條件的充分不必要條件24.4.設(shè)向量設(shè)向量a a( (1 1， 2 2) )，b b( (m m， 1 1) ), ,如果向量如果向量a a2 2b b與與 2 2a ab b平行平行, ,則則a a與與b b的數(shù)量積等于的數(shù)量積等于( (D D) )A A7 72 2B B1 12 2C C. .3 32 2D D. .5 52 25.5.若若0.52a ，log 3b，22log sin5c，則，則( (A A) )A AabcB BbacC CcabD Dbca6.6.已知角已知角的終邊過點(diǎn)的終邊過點(diǎn)P P( (8 8m m，6sin6sin 3030) )，且，且 coscos4 45 5，則則m m的值為的值為( (A A) )A A1 12 2B B. . 1 12 2C C3 32 2D D. .3 32 27.7.函數(shù)函數(shù))(xf是奇函數(shù)是奇函數(shù), ,且在（且在（, 0）內(nèi)是增函數(shù)）內(nèi)是增函數(shù), ,0)3(f, ,則不等式則不等式0)(xfx的解集為的解集為( (D D) )A A303|xxx或B B303|xxx或C C33|xxx或D D3003|xxx或8.8.為了得到函數(shù)為了得到函數(shù)y ycoscos2 2x x3 3 的圖象的圖象，可將函數(shù)可將函數(shù)y ysinsin 2 2x x的的圖象圖象( (C C) )3A A向左平移向左平移5 56 6個(gè)單位長度個(gè)單位長度B B向右向右平移平移5 56 6個(gè)單個(gè)單位長度位長度C C向左平移向左平移5 51212個(gè)單位長度個(gè)單位長度D D向右平移向右平移5 51212個(gè)單個(gè)單位長度位長度9 9設(shè)設(shè) f(x)f(x)、g(x)g(x)分別是定義在分別是定義在 R R 上的奇函數(shù)和偶函數(shù)上的奇函數(shù)和偶函數(shù), ,當(dāng)當(dāng) x x0 0時(shí)時(shí), ,( ) ( )( )( )0fx g xf x g x且且 g(3)=0.g(3)=0.則不等式則不等式( ) ( )0f x g x 的解集是的解集是( (D D) )A A（3,0)3,0)(3,+(3,+) )B B( (3,0)3,0)(0,(0, 3)3)C C( (,-,- 3)3)(3,+(3,+) )D D( (, , 3)3)(0,(0,3)3)10.10.如圖所示，兩個(gè)不共線向量如圖所示，兩個(gè)不共線向量OA , ,OB 的夾角為的夾角為，,M N分別為分別為OA與與OB的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)C在直線在直線MN上，上，且且( ,)OCxOAyOB x yR ，則，則22xy的最小值為的最小值為( (B B) ). A24.B18.C22.D1211.11.設(shè)設(shè)( )f x是定義在是定義在R上的增函數(shù)上的增函數(shù)， 且對任意且對任意x， 都有都有()( )0fxf x恒恒成立成立， 如果實(shí)數(shù)如果實(shí)數(shù),m n滿足不等式滿足不等式22(621)(8 )0f mmf nn， 那么那么22mn的取值范圍是的取值范圍是( (A A) ). A（9 9，4949）.B（1313，4949）.C（9 9，2525）.D（3 3，7 7）412.12.已知已知f f( (x x) )ln(ln(x x2 21)1)，g g( (x x) )( (1 12 2) )x xm m，若對，若對x x1 1，x x2 2，使得使得f f( (x x1 1) )g g( (x x2 2) )，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m m的取值范圍是的取值范圍是( (A A) )A A 1 14 4，) )B B( (，1 14 4 C C 1 12 2，) )D D( (，1 12 2 第第卷（非選擇題卷（非選擇題 共共 9090 分）分）二、填空題：本大題共二、填空題：本大題共 4 4 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 2020 分分. .13.13.在在ABCABC中中，ABAB2 2，BCBC3 3，ABCABC6060，ADAD為為BCBC邊上的高邊上的高，O O為為ADAD的中點(diǎn)的中點(diǎn)，若若AOAOABABBCBC，則則_. .答案答案：2314.14.若若 coscos6 6 sinsina3 3 3 35 5，則則 sinsin56_. .答案答案：3 35 515.15.已知向量已知向量a a，b b滿足滿足| |a a| |1 1，| |a ab b| | 7 7， a a，b b3 3，則則| |b b| |_._.答案答案2 216.16.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f( (x x) )lnlnx x1 12 2axax2 2bxbx，若若x x1 1 是是f f( (x x) )的極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn)，則則a a的取值范圍為的取值范圍為_. .答案：答案：( (1 1，) )5三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 6 小題，共小題，共 7070 分分. .解答應(yīng)寫出文字說明、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟證明過程或演算步驟. .1717 （本小題（本小題 1010 分）分）已知已知AC(cos(cosx x2 2sinsinx x2 2，sinsinx x2 2) )，BC (cos(cosx x2 2sinsinx x2 2，2cos2cosx x2 2).).(1)(1)設(shè)設(shè)f f( (x x) )AC BC ，求求f f( (x x) )的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)(2)設(shè)有不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)設(shè)有不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)x x1 1，x x2 2,2 2 ，且，且f f( (x x1 1) )f f( (x x2 2) )1 1，求，求x x1 1x x2 2的值的值. .解：解：(1)(1)由由f f( (x x) )AC BC 得得f f( (x x) )(cos(cosx x2 2sinsinx x2 2) )(cos(cosx x2 2sinsinx x2 2) )( (sinsinx x2 2) )2cos2cosx x2 2coscos2 2x x2 2sinsin2 2x x2 22sin2sinx x2 2coscosx x2 2coscosx xsinsinx x 2 2cos(cos(x x4 4) )，所以所以f f( (x x) )的最小正周期的最小正周期T T2 2. .又由又由 2 2k kx x4 42 2k k，k kZ Z，得得4 42 2k kx x3 34 42 2k k，k kZ.Z.故故f f( (x x) )的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是( (k kZ).Z).6(2)(2)由由f f( (x x) )1 1 得得2 2cos(cos(x x4 4) )1 1，故，故 cos(cos(x x4 4) )2 22 2. .又又x x2 2，2 2 ，于是有，于是有x x4 44 4，3 34 4，得，得x x1 10 0，x x2 22 2，所以所以x x1 1x x2 22 2. .18.18. （本小題（本小題 1212 分）分）根據(jù)根據(jù)國家環(huán)保部新修訂的國家環(huán)保部新修訂的 環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn) 規(guī)定規(guī)定： 居民區(qū)居民區(qū) PM2PM2. .5 5的的年平均濃度不得超過年平均濃度不得超過 3535 微克微克/ /立方米，立方米，PM2PM2. .5 5 的的 2424 小時(shí)小時(shí)平均濃平均濃度不得超度不得超過過 7 75 5 微克微克/ /立方米立方米. .某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年去年 2020 天天 PM2PM2. .5 5 的的 2424 小時(shí)平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)小時(shí)平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：組別組別PM2PM2. .5 5 濃度濃度（微克微克/ /立立方米方米）頻數(shù)（天）頻數(shù)（天）頻率頻率第一組第一組(0,25(0,253 30.150.15第二組第二組(25,50(25,5012120.60.6第三組第三組(50,75(50,753 30.150.15第四組第四組(75,100)(75,100)2 20.10.1( () )從樣本中從樣本中 PM2PM2. .5 5 的的 2424 小時(shí)平均小時(shí)平均濃度濃度超過超過 5050 微克微克/ /立方米立方米的的 5 57天中天中，隨機(jī)抽取隨機(jī)抽取 2 2 天天，求恰好有一天求恰好有一天 PM2PM2. .5 5 的的 2424 小時(shí)平均小時(shí)平均濃度濃度超超過過 7575 微克微克/ /立方米立方米的概率；的概率；（）求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從）求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從 PM2.5PM2.5 的的年平均濃度年平均濃度考慮考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由解：解：( () ) 設(shè)設(shè) PM2.5PM2.5 的的 2424 小時(shí)小時(shí)平均濃度平均濃度在在(50,75(50,75內(nèi)的三天記為內(nèi)的三天記為123,A A A，PM2.5PM2.5 的的 2424 小時(shí)小時(shí)平均濃度平均濃度在在(75,100)(75,100)內(nèi)的兩天記為內(nèi)的兩天記為12,B B所以所以 5 5 天任取天任取 2 2 天的情況有天的情況有：12A A，13A A，11AB，12AB，23A A，21A B，22A B，31A B，32A B共共 1010 種種4 4分分其中符合條件的有：其中符合條件的有：11AB，12AB，21A B，22A B，31A B，32A B共共 6 6 種種6 6 分分所以所求的概率所以所求的概率63105P 8 8分分（）去年該居民區(qū)）去年該居民區(qū) PM2.5PM2.5 年平均年平均濃度濃度為：為：12.5 0.1537.5 0.662.5 0.1587.5 0.142.5（微克微克/ /立方米立方米） 1010 分分因?yàn)橐驗(yàn)?2.535，所以去年該居民區(qū)，所以去年該居民區(qū) PM2.5PM2.5 年平均濃度年平均濃度不符合不符合環(huán)境空環(huán)境空氣 質(zhì) 量 標(biāo) 準(zhǔn)氣 質(zhì) 量 標(biāo) 準(zhǔn) ， 故 該 居 民 區(qū) 的 環(huán) 境 需 要 改， 故 該 居 民 區(qū) 的 環(huán) 境 需 要 改進(jìn)進(jìn)1212 分分19.19. （本小題（本小題 1212 分）分）8如 圖 ， 在 四 棱 錐如 圖 ， 在 四 棱 錐ABCDP 中 ， 底 面中 ， 底 面ABCD是 正 方 形 ， 側(cè) 棱是 正 方 形 ， 側(cè) 棱ABCDPD底面, ,2,PDDCE是是PC的中點(diǎn)的中點(diǎn). .（）證明）證明EDBPA平面/；（）求三棱錐）求三棱錐A A- -BDPBDP的體積的體積. .證明證明： （）連接）連接 ACAC 交交 BDBD 于于 O,O,連接連接 OEOEABCD是正方形是正方形 O O 是是 ACAC 中點(diǎn)中點(diǎn). . 又又 E E 是是 PCPC 中點(diǎn)，中點(diǎn)， OEOEPAPA , ,.PABDE OEBDE平面平面EDBPA平面/6 6分分（）13A BDPP ABDABDVVSPD12 2423231212 分分20.20. （本小題（本小題 1212 分）分）己知己知A、B、C是橢圓是橢圓m：22221xyab（0ab）上的三點(diǎn)上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2 3,0)，BC過橢圓的中心過橢圓的中心，且且0AC BC ，| 2|BCAC 。（）求橢圓）求橢圓m的方程；的方程；（）過點(diǎn)）過點(diǎn)(0, ) t的直線的直線l( (斜率存在時(shí)斜率存在時(shí)) )與橢圓與橢圓m交于兩點(diǎn)交于兩點(diǎn)P，Q，EPDCBA9設(shè)設(shè)D為橢圓為橢圓m與與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且| |DPDQ ，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)t的的取值范圍取值范圍【解析【解析】 （）| 2|BCAC 且且BC過過(0,0)，則，則| |OCAC0AC BC ，90OCA，即，即( 3, 3)C2 2 分分又又2 3a ，設(shè)橢圓，設(shè)橢圓m的方程為的方程為22211212xyc，將將 C C 點(diǎn)坐標(biāo)代入得點(diǎn)坐標(biāo)代入得23311212c，解得解得28c ，24b 橢圓橢圓m的方程為的方程為221124xy5 5 分分（）由條件）由條件(0, 2)D，當(dāng)當(dāng)0k 時(shí)，顯然時(shí)，顯然22t ；6 6 分分當(dāng)當(dāng)0k 時(shí)，設(shè)時(shí)，設(shè)l：ykxt，221124xyykxt，消，消y得得222(1 3)63120kxktxt由由0 可得，可得，224 12tk8 8 分分設(shè)設(shè)11( ,)P x y，22(,)Q xy，PQ中 點(diǎn)中 點(diǎn)00(,)H xy， 則， 則1202321 3xxktxk，0021 3tykxtk , ,223(,)1 31 3kttHkk1010 分分由由|DPDQ ，DHPQ，即，即1DHkk 。22211 3301 3tkktkk ，化簡得化簡得21 3tk 1t 將將代入代入得，得，14t 。t的的范圍是范圍是(1,4)。10綜上綜上( 2,4)t 121221.21. （本小題（本小題 1212 分）分）已知函數(shù)已知函數(shù)1( )()ln ( ,)f xa xbx a bRx，2( )g xx. .（1 1） 若若1a ， 曲線曲線( )yf x在點(diǎn)在點(diǎn)(1,(1)f處的切線與處的切線與y軸垂直軸垂直， 求求b的值的值；（2 2）在（）在（1 1）的條件下，求證：）的條件下，求證：( )( )2ln2;g xf x解：解：(1)(1)1a 時(shí)，時(shí)，1( )ln ,f xxbxx所以所以22211( )1,bxbxfxxxx 由題由題(1)20,2.fbb （6 6 分）分）（2 2）由（）由（1 1）可得）可得1( )2ln ,f xxxx只需證只需證212ln2ln20,xxxx設(shè)設(shè)21( )2ln2ln2,(0)F xxxxxx，32222212212(1)(21)( )21,xxxxxF xxxxxx 令令( )0F x ，得，得12x 。（8 8 分）分）當(dāng)當(dāng)102x時(shí)，時(shí)，( )0F x ，當(dāng)當(dāng)12x 時(shí)，時(shí)，( )0F x ，所以，所以，min17( )( )0,( )0,24F xFF x所以，所以，( )( )2ln2;g xf x2222選考題（本小題選考題（本小題 1010 分）分）請從下列三道題當(dāng)中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一請從下列三道題當(dāng)中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一11題計(jì)分，請?jiān)诖痤}卷上注明題號。題計(jì)分，請?jiān)诖痤}卷上注明題號。22221 1. .（本小題滿分（本小題滿分 1010 分）選修分）選修 4-1:4-1:幾何證明選講幾何證明選講如圖，如圖，ABAB 是是O O的一條切線，切點(diǎn)為的一條切線，切點(diǎn)為 B B，直線直線 ADEADE，CFDCFD，CGCGE E都是都是O O的割線的割線，已知已知 AC=AB.AC=AB.( (1 1) ) 若若 CGCG= =1 1，CDCD= =4 4，求求GFDE的值的值. .(2)(2) 求證求證：FG/AC;FG/AC;【解析】【解析】( () ) 由題意可得：由題意可得：FDEG,四點(diǎn)共圓，四點(diǎn)共圓，CEDCFGCDECGF,. .CGFCDE. .CGCDGFDE. .又又4, 1CDCG，GFDE=4.=4.4 4 分分( () )因?yàn)橐驗(yàn)锳B為切線，為切線，AE為割線，為割線，2ABAD AE，又又因?yàn)橐驗(yàn)锳CAB，所以，所以2AD AEAC所以所以ADACACAE，又，又因?yàn)橐驗(yàn)镋ACDAC ，所以，所以ADCACE，所以所以ADCACE ，又，又因?yàn)橐驗(yàn)锳DCEGF ，所以，所以EGFACE ，所以所以ACFG / 1010 分分2 22 22 2 （本小題滿分（本小題滿分 1010 分）選修分）選修 4 44 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系 xOyxOy 中中， 直線直線l l的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為1cos ,2sinxtyt （t t 為參為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系 xOyxOy 取相同的長度單位。且以取相同的長度單位。且以原點(diǎn)原點(diǎn) O O 為極點(diǎn)為極點(diǎn)， 以以 x x 軸正半軸為極軸軸正半軸為極軸） 中中， 圓圓 C C 的方程為的方程為6sin .（I I）求圓）求圓 C C 的直角坐標(biāo)方程；的直角坐標(biāo)方程；12（）設(shè)圓設(shè)圓 C C 與直線與直線l l交于點(diǎn)交于點(diǎn) A A，B B若點(diǎn)若點(diǎn) P P 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為（1,21,2）, ,求求|PAPB的最小值的最小值解解： （）由）由6sin得得26 sin，化為直角坐標(biāo)方程為，化為直角坐標(biāo)方程為226xyy，即即22(3)9xy. .4 4 分分（ ） 將） 將l的 參 數(shù) 方 程 代 入 圓的 參 數(shù) 方 程 代 入 圓C C的 直 角 坐 標(biāo) 方 程 ， 得的 直 角 坐 標(biāo) 方 程 ， 得22(cossin)70tt. .由由2(2cos2sin)470 ，故可設(shè)，故可設(shè)12,t t是上述方程的兩根，是上述方程的兩根，所以所以12122(cossin),7,tttt 又直線又直線l過點(diǎn)過點(diǎn)(1,2)， 故結(jié)合故結(jié)合t t的幾何意義得的幾何意義得|PAPB= =221212121 2| |()44(cossin)28ttttttt t324sin23242 7.所以所以|PAPB的最小值為的最小值為2 7.1010 分分2 22 23 3 （本小題滿分（本小題滿分 1010 分）選修分）選修 4 45 5：不等式選講：不等式選講設(shè)不等式設(shè)不等式2|2|x x1|1| |x x2|02|0 的解集為的解集為M M，a a，b bM M. .(1)(1)證明：證明：|1 13 3a a1 16 6b b| 1 14 4；(2)(2)比較比較|1|14 4abab| |與與 2|2|a ab b| |的大小，并說明理由的大小，并說明理由【 解 析 】【 解 析 】 (1)(1) 證 明 ： 記證 明 ： 記f f( (x x) ) | |x x 1|1| | |x x 2|2| 133 3，x x2 2，2 2x x1 1，22x x11，3 3，x x1.1.由由222 2x x1010，解得，解得1 12 2 x x 1 12 2，則則M M1 12 2，1 12 2 . .所以所以|1 13 3a a1 16 6b b|1 13 3| |a a| |1 16 6| |b b|1 13 31 12 21 16 61 12 21 14 4. .(2)(2)由由(1)(1)得得a a2 2 1 14 4，b b2 2 01)0，所以所以|1|14 4abab| |2 24|4|a ab b| |2 2，故故|1|14 4abab|2|2|a ab b|.|.