初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第4講 明快簡捷-構(gòu)造方程的妙用

第四講 明快簡捷構(gòu)造方程的妙用有些數(shù)學(xué)問題雖然表面與一元二次方程無關(guān)，但是如果我們能構(gòu)造一元二次方程，那么就能運(yùn)用一元二次方程豐富的知識與方法輔助解題，構(gòu)造一元二次方程的常用方法是： 1利用根的定義構(gòu)造 當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)，就可把某兩個變元看成是關(guān)于某個字母的一元二次方程的兩根 2利用韋達(dá)定理逆定理構(gòu)造 若問題中有形如，的關(guān)系式時，則、可看作方程的兩實(shí)根 3確定主元構(gòu)造 對于含有多個變元的等式，可以將等式整理為關(guān)于某個字母的一元二次方程成功的構(gòu)造是建立在敏銳的觀察、恰當(dāng)?shù)淖冃?、廣泛的聯(lián)想的基礎(chǔ)之上的；成功的構(gòu)造能收到明快簡捷、出奇制勝的效果注： 許多數(shù)學(xué)問題表面上看難以求解，但如果我們創(chuàng)造性地運(yùn)用已知條件，以已知條件為素材，以所求結(jié)論為方向，有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，構(gòu)造出一種輔助問題及其數(shù)學(xué)形式，就能使問題在新的形式下獲得簡解，這就是解題中的“構(gòu)造”策略，構(gòu)造圖形，構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造反例是常用構(gòu)造方法【例題求解】【例1】 已知、是正整數(shù)，并且，則 思路點(diǎn)撥 ，變形題設(shè)條件，可視、為某個一元二次方程兩根，這樣問題可從整體上獲得簡解【例2】 若，且有及，則的值是( ) A B C D 思路點(diǎn)撥 第二個方程可變形為，這樣兩個方程具有相同的結(jié)構(gòu)，從利用定義構(gòu)造方程入手【例3】 已知實(shí)數(shù)、滿足，且，求的取值范圍 思路點(diǎn)撥 由兩個等式可求出、的表達(dá)式，這樣既可以從配方法入手，又能從構(gòu)造方程的角度去探索，有較大的思維空間1 / 6【例4】 已知實(shí)數(shù)、滿足， (1)求、中最大者的最小值； (2)求的最小值 思路點(diǎn)撥 不妨設(shè)ab，ac，由條件得，構(gòu)造以b、c為實(shí)根的一元二次方程，通過0探求的取值范圍，并以此為基礎(chǔ)去解(2)注： 構(gòu)造一元二次方程，在問題有解的前提下，運(yùn)用判別式0，建立含參數(shù)的不等式，縮小范圍逼近求解，在求字母的取值范圍，求最值等方面有廣泛的應(yīng)用【例5】 試求出這樣的四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的二位數(shù)之和的平方，恰好等于這個四位數(shù) (2003年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)思路點(diǎn)撥 設(shè)前后兩個二位數(shù)分別為，則有，將此方程整理成關(guān)于(或)的一元二次方程，在方程有解的前提下，運(yùn)用判別式確定 (或)的取值范圍 學(xué)歷訓(xùn)練1若方程的兩個實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和是，則的取值范圍是 2如圖，在RtABC中，斜邊AB5，CDAB，已知BC、AC是一元二次方程的兩個根，則m的值是 3已知、滿足，則= 4已知，則的值為( )A2 B-2 C-1 D 0 5已知梯形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若SAOB4，SCOD9，則四邊形ABCD的面積S的最小值為( )A21 B 25 C26 D 36 6如圖，菱形A6CD的邊長是5，兩條對角線交于O點(diǎn)，且AO、BO的長分別是關(guān)于的方程的根，則m的值為( ) A一3 B5 C5或一3 n一5或37已知，其中、為實(shí)數(shù)，求的值8已知和是正整數(shù)，并且滿足條件，求的值 9已知，其中m、n為實(shí)數(shù)，則 10如果、為互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式與，那么的取值范圍是 11已知，則= ，= ；12如圖，在RtABC中，ACB90，ACb，ABc，若D、E分別是AB和AB延長線上的兩點(diǎn)，BD=BC，CECD，則以AD和AE的長為根的一元二次方程是 13已知、均為實(shí)數(shù)，且，求的最小值14設(shè)實(shí)數(shù)、滿足，求的取值范圍15如圖，梯形ABCD中，ADBC，ADAB，梯形的高AE=，且 (1)求B的度數(shù)； (2)設(shè)點(diǎn)M為梯形對角線AC上一點(diǎn)，DM的延長線與BC相交于點(diǎn)F，當(dāng)，求作以CF、DF的長為根的一元二次方程 16如圖，已知ABC和平行于BC的直線DE，且BDE的面積等于定值，那么當(dāng)與BDE之間滿足什么關(guān)系時，存在直線DE，有幾條?參考答案 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！