線性代數(shù)第4章線性方程組解的結(jié)構(gòu).ppt

-1-,第四章,線性方程組的解的結(jié)構(gòu),4.4線性方程組在幾何中的應(yīng)用,4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.1線性方程組解的存在性定理,-2-,4.1線性方程組解的存在性定理,在前面的章節(jié)學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)研究的關(guān)于線性方程組的求和存在性問題，本章將在整理前面知識點的同時，深入研究解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。,-3-,(4-1),(矩陣形式),(向量形式),(原始形式),-4-,非齊次方程組解的存在性定理,對于非齊次方程組,(4-1),向量可由A的列向量組,線性表示。,-5-,的系數(shù)行列式,Cramer法則,則方程組有唯一解,且解為:,(4-2),-6-,齊次方程組解的存在性定理,(4-3),(矩陣形式),(向量形式),(原始形式),-7-,對于齊次方程組,(1),A的列向量組線性無關(guān),(2),A的列向量組線性相關(guān),推論1,當方程的個數(shù)m小于未知量的個數(shù)n，則(4-3)必有非零解。,-8-,有非零解,(4-4),學(xué)習(xí)書P135例2,-9-,第四章,線性方程組的解的結(jié)構(gòu),4.4線性方程組在幾何中的應(yīng)用,4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.1線性方程組解的存在性定理,-10-,4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),(2)解集的秩是多少?,(3)解集的最大無關(guān)組(又稱為基礎(chǔ)解系)如何求?,(1)解集的特點?,稱：,-11-,性質(zhì)1：若是(4-3)的解，,性質(zhì)2：,注：,如果(4-3)只有零解，解空間是零空間。如果(4-3)有非零解，解空間是非零空間。,性質(zhì),推論1,而在解空間中，基的概念我們在這里稱為基礎(chǔ)解系。,首先回答問題(1),-12-,線性無關(guān)；,的任一解都可以由,線性,基礎(chǔ)解系,表示,則稱,下面我們用一個例子回答第(2)和第(3)個問題，同時也是定理4.2.1的例證。,(取任意實數(shù)),從而,也是(4-3)的解。,-13-,通過下面的例子,針對一般的方程組,回答所提問題.,第一步:對系數(shù)矩陣A初等行變換化行最簡形B,從行最簡形能得到什么？,-14-,第二步：寫出同解的方程組(保留第一個未知數(shù)在方程的左邊,其余的都移到右邊.右邊的又叫自由變量),自由變量的個數(shù)=?,-15-,是解嗎?,線性無關(guān)嗎?,任一解都可由表示嗎?,是基礎(chǔ)解系嗎?,基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)=?,第四步:寫出基礎(chǔ)解系,再來分析一下基礎(chǔ)解系的由來:,第二步的同解方程組為,第三步的通解為,-16-,就是,類似的,這就啟發(fā)我們,由于基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)正好等于自由變量的個數(shù)(這里3個).,必然是線性無關(guān)的,從而也是基礎(chǔ)解系.由此得到解法2.,-17-,第一步:同前,第二步:同前,第三步:令,第四步:寫出通解,-18-,則齊次線性方程組,的基礎(chǔ)解系存在，,且每個基礎(chǔ)解系中含有,個解向量。,則齊次線性方程組,的任意個線性無關(guān),的解向量均可構(gòu)成基礎(chǔ)解系。,-19-,設(shè),是的,兩個不同的解向量,k取任意實數(shù),則Ax=0的通解是,-20-,設(shè),證明,證,因此,移項,重要結(jié)論,-21-,且線性無關(guān)，則_是AX=O的基礎(chǔ)解系。,(2),(3),則_可為AX=O的基礎(chǔ)解系。,(4),練習(xí),(1),(2),-22-,證明,設(shè),首先證明,利用這一結(jié)論,證,重要結(jié)論,-23-,求一個齊次方程組,使它的基礎(chǔ)解系為,記之為AB=O,這相當于要解矩陣方程,習(xí)慣把未知,然后再把這些解拼成的列(A的行)即可.,解得基礎(chǔ)解系,設(shè)所求的齊次方程組為,則,解,第四章,線性方程組的解的結(jié)構(gòu),4.4線性方程組在幾何中的應(yīng)用,4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.1線性方程組解的存在性定理,-25-,4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),以下總假設(shè),有解,而其對應(yīng)的齊次方程組,的基礎(chǔ)解系為,這里,-26-,性質(zhì),(2)設(shè)是(1)的解,是(2)的解,則仍是(1)的解.,設(shè)是(1)的一個解(固定),則對(1)的任一解x,是(2)的解,從而存在使得,又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.,由此得:,(3),注：非齊次方程組的解集不是空間。,-27-,設(shè)是(1)的任一解,則(1)的通解為,解,-28-,得齊次方程組的基礎(chǔ)解系,于是所有通解,即得方程組的一個解,-29-,是Ax=0的解,是Ax=b的解,-30-,設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知是它的三個解向量,且,求該方程組的通解.,解,取,則它就是解,從而也是基礎(chǔ)解系.,導(dǎo)出齊次組的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)=43=1,故非齊次方程組的通解為,