線性微分方程的一般理論.ppt

1,4.1高階線性微分方程的一般理論,/GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE/,2,理解高階齊次線性方程解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu),理解高階非齊次線性方程解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu),本節(jié)要求/Requirements/,3,n階線性微分方程一般形式：,其中,是區(qū)間,上的連續(xù)函數(shù)。,稱它為n階齊次線性微分方程，而方程（4.1）為n階非齊次線性微分方程。,4.1.1引言/Introducation/,n階微分方程一般形式：,4,方程（4.1）的解的存在唯一性定理:,5,4.1.2齊線性方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu),定理2（疊加原理）如果,則它們的線性組合,的解，這里,是任意常數(shù)。,是方程（4.2）,也是（4.2）,的k個(gè)解，,例,(P.27,2),有解,6,證明,7,問(wèn)題：,時(shí)，若,能否成為方程（4.2）的通解？,不一定,不包含解,要使,為方程（4.2）的通解,還需滿足一定的條件。,當(dāng),是齊線性方程的解，,如在上例中,8,函數(shù)線性無(wú)關(guān)和相關(guān),定義在,上的函數(shù),，如果存在,使得恒等式,不全為零的常數(shù),對(duì)所有,成立，,稱這些函數(shù)是線性相關(guān)的，否則稱是線性無(wú)關(guān)的。,如,上線性無(wú)關(guān),上線性相關(guān),上線性無(wú)關(guān),要使得,則,9,定義在,區(qū)間上的k個(gè)可微k-1次的函數(shù),所作成的行列式,稱為這些函數(shù)的伏朗斯基行列式。,伏朗斯基行列式,10,定理3,在區(qū)間,上線性相關(guān)，,上它們的伏朗斯基行列式,。,則在,證明由假設(shè)，即知存在一組不全為零的常數(shù),（4.6）,（4.7）,使得,依次對(duì)t微分此恒等式，得到,若函數(shù),的齊次線性代數(shù)方程組，,關(guān)于,11,它的系數(shù)行列式,方程存在非零解的充要條件是系數(shù)行列式必須為零，即,由線性代數(shù)理論,證畢,其逆定理是否成立？,例如：,即由其構(gòu)成的伏朗斯基行列式為零，但它們也可能是線性無(wú)關(guān)的。,不一定,12,故,是線性無(wú)關(guān)的。,13,如果方程(4.2)的解,在區(qū)間,上線性無(wú)關(guān)，則,任何點(diǎn)上都不等于零，即,在這個(gè)區(qū)間的,定理4,設(shè)有某個(gè),，使得,考慮關(guān)于,的齊次線性代數(shù)方程組,證明反證法,（4.9）,14,其系數(shù)行列式,，故（4.9）有非零解,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)疊加原理，,是方程（4.2）的解，且滿足初始條件,由解的唯一性知,，即,因?yàn)?不全為0，與,的假設(shè)矛盾。,（4.10）,另也是方程(4.2)的解，,線性無(wú)關(guān),證畢,也滿足初始條件（4.10）,15,定理5n階齊線性方程(4.2)一定存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，,線性相關(guān),定理4,定理3,重要結(jié)論,方程(4.2)的解,在區(qū)間,上線性無(wú)關(guān),的充分必要條件是,且任意n+1個(gè)解都線性相關(guān)。,證明,在上連續(xù)，取,則滿足條件,存在唯一。,16,線性無(wú)關(guān)。,即齊次線性方程(4.2)一定存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。,任取方程(4.2)的n+1個(gè)解，,17,任意n+1個(gè)解都線性相關(guān)。,18,定理6（通解結(jié)構(gòu)）,其中,是任意常數(shù)，且通解（4.11）,是方程（4.2）的n個(gè)線性,無(wú)關(guān)的解，則方程（4.2）的通解可表為,（4.11）,包括方程（4.2）的所有解。,方程(4.2)的一組n個(gè)線性無(wú)關(guān)解稱為它的一個(gè)基本解組。,如果,n階齊線性方程的所有解構(gòu)成一個(gè)n維線性空間。,作業(yè)：P.132，5，6，7,19,4.1.3非齊次線性方程與常數(shù)變易法,性質(zhì)1如果,是方程（4.1）的解，而,（4.2）的解，則,性質(zhì)2方程（4.1）的任意兩個(gè)解之差必為方程（4.2）的解。,是方程,也是方程（4.1）的解。,20,是任意常數(shù)，且通解（4.14）包括,定理7,為方程（4.2）的基本解組，,是方程（4.1）的某一解，則方程（4.1）的通解為,其中,（4.14）,設(shè),方程（4.1）的所有解。,證明,1)（4.14）一定是方程（4.1）的解，且含有n個(gè)獨(dú)立,的任意常數(shù)，是通解。,2),是方程（4.1）的任一個(gè)解，則,是方程（4.2）的解,證畢,21,設(shè),為方程（4.2）的基本解組，,為（4.2）的通解。,（4.15）,（4.16）,非齊線性方程,齊線性方程,非齊線性方程通解,特解,基解組,表示,關(guān)鍵,常數(shù)變易法,為（4.1）的解。,22,令,23,（4.16）,代入方程（4.1）,24,方程組有唯一的解，設(shè)為,（4.16）,25,特解,通解,非齊線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)齊次方程的,結(jié)構(gòu):,通解與自身的一個(gè)特解之和。,26,例1求方程,基本解組為,，,的通解，已知它對(duì)應(yīng)齊線性方程的,解,解得,原方程的通解為,令,27,例2求方程,于域,解對(duì)應(yīng)的齊線性方程為,上的所有解。,得,易見(jiàn)有基本解組,這里A、B為任意常數(shù)。,設(shè),為方程的解,故得原方程的通解,（,為任意常數(shù)),28,作業(yè)：P.131，第2，3（1）（3）（5），4題,練習(xí)題,，并求方程,的基本解組為,1驗(yàn)證,的通解。,2求方程,方程的基本解組為,的通解，已知它對(duì)應(yīng)齊線性,思考題,常數(shù)變易法中待定函數(shù)的條件如何選擇？,