線性方程組1.矩陣消元法.ppt

1,第二章：線性方程組。,上一章的克萊姆法則只能解決部分適合條件方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的線性方程組?？茖W(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理中的許多問(wèn)題往往可以歸結(jié)為解一個(gè)線性方程組，一般這樣的方程組中方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)是不同的，對(duì)這種方程組的研究在理論上和應(yīng)用上都具有重要意義，也是本章的主要任務(wù)。,本章主要解決兩個(gè)問(wèn)題：1.線性方程組求解方法矩陣消元法及解的結(jié)構(gòu)。2.為了解決第一個(gè)問(wèn)題,需要引進(jìn)n維向量的概念，并討論n維向量的線性關(guān)系。,2,第一節(jié)：矩陣消元法本節(jié)主要介紹以下兩點(diǎn)一：矩陣消元法解線性方程組的一種最古老但仍然被廣泛使用的方法之一。(引入矩陣及矩陣的初等行，列變換)二：線性方程組解的情況初探。,*矩陣消元法也被稱為高斯消元法，但是我國(guó)古代的算書九章算術(shù)中早已有了許多線性方程組的應(yīng)用題，而且有了解線性方程組的消元法，這比高斯整整早了一千年。,3,一：矩陣消元法.,在中學(xué)里，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)用加減消元法解二,三元線性方程組，下面先看一個(gè)例子。例1.解線性方程組,解：,-3-2,符號(hào)-3表示第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程的3倍,4,符號(hào)(-1/5)表示第3的方程乘(-1/5)。,符號(hào)(,)表示互換第2，第3兩個(gè)方程的位置。,(-1/5),(,),5,這種形式的線性方程組一般稱為階梯形方程組,特點(diǎn)是：自上而下的各個(gè)方程所含未知量的個(gè)數(shù)依次減少。,+7,6,由原方程組化為階梯形方程組的過(guò)程稱為消元過(guò)程，而由階梯形方程組逐次求得各未知量的過(guò)程稱為回代過(guò)程。在求解過(guò)程中，對(duì)方程組反復(fù)施行了以下三種變換稱為方程組的初等變換。,交換兩個(gè)方程的位置。用一個(gè)非零數(shù)乘某個(gè)方程的兩邊。用一個(gè)數(shù)乘某個(gè)方程加到另一個(gè)方程上。,方程組的初等變換具有可逆性，即若方程組經(jīng)過(guò)方程組的初等變換變?yōu)榉匠探M，則方程組必可經(jīng)過(guò)方程組的初等變換還原成方程組。,7,在例1的求解過(guò)程中，我們只對(duì)未知量的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，因此求解過(guò)程可以寫的更簡(jiǎn)單。,線性方程組可以用下面的矩形數(shù)表來(lái)表示：,(它的每一行表示一個(gè)方程),數(shù)表中的橫排稱為行，縱排稱為列。這樣的三行四列數(shù)表就稱為一個(gè)三行四列矩陣，簡(jiǎn)稱34矩陣，且稱其為線性方程組的增廣矩陣。,8,對(duì)方程組施以方程組的初等變換，就相當(dāng)于對(duì)矩陣的各行施以相應(yīng)的變換，它們都稱為矩陣的初等行變換。,利用矩陣的記號(hào)，例1的消元過(guò)程可以寫成如下形式。,9,32,32,(-1/5),(-1/5),10,(,),(,),+7,+7,11,最后一個(gè)矩陣稱為階梯形矩陣，其特點(diǎn)是自上而下的各行中，每行第一個(gè)非零元素左邊零的個(gè)數(shù)隨行數(shù)的增加而嚴(yán)格增加。元素全為零的行(如果有的話)位于矩陣的下邊。,12,由最后一個(gè)矩陣可得原方程組的解：x1=2,x2=0,x3=-1.,(唯一解),這個(gè)階梯形矩陣稱為簡(jiǎn)化階梯形矩陣。,13,解：對(duì)方程組的增廣矩陣(是一個(gè)35的矩陣)施以矩陣的初等行變換，將其化為階梯形矩陣，過(guò)程如下：,在求解未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)不等的線性方程組時(shí)，也可以用上述的矩陣形式。,32,14,2,(,),15,所以原方程組也無(wú)解。,這是一個(gè)矛盾方程組，無(wú)解。,16,解：對(duì)方程組的增廣矩陣(是一個(gè)46的矩陣)施以矩陣的初等行變換，將其化為階梯形矩陣，(下面我們給出簡(jiǎn)化過(guò)程),17,18,階梯形矩陣，它對(duì)應(yīng)的階梯形方程組為,其中最后一個(gè)方程已化成0=0，,說(shuō)明該方程是“多余”的方程，不再寫出。這個(gè)階梯形方程組還可以寫成下面的形式。,19,所以原方程組有無(wú)窮多解。,我們繼續(xù)對(duì)階梯形矩陣(2)進(jìn)行初等行變換，,20,+93,(-1),(-1/5),21,(這種階梯形矩陣稱為簡(jiǎn)化階梯形矩陣，特點(diǎn)是？),2,22,我們稱為原方程組的一般解：即用自由未知量表示其余未知量的表達(dá)式。,23,由上面的例1例3，可以看出線性方程組可能無(wú)解，也可能有解，在有解的情況下，可能有唯一解，也可能有無(wú)窮多解。,將矩陣消元法小結(jié)如下：寫出線性方程組的增廣矩陣,一般用表示。2.對(duì)用矩陣的初等行變換化為階梯形矩陣或簡(jiǎn)化階梯形矩陣。3.判斷線性方程組是否有解，有解時(shí)，給出相應(yīng)的解。(有無(wú)窮多解時(shí)，給出一般解。),24,二：線性方程組解的情況,定義：,為了便于討論一般的線性方程組解的情況，現(xiàn)在引入矩陣的概念。,25,有時(shí)為了說(shuō)明矩陣的行數(shù)與列數(shù)也可以用Amn或A=(aij)mn來(lái)表示一個(gè)mn矩陣。,其中的橫排稱為矩陣的行，縱排稱為矩陣的列。矩陣中的數(shù),定義：對(duì)一個(gè)矩陣可以施以下述三種變換,26,這三種變換中的每一種都稱為矩陣的初等行(列)變換，矩陣的初等行變換，初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。(具有可逆性),*解方程組時(shí)，只用其中的初等行變換。,27,方程組中未知量的系數(shù)可以組成數(shù)域F上的一個(gè)mn矩陣,28,矩陣A稱為線性方程組(1)的系數(shù)矩陣，而稱m(n+1)矩陣,為線性方程組(1)的增廣矩陣。請(qǐng)比較系數(shù)矩陣與增廣矩陣的相同與不同之處。,為了討論線性方程組(1)的解的情況，,29,30,由后m1行，右邊的n列可以組成一個(gè)(m1)n矩陣，對(duì)此矩陣?yán)^續(xù)施以上述變換，必要時(shí)可以重新排列未知量的順序，直到將其化為如下形式的階梯形矩陣為止：,(想一想是否一定可以化為階梯形?若能，請(qǐng)給出證明。),31,階梯形矩陣,它對(duì)應(yīng)的階梯形方程組為,32,33,因?yàn)橄^(guò)程只是對(duì)線性方程組的系數(shù)（含常數(shù)項(xiàng)）進(jìn)行運(yùn)算而與方程中未知量的取值無(wú)關(guān)，,所以上面的階梯形線性方程組與原線性方程組同解。我們只要對(duì)階梯形線性方程組討論就可以知道原線性方程組解的情況。,由消元過(guò)程不難得出必有rn。(關(guān)于這一點(diǎn)你能否想清楚)這時(shí)可能出現(xiàn)下述情況：,34,1)如果r=n則線性方程組相當(dāng)于,對(duì)式，由可以自下而上的依次求出,35,寫出式對(duì)應(yīng)的階梯形矩陣，自下而上逐次施以矩陣的初等行變換，進(jìn)一步化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣，可得線性方程組的唯一解。,線性方程組有唯一解，因而線性方程組也有唯一解。這一過(guò)程也可以用下法代替。,用下圖表示。,36,簡(jiǎn)化階梯形矩陣,37,記為,其中xr+1,xr+2.xn稱為自由未知量，任意取定自由未知量的一組值，都可以唯一的確定其余未知量x1,x2.xr(不自由)的一組值，,從而可得線性方程組的一組解。,38,因此原來(lái)的線性方程組有無(wú)窮多組解。此時(shí)，對(duì)階梯形方程組對(duì)應(yīng)的階梯形矩陣可以經(jīng)過(guò)矩陣的初等行變換進(jìn)一步化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣：,39,由此可得原線性方程組的一般解：,對(duì)于具體的線性方程組，若有無(wú)窮多解時(shí)，自由未知量的選取要根據(jù)具體題目具體分析，不一定取后面的未知量為自由未知量！但是，自由未知量的個(gè)數(shù)是唯一確定的！,40,且有：自由未知量的個(gè)數(shù)=線性方程組中未知量的個(gè)數(shù)n-(簡(jiǎn)化)階梯形矩陣中非零行的行數(shù)r，非零行是指-不全為零的行。,總結(jié)一下，我們有下述結(jié)論：,線性方程組的增廣矩陣經(jīng)過(guò)矩陣的初等行變換,可以化為階梯形(或簡(jiǎn)化階梯形)矩陣，對(duì)應(yīng)的階梯形方程組與原線性方程組同解，并且有：,1.當(dāng)dr+10時(shí)，線性方程組無(wú)解。2.當(dāng)dr+1=0時(shí)且r=n時(shí)，線性方程組有唯一解。3.當(dāng)dr+1=0時(shí)且r<n時(shí)，線性方程組有無(wú)窮多解-用一般解表示。,41,注意恒有解,如果還有其它的解，則稱為非零解。,它有m個(gè)方程，n個(gè)未知量.,42,則有下述結(jié)論：r=n時(shí)，齊次線性方程組有唯一零解。r<n時(shí)，齊次線性方程組有無(wú)窮多解，即有非零解。,定理1：齊次線性方程組，當(dāng)m<n(即方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù))時(shí)，必有非零解。,證明：顯然的增廣矩陣化為階梯形矩陣后,其中非零行的行數(shù)r矩陣的行數(shù)m,從而階梯形矩陣中非零行的行數(shù)r<n.齊次線性方程組有無(wú)窮多解，即有非零解。,43,這個(gè)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)=n。,定理2：齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是的系數(shù)行列式,44,證明：(必要性)若D0，則由克萊姆法則齊次線性方程組有唯一零解，矛盾，所以D=0。,(充分性)假設(shè)齊次線性方程組經(jīng)過(guò)初等行變換化成的階梯形方程組仍有n個(gè)，,45,它的行列式,設(shè)為：,46,的方程個(gè)數(shù)必小于未知量個(gè)數(shù)，根據(jù)定理1齊次線性方程組必有非零解，從而齊次線性方程組也有非零解。,例1：a取何值時(shí)，下面的線性方程組有解，并求出這個(gè)方程組的解。,D必是D的非零常數(shù)倍，由條件D=0，而D0，從而產(chǎn)生矛盾，所以在階梯形方程組中去掉多余方程0=0以后，,但是D可以由D用行列式的性質(zhì)得到，所以,47,解：對(duì)線性方程組的増廣矩陣施以初等行變換，將其化成階梯形矩陣。,243,48,31,(,)(1/7),49,顯然當(dāng)a-4時(shí)，原方程組無(wú)解，當(dāng)a-4時(shí)，原方程組有解。,把a(bǔ)=-4代入階梯形矩陣，繼續(xù)進(jìn)行初等行變換將其化成簡(jiǎn)化階梯形矩陣。,50,未知量個(gè)數(shù)n=4,階梯形矩陣中非零行數(shù)r=3.,51,例2：試確定的值，使齊次線性方程組,有非零解。,注意：x3，x4均與自由未知量x2無(wú)關(guān)！,52,解：對(duì)方程組的增廣矩陣施以矩陣的初等行變換，將其化為階梯形矩陣，,(,(2),(1),53,將=-2代入階梯形矩陣進(jìn)一步化成簡(jiǎn)化階梯形矩陣得：,由階梯形矩陣可以看出，當(dāng)或時(shí)原方程組有非零解。,54,類似的有，當(dāng)時(shí)，有,55,另解*：方程組的系數(shù)行列式-見(jiàn)第一章。,注意：后一種方法只適用于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的線性方程組。,56,小結(jié)：1.熟練應(yīng)用矩陣消元法求解線性方程組。2.用階梯形矩陣判斷線性方程組是否有解，在線性方程組有無(wú)窮解時(shí)，給出其一般解。,用自由未知量表示其余未知量的表達(dá)式！,