線性方程組的一般形式與直接法思想.ppt

第二章解線性方程組的直接法,數(shù)值分析,2.1線性方程組的一般形式與直接法思想,2.1線性方程組的直接法,實(shí)際問題中的線性方程組分類：,按系數(shù)矩陣中零元素的個(gè)數(shù)：,稠密線性方程組,稀疏線性方程組,按未知量的個(gè)數(shù)：,高階線性方程組,低階線性方程組,(如1000),(80%),按系數(shù)矩陣的形狀,對稱正定方程組,三角形方程組,三對角占優(yōu)方程組,一、直接法概述,直接法是將原方程組化為一個(gè)或若干個(gè)三角形方程組的方法，共有若干種,對于線性方程組,其中,系數(shù)矩陣,未知量向量,常數(shù)項(xiàng),-(1),根據(jù)Cramer(克萊姆)法則,若,（1）需要計(jì)算n+1個(gè)n階行列式并做n次除法運(yùn)算；,（2）每個(gè)n階行列式需要做n！次乘法運(yùn)算；（若采用行列式展開計(jì)算）,（3）對于較大的n，計(jì)算量大到一般計(jì)算機(jī)難以接受；另外累積誤差也將不能接受；,需要尋找其他實(shí)際求解的辦法，這就是數(shù)值解法。,若用初等變換法求解,則對其增廣矩陣作行初等變換:,n-1次,同解,即,以上求解線性方程組的方法稱為Gauss消去法,則,都是三角形方程組,上述方法稱為直接三角形分解法,-(2),不論是Gauss消去法還是直接三角形分解法,都?xì)w結(jié)為解三角形方程組.,二、三角形線性方程組的解法,若記,下三角形線性方程組,上三角形線性方程組,即,其解為,其解為:,三角形方程組的解有顯示的計(jì)算公式（精確解）Gauss消去法和直接三角矩陣分解法都屬于直接法.所謂直接法就是直接通過方程組的已知數(shù)據(jù)，用有限步的算式運(yùn)算公式，求出方程組的精確解（由于計(jì)算機(jī)的介入，存在舍入誤差，實(shí)際得到的還是近似解，即數(shù)值解.）,