線性方程組的消元法、矩陣及其初等行變換.ppt

線性代數(shù),LinearAlgebra,理學(xué)院數(shù)學(xué)系韓維,13157101610;942086908(Q),辦公室18-903,927,學(xué)分獲取,點名,+,=,復(fù)習(xí),作業(yè),其它,平時,期末,總評,筆記,作業(yè),總結(jié),練習(xí),書本,課程郵箱：probability_2013郵箱密碼：xd2013,2019/12/16,3,DavidC.Lay：線性代數(shù)是最有趣最有價值的大學(xué)數(shù)學(xué)課程線性方程組的應(yīng)用：劍橋減肥食譜問題、電路問題、交通流問題、馬爾科夫鏈、聯(lián)合收入問題、現(xiàn)代飛行器外形設(shè)計例等等向量組的線性相關(guān)性的應(yīng)用：藥方配制問題等可逆矩陣的應(yīng)用：密碼問題等矩陣對角化應(yīng)用：行業(yè)就業(yè)人數(shù)預(yù)測、人口遷移、人口分布趨勢分析等二次型應(yīng)用：如政府合理分配修路、修公園資金等,注,了解線性代數(shù),2019/12/16,4,應(yīng)用線性代數(shù)相關(guān)學(xué)科：工程學(xué)，計算機科學(xué)，物理學(xué)，數(shù)學(xué)，生物學(xué)，經(jīng)濟學(xué)，統(tǒng)計學(xué)，力學(xué)，信號與信號處理，系統(tǒng)控制，通信，航空等學(xué)科和領(lǐng)域應(yīng)用線性代數(shù)相關(guān)后繼學(xué)科：電路、理論力學(xué)、材料力學(xué)、計算機圖形學(xué)、計算機輔助設(shè)計、系統(tǒng)動力學(xué)、自動控制原理、機械振動、機器人學(xué)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實等課程無不以線代為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分,注,了解線性代數(shù),2019/12/16,5,在數(shù)學(xué)上，線性函數(shù)關(guān)系是直線，而非線性函數(shù)關(guān)系是非直線，包括各種曲線、折線、不連續(xù)的線等；線性方程滿足疊加原理，非線性方程不滿足疊加原理；線性方程易于求出解析解，而非線性方程一般不能得出解析解-阿爾文托夫勒(AlvinToffler1928-)，未來學(xué)大師、世界著名未來學(xué)家,注,了解線性代數(shù),本學(xué)科體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等可以強化數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練。,學(xué)習(xí)方法是大學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容,2019/12/16,6,科學(xué)的發(fā)展決定了不僅要研究單個變量之間的關(guān)系，還要研究多個變量之間的關(guān)系。各種實際問題在大多數(shù)情況下可以線性化。計算機的迅速發(fā)展，線性化了的問題又可以計算出來。大量的理論及應(yīng)用問題可以通過“線性化”變成線性代數(shù)問題。線性代數(shù)的重要性在于它考慮了一類簡單的數(shù)學(xué)模型。解決這些問題的有力工具。,注,了解線性代數(shù),2019/12/16,7,線性代數(shù)和微積分學(xué)是數(shù)學(xué)的兩大支柱，是所有理工科學(xué)生的必修課程.,線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支。一次方程稱為線性方程，討論線性方程及線性運算的代數(shù)就叫做線性代數(shù)。在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。知識鏈：線性方程組->行列式->矩陣->向量,注,了解線性代數(shù),2019/12/16,8,大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)什么？怎樣學(xué)？,數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育-中國科學(xué)院院士李大潛,通過數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，可以使學(xué)生樹立明確的數(shù)量觀念，“胸中有數(shù)”，認(rèn)真地注意事物的數(shù)量方面及其變化規(guī)律。,怎樣做為什么這樣做不這樣做可以嗎How?Why?Otherways?,注,未來的文盲不再是目不識丁的人，而是那些沒有學(xué)會怎樣學(xué)習(xí)的人-AlvinToffler(America),了解線性代數(shù),2019/12/16,9,了解線性代數(shù),數(shù)學(xué)概觀:“如果不熟悉線性代數(shù)的概念，如線性性質(zhì)、向量、線性空間、矩陣等，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來就和文盲差不多，甚至學(xué)習(xí)社會科學(xué)也是如此”。-瑞典數(shù)學(xué)家LarsGarding,2019/12/16,10,參考資料：,線性代數(shù)同濟大學(xué)第四版線性代數(shù)五講龔昇編著數(shù)學(xué)概觀、數(shù)學(xué)拾遺ThomasA.Garrity高等代數(shù)教程-習(xí)題集王萼芳編清華大學(xué)出版社,了解線性代數(shù),2019/12/16,11,參考資料：,了解線性代數(shù),話說很久以前，有群吃飽飯沒事干的數(shù)學(xué)家正在研究方程組，其中有一個特別吃得飽的突然對大伙說：“兄弟，不覺得寫一堆方程式然后一個一個的代入消元太麻煩了嗎？特別是浪費紙！”其他人點頭稱是，于是大家研究一番，發(fā)現(xiàn)如果把方程組的系數(shù)提出來計算更加的省紙，于是行列式誕生了！并且得出了克拉默法則！,真是“吃飽了撐得”,線性代數(shù)的誕生,故事是這樣發(fā)生的,2019/12/16,13,如果方程組的個數(shù)很少，是不能構(gòu)成行列式的（行列式一定是方陣）。于是又有一個人提出了矩陣，利用符號表示沒有任何關(guān)系的系數(shù)，并得到了矩陣的秩的概念，利用它就可以討論方程組解的情況了！從此一場數(shù)學(xué)界的思想革命開始了！矩陣的出現(xiàn)方便了求解線性方程組，但是那群數(shù)學(xué)家非常不甘心，“連個小牛頓都能有萬有引力，咱們得努力一下，弄個像樣的數(shù)學(xué)工具！”一個數(shù)學(xué)家說！于是他們又想到了把線性方程組用有序的數(shù)列來表示，這樣向量誕生了。,線性代數(shù)的誕生,2019/12/16,14,原來這些數(shù)學(xué)家在想辦法利用秩的概念討論線性關(guān)系找到多余的方程把它去掉，剩下的才是值得分析的方程組，原來在省紙。,線性代數(shù)的發(fā)展,知識鏈：線性方程組->行列式->矩陣(秩)->向量->向量空間,2019/12/16,15,如圖給出了某城市部分單行街道在一個下午早些時候的交通流量（每小時車輛數(shù)目）。計算該網(wǎng)絡(luò)的車流量。,引例交通流問題,2019/12/16,16,由,引例交通流問題,網(wǎng)絡(luò)流量假設(shè)，有對于節(jié)點A：對于節(jié)點B：對于節(jié)點C：對于節(jié)點D：對于節(jié)點E：,問題歸結(jié)為如下線性方程組的求解（有解還是無解）：,線性方程組的解法SystemofLinearEquations,第一章,線性方程組的消元法,矩陣及其初等行變換,應(yīng)用舉例,第一節(jié)線性方程組的消元法,2019/12/16,19,公元前1世紀(jì),九章算術(shù):初等行變換,相當(dāng)于高斯消元法17世紀(jì)后期,德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨:含兩個未知量三個方程的線性組18世紀(jì)上半葉,英國數(shù)學(xué)家麥克勞林:具有二、三、四個未知量的線性方程組得到了現(xiàn)在稱為克拉默法則的結(jié)果瑞士數(shù)學(xué)家克拉默不久也發(fā)表了這個法則,了解：關(guān)于線性方程組,2019/12/16,20,18世紀(jì)下半葉，法國數(shù)學(xué)家貝祖:對線性方程組理論進行了一系列研究證明了n元齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零19世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家史密斯和道奇森:前者引進了方程組的增廣矩陣的概念后者證明了n個未知數(shù)m個方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同,了解：關(guān)于線性方程組,2019/12/16,21,1、基本概念,線性方程：,設(shè)為實未知量，為實數(shù)，nmkl為正整數(shù),線性方程組：,線性方程組的解、相容consistent、不相容、解集、通解(一般解)、同解（等價）方程組,2019/12/16,22,Gauss消元法（Gaussmethod）,a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2,(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21,當(dāng)a11a22a12a210時,具體實例見P3例2,2019/12/16,23,1/2,對換變換(swapping),倍乘變換(rescaling),倍加變換(pivoting),階梯形方程組(echelonform),2、Gauss消元法實例,統(tǒng)稱為：同解變換,2019/12/16,24,階梯形(echelonform),最簡形(reducedechelonform),或?qū)懗上蛄啃问?由此可得原方程組的通解(generalsolution),其中c為任意數(shù).,2、Gauss消元法實例,2019/12/16,25,(1)線性方程組的初等變換,對換變換(swapping),倍乘變換(rescaling),倍加變換(pivoting),3、Gauss消元法實例小結(jié),2019/12/16,26,(2)階梯形線性方程組的有三中基本類型.,例如:,3、Gauss消元法實例小結(jié),無解,有唯一解,有無數(shù)解,2019/12/16,27,(3)階梯陣的形狀與線性方程組的解.引入矩陣,無解,有唯一解,有無數(shù)解,解的數(shù)目,2019/12/16,28,1/2,注：解只與相應(yīng)的系數(shù)和右邊常數(shù)有關(guān)，故可用矩陣表示如下,2019/12/16,29,第二節(jié)矩陣及其初等行變換,2019/12/16,30,“矩陣(matrix)”這個詞首先是英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特使用的.,他為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式(determinant)而發(fā)明了這個述語.,JamesJosephSylvester,(1814.9.31897.3.15),一、關(guān)于矩陣的歷史,2019/12/16,31,英國數(shù)學(xué)家凱萊被公認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者.,他首先把矩陣作為一個獨立的數(shù)學(xué)概念,并發(fā)表了一系列關(guān)于這個題目的文章.,一、關(guān)于矩陣的歷史,2019/12/16,32,二、實例,例1.四個城市間的單向航線如圖所示.,用aij表示從i市到j(luò)市航線的條數(shù),則上圖信息可表示為,2019/12/16,33,例2.線性方程組的一般形式為,如果把未知量的系數(shù)按其原來的相對位置排成一個矩形的樣子，則為一個矩陣。,系數(shù)矩陣,增廣矩陣,二、實例,2019/12/16,34,三.矩陣的定義,1.mn矩陣,元素aij(1im,1jn),2019/12/16,35,Def.2.1,由個數(shù),排成m行n列的數(shù)表,稱為m行n列矩陣，簡稱矩陣。,Note:1、前行后列；2、與行列式的區(qū)別,這個數(shù)稱為矩陣A的元素，稱為矩陣A的第i行、第j列元素。（實矩陣、復(fù)矩陣）,簡記,同型矩陣：矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等注,三.矩陣的定義,2019/12/16,36,如果與是同型矩陣，且,稱矩陣A與B相等，記為A=B,相等的必要條件是同型,常見的特殊矩陣：,1、列矩陣：,2、行矩陣：,3、零矩陣：O,4、方陣（n階方陣）：對角線（對角線）,2019/12/16,37,5、上三角形矩陣（上三角陣）在n階方陣中，rik=0其中i>k.,6、下三角形矩陣（下三角陣）在n階方陣中，lik=0其中i<k.,2019/12/16,38,7、對角陣：,8、數(shù)量矩陣：,9、單位矩陣：,的數(shù)量矩陣,記作En簡記E,Note:59概念的前提是方陣。,2019/12/16,39,四、矩陣表示舉例：,Example3婚姻問題(matchingproblem),女兒,追求者,A,B,C,E,D,F,3,27,1,5,10,4,26,28,如何嫁娶，使獲得的禮品最多？,7,2019/12/16,40,“錘子，剪刀，布”的游戲，也是一種矩陣對策。如果約定：勝者得1分，負(fù)者得-1分，平手得0分，而且雙方的策略都按錘子，剪刀，布的順序。,錘子剪刀布,錘剪布,策略,簡化后某一方的贏得矩陣為：,Example4：贏得矩陣,四、矩陣表示舉例：,2019/12/16,41,思考（贏得矩陣）,（這是對策論的問題）,我國古代有“齊王賽馬”的事例，戰(zhàn)國時代齊王與其大將田忌賽馬，雙方約定各出上、中、下3個等級的馬各一匹進行比賽，共賽馬3次，每次比賽的敗者付給勝者千金已知.在同一等級的比賽中，齊王之馬可穩(wěn)操勝券，但田忌的上、中等級的馬分別可勝齊王的中、下等級的馬.,齊王與田忌在排列賽馬出場順序時，各可取下列6種策略之一：,1(上、中、下)2(中、上、下),3(下、中、上)4(上、下、中),5(中、下、上)6(下、上、中),則可得齊王的贏得矩陣：,2019/12/16,42,說明：,對策論研究沖突對抗條件下最優(yōu)決策問題的理論,對策也稱博弈（Game）,是自古以來的政治家、軍事家（現(xiàn)在更多的是經(jīng)濟學(xué)家）關(guān)注研究的問題.作為一門學(xué)科是20世紀(jì)40年代形成并發(fā)展起來的.1944年馮.諾依曼(VonNeumann)與摩根斯特(O.Morgenstern)合作出版了博弈論與經(jīng)濟行為一書，標(biāo)志著現(xiàn)代系統(tǒng)博弈理論的初步形成.,20世紀(jì)50年代，納什(Nash)建立了非合作博弈的“納什均衡”理論，標(biāo)志著博弈的新時代開始，是納什在經(jīng)濟博弈論領(lǐng)域劃時代的貢獻，是繼馮.諾依曼之后最偉大的博弈論大師之一.1994年納什獲得了諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎.,2019/12/16,43,對策論的例：,囚犯的兩難處境,一位富翁在家中被殺，財物被盜。警方抓到兩個犯罪嫌疑人，并從他們的住處搜出被害人家中丟失的財物。但是，他們矢口否認(rèn)曾殺過人，辯稱是先發(fā)現(xiàn)富翁被殺，然后只是順手牽羊偷了點兒東西。于是警方將兩人隔離，分別關(guān)在不同的房間進行審訊。由地方檢察官分別和每個人單獨談話。檢察官給出了上表的政策，囚犯該怎么辦呢？他們面臨著兩難的選擇坦白或抵賴。,結(jié)果：兩人都選擇了坦白，各被判刑5年。這個結(jié)局被稱為“納什均衡”也稱非合作均衡。,2019/12/16,44,“納什均衡”對亞當(dāng)斯密的“看不見的手”的原理提出挑戰(zhàn)。按照斯密的理論，在市場經(jīng)濟中，每一個人都從利己的目的出發(fā)，而最終全社會達到利他的效果。從“納什均衡”我們引出了“看不見的手”的原理的一個悖論：從利己目的出發(fā)，結(jié)果損人不利己，既不利己也不利他?！凹{什均衡”提出的悖論實際上動搖了西方經(jīng)濟學(xué)的基石.,對策論的例,2019/12/16,45,2矩陣及其初等行變換,五、矩陣的初等行變換,Definition2,設(shè)A是mn矩陣，下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：,（1）交換A的第i行和第j行的位置，記為；,（2）用非零常數(shù)k乘以A的第i行各元素，記為,（3）將A的第i行各元素的k倍加到第j行對應(yīng)元素，記為,注意記號,行row,2019/12/16,46,第一章線性方程組的解法,Definition3,若矩陣A經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣B，則稱矩陣A與矩陣B行等價，記作.,例如：用消元法求解線性方程組,可通過對增廣矩陣初等行變換得到.,即,代入即得x1=2，x2=3.,即,不是等號,2019/12/16,47,再如：,用消元法求解線性方程組,2019/12/16,48,第一章線性方程組的解法,解：,（消去法化簡）,2,結(jié)論：該方程組有解，且有無窮多解.,同解變換：1、交換方程次序；2、用一個非零數(shù)乘某個方程；3、將一個方程的k倍加到另一個方程上.,自由未知量,令x3=k（k為任意常數(shù)）得：,實際給了3個方程,2019/12/16,49,再看剛才的求解過程:,稱為行階梯形矩陣,化行階梯形矩陣即為消元過程,方程組是否有解由此判斷,對應(yīng)的同解方程組為：,2019/12/16,50,稱為行最簡形矩陣,由此求解方程組,化行最簡形矩陣即為代入過程,誰是自由變量？唯一嗎？,2019/12/16,51,2矩陣及其初等行變換,Theorem1,任一mn非零矩陣A=(aij)必可通過,初等行變換化為行最簡形.,Example5,Solution:,用初等行變換將矩陣,化為行最簡形.,2019/12/16,52,第一章線性方程組的解法,Example6利用初等行變換求解線性方程組,Solution:,令x4=k（k為任意常數(shù)）得：,也稱為Gauss-Jordan消元法,2019/12/16,53,2矩陣及其初等行變換,Example7利用初等行變換求解線性方程組,Solution:,令x3=k（k為任意常數(shù)）得：,2019/12/16,54,第一章線性方程組的解法,Theorem2,對于n元線性方程組，當(dāng)增廣矩陣的行階梯形最后一個非零行是矛盾方程時,則方程組無解；否則方程組有解，且（1）當(dāng)增廣矩陣的行階梯形有n個非零行時，方程組有唯一解；（2）當(dāng)增廣矩陣的行階梯形少于n個非零行時，方程組有無窮多組解.,會大于n嗎？,GaussJordan消元法的關(guān)鍵：,1、消元過程:將增廣矩陣化為行階梯形矩陣;,2、代入過程:將行階梯形矩陣化為行最簡形矩陣.,初等行變換,2019/12/16,55,第一章線性方程組的解法,完,2019/12/16,56,習(xí)題1作業(yè),P14，習(xí)題1的第1(3)、2(2)、3(3),2019/12/16,57,點名篇保持課堂紀(jì)律,遲到早退進出自由說話睡覺吃吃玩玩無故曠課,2019/12/16,58,作業(yè)篇平時的基礎(chǔ),按時（每周五收、發(fā)）保質(zhì)保量,