線性方程組與向量組的線性相關(guān)性.ppt

線性代數(shù)第四章,第四章線性方程組與向量組的線性相關(guān)性,本章教學內(nèi)容1消元法與線性方程組的相容性2向量組的線性相關(guān)性3向量組的秩矩陣的行秩與列秩4線性方程組解的結(jié)構(gòu),1消元法與線性方程組的相容性,本節(jié)教學內(nèi)容1.線性方程組的概念2.Cramer(克萊姆)法則3.用消元法解線性方程組,1消元法與線性方程組的相容性,1.線性方程組的概念n元線性方程組的一般形式為記：稱A為系數(shù)矩陣，x為未知列，b為常數(shù)列，則線性方程組可寫成矩陣形式Ax=b,1消元法與線性方程組的相容性,設n元線性方程組Ax=b，若A按列分塊為A=(1,2,n)，則方程組可寫成向量形式1x1+2x2+nxn=b若b=0,即Ax=0稱為齊次線性方程組若b0,即Ax=b稱為非齊次線性方程組若n維列向量=(1,2,n)T滿足A=b，則稱x1=1,x2=2,xn=n是Ax=b的一個解，并稱是Ax=b的一個解向量，或說x=是Ax=b的解。,1消元法與線性方程組的相容性,設n元線性方程組Ax=b，稱Ax=0為與它對應的齊次線性方程組，若n維列向量(0)滿足A=0，則稱x=是齊次線性方程組Ax=0的一個非零解，顯然x=0是Ax=0的一個解，稱它為Ax=0的零解，或當然解，或平凡解。若線性方程組Ax=b有解，則稱它是相容的，否則稱它是不相容的。性質(zhì)齊次線性方程組是相容的。,1消元法與線性方程組的相容性,2.Cramer法則設n個方程的n元線性方程組Ax=b，若A0，則線性方程組Ax=b有惟一解其中Dj是以b代替A的第j列所得到的n階行列式。,1消元法與線性方程組的相容性,證Ax=b，#,1消元法與線性方程組的相容性,例1.1解線性方程組解,1消元法與線性方程組的相容性,Cramer法則對于線性方程組的求解有重要的理論意義。但是，它只能求解方程個數(shù)與未知量個數(shù)相同、且其系數(shù)行列式的值不為零的線性方程組，隨著未知量個數(shù)的增加，計算變得十分困難.下面，我們來討論一般的線性方程組的解法。,1消元法與線性方程組的相容性,3.用消元法解線性方程組定義1.1若線性方程組A1x=b1的解都是線性方程組A2x=b2的解；反之，線性方程組A2x=b2的解都是線性方程組A1x=b1的解，則稱線性方程組A1x=b1與線性方程組A2x=b2同解。在中學，我們已經(jīng)知道(1)方程兩邊同乘一個非零常數(shù)，方程的解不變；(2)方程兩邊同乘一個常數(shù),然后加到另一個方程上，方程組的解也不變(即加減消元法)。因此，就有,1消元法與線性方程組的相容性,定理1若(A1,b1)經(jīng)初等行變換化為(A2,b2)，則線性方程組A1x=b1與線性方程組A2x=b2同解。事實上，倍法變換相當于第i個方程兩邊同乘一非零常數(shù)；消法變換相當于加減消元法；換法變換相當于交換兩個方程的次序，故線性方程組的解不變。定義(A,b)稱線性方程組Ax=b的增廣矩陣。,1消元法與線性方程組的相容性,用消元法解線性方程組的思想方法是：解線性方程組Ax=b(1)用初等行變換將增廣矩陣(A,b)化為最簡行階梯形矩陣(C,d)；(2)解方程組Cx=d，其解即是方程組Ax=b的解.,1消元法與線性方程組的相容性,例1.2用消元法解線性方程組解,1消元法與線性方程組的相容性,于是方程組的解為,R(A)=R(A,b)=3(未知量個數(shù))方程組有惟一解。,1消元法與線性方程組的相容性,例1用消元法解線性方程組解,1消元法與線性方程組的相容性,原方程組可化為,此稱方程組的一般解(或通解),R(A)=R(A,b)=2<4(未知量個數(shù))方程組有無窮多組解,自由未知量個數(shù)=4-2=2.,x3與x4可任意取值，稱為自由未知量,1消元法與線性方程組的相容性,例2用消元法解線性方程組解,8,8,6,6,1,1消元法與線性方程組的相容性,原方程組可化為所以方程組無解.,1,矛盾方程組,R(A)R(A,b)方程組無解,1消元法與線性方程組的相容性,由上述例題可知定理2設n元線性方程組Ax=b，R(A)=R(A,b)=n方程組Ax=b有惟一解;R(A)=R(A,b)<n方程組Ax=b有無窮多組解,自由未知量個數(shù)=n-R(A);(方程組中可任意取值的未知量稱自由未知量)R(A)R(A,b)方程組Ax=b無解.注：定理1.1、定理1.2及推論1.1自行閱讀,1消元法與線性方程組的相容性,由定理2可知定理3設n元齊次線性方程組Ax=0，R(A)=n方程組Ax=0有惟一解，即方程組Ax=0只有零解A為方陣時，A0R(A)<n方程組Ax=0有無窮多組解，即方程組Ax=0有非零解A為方陣時，A=0注：定理1.3及推論1.2自行閱讀。,1消元法與線性方程組的相容性,例1.3判斷下列線性方程組是否有解解,1消元法與線性方程組的相容性,例1.4問取何值，下列方程組有非零解解當=1或=-2時，A=0,即方程組有非零解。,1消元法與線性方程組的相容性,本節(jié)學習要求1.理解線性方程組有關(guān)的概念；2.掌握消元法、熟悉克萊姆法則及線性方程組解有關(guān)的定理。作業(yè)：習題4.1(A)第2,3題,2向量組的線性相關(guān)性,本節(jié)教學內(nèi)容1.線性組合、線性表示和等價關(guān)系2.向量組的線性相關(guān)性3.線性相關(guān)性與線性表示法4.維數(shù)、向量個數(shù)與線性相關(guān)性,2向量組的線性相關(guān)性,1.線性組合、線性表示和等價關(guān)系定義1若干同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)：1,2,s叫做一個向量組.定義2若矩陣A按列分塊為A=(1,2,n)，則1,2,n叫做矩陣A的列向量組.若矩陣A按行分塊為則1,2,m叫做矩陣A的行向量組.,2向量組的線性相關(guān)性,例矩陣則1=(1,1,1)，2=(0,1,2)，3=(0,0,0)，是A的行向量組;是A的列向量組.,2向量組的線性相關(guān)性,定義2.1設1,2,s為n維向量組，k1,k2,ks為一組數(shù)，則k11+k22+kss叫做1,2,s的一個線性組合，k1,k2,ks稱為這個線性組合的系數(shù)。若=k11+k22+kss則稱是1,2,s的線性組合，也稱可由1,2,s線性表示(或線性表出).注：可由1,2,s線性表示線性方程x11+x22+xss=有解,2向量組的線性相關(guān)性,例n維基本列向量任意n維列向量,2向量組的線性相關(guān)性,定義2.2若向量組1,2,s中的每一個向量都可由向量組1,2,t線性表示，則稱向量組1,2,s可由向量組1,2,t線性表示；若兩個向量組可相互線性表示，則稱這兩個向量組等價。性質(zhì)1若向量組1,2,s可由向量組1,2,t線性表示，向量組1,2,t可由向量組1,2,p線性表示，則向量組1,2,s可由向量組1,2,p線性表示。（傳遞性）,2向量組的線性相關(guān)性,性質(zhì)2向量組1,2,s與向量組1,2,s等價；若向量組1,2,s與向量組1,2,t等價，則向量組1,2,t與向量組1,2,s等價；若向量組1,2,s與向量組1,2,t等價，向量組1,2,t與向量組1,2,p等價，則向量組1,2,s與向量組1,2,p等價。(證略),2向量組的線性相關(guān)性,2.向量組的線性相關(guān)性定義2.3設向量組1,2,s，若存在不全為零的數(shù)1,2,s，使得11+22+ss=0,則稱向量組1,2,s線性相關(guān)；否則，稱向量組1,2,s線性無關(guān)。注：若對任意不全為零的數(shù)1,2,s，都有11+22+ss0,則向量組1,2,s線性無關(guān)。,2向量組的線性相關(guān)性,例2.1證明三維基本列向量組證：因?qū)θ我獠蝗珵榱愕臄?shù)1,2,s，都有,線性無關(guān)。,2向量組的線性相關(guān)性,由定義易得基本結(jié)論：單個向量線性相關(guān)向量=0；單個向量線性無關(guān)向量0.向量,線性相關(guān)向量=k或=k；與對應分量成比例向量,線性無關(guān)向量與對應分量不成比例.向量組1,2,s線性相關(guān)向量組1,2,s,s+1,m線性相關(guān).向量組1,2,s,s+1,m線性無關(guān)向量組1,2,s線性無關(guān).,2向量組的線性相關(guān)性,定理2.1向量組1,2,s線性相關(guān)齊次線性方程x11+x22+xss=0有非零解.向量組1,2,s線性無關(guān)齊次線性方程x11+x22+xss=0只有零解.(由定義顯然成立)推論2.1n維列向量組1,2,s線性相關(guān)A=(1,2,s),R(A)n時,n維向量組1,2,s線性相關(guān).證：若1,2,s為n維列向量組，則A=(1,2,s),R(A)n<s,故1,2,s線性相關(guān).若1,2,s為n維行向量組，同理可證1,2,s線性相關(guān).#,2向量組的線性相關(guān)性,例2.2已知向量組1,2,3線性無關(guān)，1=1+2，2=2+3，3=3+1，試證1,2,3線性無關(guān).證：設x11+x22+x33=0即x1(1+2)+x2(2+3)+x3(3+1)=0,得(x1+x3)1+(x1+x2)2+(x2+x3)3=0，向量組1,2,3線性無關(guān)，得,故1,2,3線性無關(guān).,2向量組的線性相關(guān)性,例討論向量組的線性相關(guān)性。解,2向量組的線性相關(guān)性,例討論向量組的線性相關(guān)性。又解,2向量組的線性相關(guān)性,例討論向量組的線性相關(guān)性。解,2向量組的線性相關(guān)性,3.線性相關(guān)性與線性表示法定理2.2向量組1,2,s(s2)線性相關(guān)1,2,s中至少有一個向量可由其余s-1個向量線性表示。證：)設1,2,s線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)1,2,s，使得11+22+ss=0,不妨設10，則有即1可由2,3,s線性表示。,2向量組的線性相關(guān)性,定理2.3若向量組1,2,s線性無關(guān)，向量可由1,2,s線性表示，則表示法是惟一的。證：設=k11+k22+kss且=11+22+ss則(k1-1)1+(k2-2)2+(ks-s)s=0由1,2,s線性無關(guān)，得k1-1=k2-2=ks-s=0即k1=1,k2=2,ks=s,故表示法是惟一的。#,2向量組的線性相關(guān)性,)設1,2,s中至少有一個向量可由其余s-1個向量線性表示，不妨設1可由2,3,s線性表示，即1=k22+k33+kss則-1+k22+k33+kss=0故向量組1,2,s線性相關(guān).#,2向量組的線性相關(guān)性,定理2.4若向量組1,2,s線性無關(guān)，向量組,1,2,s線性相關(guān)，則可由1,2,s惟一線性表示。證：向量組,1,2,s線性相關(guān)，存在不全為零的數(shù)k,k1,k2,ks，使得k+k11+k22+kss=0若k=0,則k11+k22+kss=0，由1,2,s線性無關(guān)，得k1=k2=ks=0，矛盾.故k0,由定理2.3知表示法是惟一的。#,2向量組的線性相關(guān)性,4.向量個數(shù)與線性相關(guān)性定理2.5設r維向量組線性相關(guān)，那么去掉每個向量的最后一個分量，所得到的r-1維向量組仍是線性相關(guān)的。證：設A=(1,2,s),B=(1,2,s)，則R(B)R(A)t，則1,2,s線性相關(guān).證：設i=ki11+ki22+kitt，i=1,2,s.考察x11+x22+xss=0即有令故1,2,s線性相關(guān).#,因s>t，它有非零解。,2向量組的線性相關(guān)性,推論2.5若向量組1,2,s可由1,2,t線性表示，1,2,s線性無關(guān)，則有st.推論2.6若向量組1,2,s與1,2,t等價，且都線性無關(guān)，則有s=t.,2向量組的線性相關(guān)性,本節(jié)學習要求1.理解向量組的線性組合、線性表示、等價關(guān)系、線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；2.熟悉向量組線性相關(guān)的有關(guān)定理，會判斷、證明向量組的線性無關(guān)(或線性相關(guān))。作業(yè)：習題4.2(A)第2,4,9題,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,本節(jié)教學內(nèi)容1.向量組的秩2.矩陣的行秩與列秩,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,1.向量組的秩定義3.1若向量組1,2,s的部分向量組的個數(shù)r稱為向量組1,2,s的秩，記作R(1,2,s).,極大線,性無關(guān)組，,簡稱極大無關(guān)組；,極大無關(guān)組所含向量,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,注只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為0；定義3.1中的條件(2)1,2,s的任意r+1個向量線性相關(guān);1,2,s線性無關(guān)R(1,2,s)=s;1,2,s線性相關(guān)R(1,2,s)0)向量組的極大無關(guān)組未必惟一.,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,定理3.1向量組與它的任一極大無關(guān)組等價.證:推論3.1一向量組的任兩個極大無關(guān)組等價.推論3.2一向量組的秩是惟一確定的.,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,定理3.2若向量組1,2,s可由向量組1,2,t線性表示，則R(1,2,s)R(1,2,t).證：,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,定理3.3等價的向量組有相同的秩。證：設1,2,s)與1,2,t等價，則1,2,s可由1,2,t線性表示，且1,2,t可由1,2,s線性表示，所以R(1,2,s)R(1,2,t)，且R(1,2,t)R(1,2,s)，故R(1,2,s)=R(1,2,t).#,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,例3.1設向量組1,2,s可由向量組1,2,t線性表示，且R(1,2,s)=R(1,2,t)=r，試證：1,2,s與1,2,t等價.證：,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,#,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,2.矩陣的行秩與列秩定義矩陣A的行向量組的秩稱為A的行秩，矩陣A的列向量組的秩稱為A的列秩。例3.2設矩陣A的行向量組1=(1,1,1)，2=(0,1,2)，3=(0,0,0)，顯然1,2線性無關(guān)，1,2,3是線性相關(guān)，即1,2是1,2,3是的極大無關(guān)組，故稱為A的行秩為2；,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,例3.2設矩陣A的列向量組1,2線性無關(guān)，3=22-1,即1,2是1,2,3是的極大無關(guān)組，故稱為A的列秩為2。這里A的行秩=A的列秩=R(A)=2,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,定理3.4矩陣A的行秩=A的列秩=R(A).證：設R(A)=r，則A有r階子式Dr0，A中Dr所在的r個列向量線性無關(guān)；而A的任意r+1階子式Dr+1=0，則A中任意r+1個列向量線性相關(guān)，所以A的列秩=r.R(AT)=R(A)=r，則AT的列秩=r，即A的行秩=r.注：由此定理知，可用初等變換求向量組的秩及極大無關(guān)組。由定理3.4及第三章定理3.1可推知,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,設列向量組1,2,n,則,(證明自行完成),3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,若B為行階梯形矩陣，則,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,例3.3設矩陣求A的秩和A的列向量組1,2,3,4,5的極大無關(guān)組，并把不屬于極大無關(guān)組的列向量用極大無關(guān)組線性表示。解,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,可知R(A)=3,1,2,4是A的列向量組的極大無關(guān)組，3=-1-2，5=41+32-34.,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,例4設矩陣求A的行秩和A的行向量組的極大無關(guān)組，并把不屬于極大無關(guān)組的行向量用極大無關(guān)組線性表示.解,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,所以A的行向量組1,2,3的秩=2，1,2是A的行向量組1,2,3的極大無關(guān)組，3=1-22.,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,定理3.5設A,B均為mn矩陣，則R(A+B)R(A)+R(B)證,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,定理3.6設A為mn矩陣，B為np矩陣，則R(AB)minR(A),R(B)證,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,#,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,本節(jié)學習要求1.理解向量組的極大線性無關(guān)組的概念、向量組的秩的的概念、矩陣的行秩與列秩的概念，熟悉相關(guān)的定理。2.會求向量組的極大線性無關(guān)組與向量組的秩，會用極大線性無關(guān)組線性表示向量組的其它向量，會討論證明向量組的秩的問題。作業(yè)：習題4.3(A)第2(2),3(1),4題。選做：習題4.3(A)第5,8題。習題4.3(B)第1,2,3題。,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),本節(jié)教學內(nèi)容1.齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)2.非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4線性方程組解的結(jié)構(gòu),1.齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)1證,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),性質(zhì)2證,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),定義4.1注只有零解的齊次線性方程組無基礎(chǔ)解系；Ax=0的基礎(chǔ)解系是Ax=0的解向量組的一個極大線性無關(guān)組。,基礎(chǔ)解系。,亦稱結(jié)構(gòu)解,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),定理4.1n元齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)s=n-R(A)，且Ax=0的任意s個線性無關(guān)的解向量都是它的一個基礎(chǔ)解系。(證明P102P104，課外閱讀),4線性方程組解的結(jié)構(gòu),例4.1求下列方程組的基礎(chǔ)解系解,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),原方程組可化為,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),原方程組可化為或,可見答案不惟一。,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),例4.2證明對任意實矩陣A，R(ATA)=R(A).證,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),2.非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)3證,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),性質(zhì)4證,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),定理4.2證由性質(zhì)1,2,4知,亦稱結(jié)構(gòu)解,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),#,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),例4.3求解方程組解,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),原方程組可化為注通解的表達式不惟一。用向量表示的通解亦稱結(jié)構(gòu)解.,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),例4.4設1,2,3是4元線性方程組Ax=b的解,且解方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含4-R(A)=1個向量，由性質(zhì)1,3知Ax=0有解向量,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),即,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),例4.5設4階方陣A=(1,2,3,4),其中2,3,4線性無關(guān)，1=22-44，如果=1+22+33+44，求線性方程組Ax=的通解.解由2,3,4線性無關(guān)，1=22-44知R(A)=3,方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含4-R(A)=1個向量，由1-22+44=0,得,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),則是方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，由=1+22+33+44，得則0是方程組Ax=的解，所以Ax=的通解為x=k+0,(k為任意常數(shù)),4線性方程組解的結(jié)構(gòu),即,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),本節(jié)學習要求1.熟悉線性方程組的解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)定理,2.會求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,會求線性方程組的結(jié)構(gòu)解；會用線性方程組的解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)定理解決有關(guān)的問題。作業(yè)：習題4.4(A)第1(1),5,6題。,