自動控制原理與系統(tǒng)課件第四章控制系統(tǒng)的頻率特性.ppt

1,第四章控制系統(tǒng)的頻率特性分析,2,4.1頻率特性的基本概念,一、頻率特性的定義,系統(tǒng)對不同頻率的正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性稱為頻率特性。,采用正弦信號作為輸入信號，當系統(tǒng)穩(wěn)定后，其輸出稱頻率響應(yīng)。,3,幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為頻率特性，用G(j)表示,系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）輸出量與輸入量幅值之比為幅值頻率特性，簡稱幅頻特性，它隨角頻率變化，常用M()表示。,輸出量與輸入量的相位差為相位頻率特性，簡稱相頻特性，它也隨角頻率變化，常用()表示，,4,頻率特性就是線性系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))在正弦輸入信號作用下穩(wěn)態(tài)時輸出相量與輸入相量之比。,幅頻特性是輸出量與輸入量幅值之比M(),描述系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號在穩(wěn)態(tài)時的放大（或衰減）特性。相頻特性是輸出穩(wěn)態(tài)相對于正弦輸入信號的相位差(),描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出時對不同頻率正弦輸入信號在相位上產(chǎn)生的相角遲后（或超前）的特性。,5,二、頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系,由拉氏變換可知，傳遞函數(shù)的復變量s=+j。當=0時，s=j。所以G（j）就是=0時的G（s），即復域與頻域的關(guān)系為：,6,三、頻率特性的表示方法,圖4-2,1、數(shù)學式表示法,7,例4-1寫出慣性環(huán)節(jié)的幅頻特性、相頻特性和頻率特性。,解：慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為,其頻率特性為,幅頻特性為,相頻特性為,8,2、圖形表示法,1）極坐標圖（又稱奈奎斯特圖）,當從0變化時，根據(jù)頻率特性的極坐標式G(j)=A()()，可以算出每一個值所對應(yīng)的A()和()，將它們畫在極坐標平面圖上，就得到了頻率特性的極坐標圖。,2）對數(shù)頻率特性（Bode圖）,定義：L()=20lgA()對數(shù)幅頻特性()=G(j)對數(shù)相頻特性,對數(shù)幅頻特性曲線（半對數(shù)坐標圖）,對數(shù)相頻特性曲線,圖4-3,橫坐標表示頻率，單位為rad/s。按對數(shù)分度，即以標注刻度。但為方便讀數(shù)，橫軸標注本身的數(shù)值，所以橫坐標的刻度是不均勻的。角頻率變化10倍，在橫坐標上距離的變化為一個單位，即lg10=1，稱為一個“10倍頻程”，記為dec。零頻（=0）不可能在橫坐標上表達出來。橫坐標的最低頻率，一般以我們感興趣的頻率范圍來決定。,10,4.2典型環(huán)節(jié)的Bode圖,一、比例環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,對數(shù)頻率特性：,比例環(huán)節(jié)放大倍數(shù)K變化，系統(tǒng)的L()上下平移，但()不變。,Bode圖：,對數(shù)幅頻特性L()為水平直線，其高度為20lgK。對數(shù)相頻特性()為與橫軸重合的水平直線。如圖4-4所示。,圖4-4,11,二、積分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,對數(shù)頻率特性：,Bode圖：,對數(shù)幅頻特性L()過點（1，0）、斜率為-20dB/dec的一條直線。對數(shù)相頻特性()為一條-90o的水平直線。,圖4-5,1,1,12,三、理想微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,對數(shù)頻率特性：,Bode圖：,對數(shù)幅頻特性L()為過點（1/，0）、斜率為20dB/dec的一條直線。對數(shù)相頻特性()()為一條90o的水平直線。如圖4-6所示。,圖4-6,13,四、慣性環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,對數(shù)頻率特性：,Bode圖：,對數(shù)幅頻特性L()是一條曲線,逐點描繪很煩瑣,通常采用近似的繪制方法,用兩條漸進線近似表示.,低頻漸近線：,高頻漸近線：,低頻漸近線為零分貝線。,14,修正量：最大誤差發(fā)生在交接頻率=1/T處，該處的實際值為,圖4-7,1/T,高頻漸近線為一條在=1/T處穿越橫軸、且斜率為-20dB/dec的直線。對數(shù)幅頻特性曲線可近似地用上述兩條直線表示，且它們相交于=1/T（轉(zhuǎn)折頻率）處。由這兩條直線構(gòu)成的近似對數(shù)幅頻特性曲線稱為漸近對數(shù)幅頻特性曲線。,-,15,對數(shù)相頻特性,低頻：當0時，()0。高頻：當時，()-90o。轉(zhuǎn)折頻率處的相位：當=1/T時，()=-arctan1=-45o。,圖4-7,1/T,16,五、比例微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,對數(shù)頻率特性：,Bode圖：,因為其對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性與慣性環(huán)節(jié)只相差一個符號，所以只要把慣性環(huán)節(jié)的Bode圖向上翻轉(zhuǎn)一下即可。如圖48,圖48,17,1.傳遞函數(shù)2.頻率特性3.對數(shù)頻率特性4Bode圖,六、振蕩環(huán)節(jié),18,（1）對數(shù)幅頻特性當時，,即低頻區(qū)，對數(shù)幅頻特性曲線為與橫軸重合的直線；當時,，即高頻區(qū),對數(shù)幅頻特性曲線為一條在=1/處穿越橫軸、且斜率為-40dB/dec的直線。對數(shù)幅頻特性曲線可近似用上述兩條直線表示（漸近對數(shù)幅頻特性曲線），且它們相交于=1/處。=1/處的頻率稱為轉(zhuǎn)折頻率，也就是無阻尼自然角頻率n。,19,當=1/T=n，漸近對數(shù)幅頻特性曲線與實際曲線的誤差為：振蕩環(huán)節(jié)漸近對數(shù)幅頻特性曲線與實際曲線的誤差與和有關(guān)。對于不同值，上述誤差值列于下表。,計算表明，在=n處，當0.40.7時，誤差小于3dB，可以不對漸近線進行修正；但當0.4或0.7時，誤差較大，必須對漸近線進行修正。,20,對數(shù)相頻特性()低頻：當0時，()0。因此，低頻段為一條()0的水平線。高頻：當時，()-180o。因此，高頻段一條()-180o的水平線。交接頻率處的相位：當=n時，()=-90o。,21,振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性既是的函數(shù)，又是的函數(shù)。隨阻尼比不同，對數(shù)相頻特性在轉(zhuǎn)折頻率附近的變化速度也不同。越小，相頻特性在轉(zhuǎn)折頻率附近的變化速度越大，而在遠離轉(zhuǎn)折頻率處的變化速度越小。T改變時，其轉(zhuǎn)折頻率1/T將在Bode圖的橫軸上向左或向右移動。與此同時，對數(shù)幅頻特性及對數(shù)相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動，但它們的形狀保持不變。,22,4.3控制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制,一、系統(tǒng)開環(huán)Bode圖的簡便畫法若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)為G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)其對應(yīng)的開環(huán)頻率特性為G(j)=G1(j)G2(j)G3(j)其對應(yīng)的開環(huán)幅頻特性為L()=20lgA1()A2()A3()=20lgA1()+20lgA2()+20lgA3()=L1()+L2()+L3()其對應(yīng)的開環(huán)相頻特性為()=1()+2()+3()由此可見，串聯(lián)環(huán)節(jié)總的對數(shù)幅頻特性等于各環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性的和，其總的對數(shù)相頻特性等于各環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性的和。,23,繪制控制系統(tǒng)Bode圖的一般步驟為：1）將控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)化成典型環(huán)節(jié)的乘積，整理成標準形式。2）計算出各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，將它們按由小到大的次序排列。3）選定Bode圖頻率范圍。一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，最高頻率為最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右。4)在對數(shù)幅頻特性圖上，找到橫坐標為=1、縱坐標為20lgK點，過該點作斜率為-20dB/dec的斜線。其中為系統(tǒng)中理想積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，直到第一個轉(zhuǎn)折頻率1。如果11，則該直線延長線經(jīng)過（1，20lgK）點。5）在對數(shù)幅頻特性圖上，按下述原則依次改變系統(tǒng)L（）的斜率：若過慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率減去20dB/dec；若過比例微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率加上20dB/dec；若過振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率減去40dB/dec；若過二階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率加上40dB/dec；,24,6）如有必要，可對對數(shù)漸進幅頻特性進行修正，以得到精確的對數(shù)幅頻特性。7）在對數(shù)相頻特性圖上，分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線（慣性環(huán)節(jié)、比例微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線用模型板畫更方便）。將各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性曲線。,25,解：1）分析系統(tǒng)是由哪些典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，并將這些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)都化成標準形式。,2）由小到大書寫轉(zhuǎn)折頻率。,3)選定坐標軸的比例尺及頻率范圍（即取坐標）。一般取最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，而最高頻率為系統(tǒng)最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右。,26,4）計算20lgK,找到橫坐標為=1、縱坐標為L()=20lgK=20lg10=20dB的點，過該點作斜率為-20vdB/dec=-20dB/dec的直線至c1點，其中v為積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。本例中v=1。5）每過轉(zhuǎn)折頻率c，斜率按下列原則變：若過慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率增加-20；若過比例微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率增加+20；若過振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率增加-40。6）如果需要，可對漸進線進行修正，以獲得較為精確的對數(shù)幅頻特性曲線。最后得到開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖4-10所示。,27,對數(shù)相頻特性曲線()的繪制步驟：畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線，把它們按頻率逐點相加，即可得到系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性曲線。如圖4-10所示。,28,29,二、最小相位系統(tǒng),若傳遞函數(shù)的極點和零點均在s復平面的左側(cè)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。若傳遞函數(shù)的極點和(或)零點有在s復平面右側(cè)的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。,傳遞函數(shù)的分子、分母中無正實根且無延遲環(huán)節(jié)時，該系統(tǒng)必定為最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性和對數(shù)幅頻特性是一一對應(yīng)的，知道對數(shù)幅頻特性，也就知道其對數(shù)相頻特性。因此,對于最小相位系統(tǒng),只要根據(jù)對數(shù)幅頻特性就能寫出其傳遞函數(shù)。利用Bode圖對最小相位系統(tǒng)進行分析時，往往只分析對數(shù)幅頻特性。,30,三、由對數(shù)頻率特性求相應(yīng)的傳遞函數(shù),例4-3求如圖4-11所示環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。,圖4-11,31,解：1）由圖4-11a低頻段的斜率為-20dB/dec，可推知該系統(tǒng)含一個積分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為G(s)=K/s由于=1時，L()=20lgK。又由圖可知：=1時，L()=0dB，所以,由此可得K=1=10,G(s)=10/s,32,2）圖4-11b可見，其低頻段為一水平直線，所以它不含積分環(huán)節(jié)（即v=0）；又由于低頻段的高度為L1()，即20lgK=0，可求得K=1。由過點1斜率增加20dB/dec知，含一比例微分環(huán)節(jié)（T1s+1）,式中T1=1/1。由過點2斜率增加-20dB/dec知，含一慣性環(huán)節(jié)1/（T2s+1）,式中T2=1/2。綜上所述，可得此環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為,3）由圖4-11c可知，其低頻段為一水平直線，所以它不含積分環(huán)節(jié)（即v=0）；又由于低頻段的高度為L1()，即20lgK=L1()，可求得K。由過點1斜率增加-20dB/dec知，含一慣性環(huán)節(jié)1/（T1s+1）,式中T1=1/1。,33,由過點2斜率增加20dB/dec知，含一比例微分環(huán)節(jié)（T2s+1）,式中T2=1/2。由過點3斜率增加20dB/dec知，含一比例微分環(huán)節(jié)（T3s+1）,式中T3=1/2。由過點4斜率增加-20dB/dec知，含一慣性環(huán)節(jié)1/（T4s+1）,式中T4=1/4。綜上所述，可得此環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為,由上例可歸納出由Bode圖求取傳遞函數(shù)的一般規(guī)則：由低頻段的斜率，可推知所含積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，由低頻段在=1處的高度L()=20lgK或由低頻段斜線（或其延長線）與零分貝線交點來求得增益K.由低頻高頻，斜率每增加一個+20dB/dec，即含一個比例微分環(huán)節(jié)；斜率每增加一個-20dB/dec，即含一個慣性環(huán)節(jié)；斜率每增加一個-40dB/dec，即含一個振蕩環(huán)節(jié)，再由峰值偏離漸進線的偏差求得阻尼比。,34,4.4控制系統(tǒng)性能的頻域分析,一、系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域判據(jù),對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)是建立在Nyquist圖基礎(chǔ)之上的，因而又稱為Nyquist穩(wěn)定判據(jù)。作Nyquist圖較麻煩，所以工程上一般都是采用系統(tǒng)的開環(huán)波德圖來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即對數(shù)頻率穩(wěn)定性判據(jù)。對數(shù)頻率穩(wěn)定性判據(jù)實際上是Nyquist判據(jù)在波德圖上的應(yīng)用。該判據(jù)不但可以回答系統(tǒng)穩(wěn)定與否的問題，還可以研究系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量（相對穩(wěn)定性），以及研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。,35,1對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù),1）對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)的內(nèi)容：若系統(tǒng)開環(huán)是穩(wěn)定的，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當L()線過0dB線時，對應(yīng)的()在-180o線的上方；或當()=-180o時，對應(yīng)的L()在0dB線下方。,36,2）穩(wěn)定裕量設(shè)計控制系統(tǒng)時，應(yīng)在絕對穩(wěn)定的前提下，保證一定的相對穩(wěn)定性。穩(wěn)定裕量表征系統(tǒng)相對穩(wěn)定的程度，也就是系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。穩(wěn)定裕量通常用相位裕量和增益裕量來表示。,37,定義：,顯然，>0，穩(wěn)定，越大，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性越好=0，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定<0，系統(tǒng)不穩(wěn)定,相位裕量：當L()=0dB時，對應(yīng)的()高于-180o線多少。其中，L()線穿0dB線時的頻率，叫幅值穿越頻率，用c表示。,c,38,顯然，Kg0，系統(tǒng)穩(wěn)定，Kg越大，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性越好Kg=0，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定Kg<0，系統(tǒng)不穩(wěn)定為了確保系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，要求系統(tǒng)應(yīng)具有4045的相位裕量和610dB的增益裕量。,定義：,增益裕量Kg：當()=-180o時，對應(yīng)的L()低于0dB線多少。其中，()=-180o時的頻率，叫相位穿越頻率，用g表示。,g,39,Bode圖中的中頻段:指L()的漸進線穿越0dB線附近頻率的一段區(qū)段，也就是幅值穿越頻率c附近的一段區(qū)段。1相位裕量反映系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性越大，%越小，相對穩(wěn)定性越好。2幅值穿越頻率c反映系統(tǒng)動態(tài)過程的響應(yīng)速度和變化的快慢c越大，ts越小，系統(tǒng)的響應(yīng)越快。因此,系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性的中頻段表征著系統(tǒng)的動態(tài)性能.,二、開環(huán)對數(shù)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系,40,Bode圖中的低頻段是指L()的漸進線在第一個轉(zhuǎn)折頻率以前的區(qū)段，也就是最左邊的區(qū)段。L()低頻段（漸進線）的斜率代表著系統(tǒng)的型別：若L()低頻段（漸進線）的斜率為0dB/dec（水平線），則v=0，為0型系統(tǒng)。若L()低頻段（漸進線）的斜率為-20dB/dec，則v=1，為I型系統(tǒng)。若L()低頻段（漸進線）的斜率為-40dB/dec，則v=2，為II型系統(tǒng)。L()在=1的高度為20lgK代表系統(tǒng)的增益K。綜上所述，系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()低頻段曲線的斜率愈陡，L()在=1的高度愈高，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將愈小，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度愈好。,41,高頻段是指開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線在中頻段以后的一段區(qū)域。由于L（）0所以有G（j）1單位負反饋系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性為表明在高頻段系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性與開環(huán)幅頻特性近似相等。開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線高頻段反映輸出與輸入幅值之比,高頻段的分貝值越低，其輸出與輸入幅值之比越小，說明系統(tǒng)對高頻輸入信號抑制能力越強。,42,